Derivadas Simbólicas en MATLAB con el Comando diff

MATLAB usa diff para derivadas simbólicas. Forma simple: diff(f).

Ejemplo Básico

syms t
f = 3*t^2 + 2*t^(-2);
diff(f)  % 6*t - 4/t^3

Octave: differentiate(f,t) con paquete symbolic.

Reglas de Derivación (Verificación)

• Regla 1 (Linealidad): (af+bg)' = af' + bg'.
• Regla 2 (Suma/Resta): (f±g)' = f' ± g'.
• Regla 3 (Producto): (fg)' = f'g + g'f.
• Regla 4 (Cociente): (f/g)' = (f'g - g'f)/g².
• Regla 5 (Potencia): (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹. Derivada de constante = 0.
• Regla 6 (Cadena): (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x).

Ejemplos con diff

syms x t
f = (x+2)*(x^2+3);       diff(f)  % 2x(x+2)+x^2+3
f = (t^2+3)*(sqrt(t)+t^3); diff(f)  % producto
f = (x^2-2x+1)*(3x^3-5x^2+2); diff(f)
f = (2x^2+3x)/(x^3+1);   diff(f)  % cociente
f = (x^2+1)^17;          diff(f)  % cadena: 34x(x^2+1)^16
f = (t^3+3t^2+5t-9)^(-6); diff(f)  % cadena

Derivadas de Funciones Elementales

Ejemplos

syms x
diff(exp(x))         % exp(x)
diff(x^9)            % 9*x^8
diff(sin(x))         % cos(x)
diff(tan(x))         % tan(x)^2+1
diff(cos(x))         % -sin(x)
diff(log(x))         % 1/x
diff(log10(x))       % 1/(x*log(10))
diff(sin(x)^2)       % 2*cos(x)*sin(x)
diff(cos(3*x^2+2*x+1)) % -sin(...)*(6x+2)
diff(exp(x)/sin(x))  % exp(x)/sin(x) - exp(x)cos(x)/sin(x)^2

Derivadas de Orden Superior

Sintaxis: diff(f,n) para n-ésima derivada.

f = x*exp(-3*x);
diff(f,2)  % 9*x*exp(-3*x) - 6*exp(-3*x)

Ejemplo: Verificar Ecuación Diferencial

Dada y = 3sin(x)+7cos(5x), ¿se cumple y'' + y = -5cos(2x)?

syms x; y = 3*sin(x)+7*cos(5*x);
lhs = diff(y,2)+y; rhs = -5*cos(2*x);
isequal(lhs,rhs)  % false
lhs  % -168*cos(5*x)

Máximos y Mínimos de una Curva

Puntos estacionarios: f'(x)=0. Pasos:

1. Definir y graficar función.
2. Calcular derivada g = diff(y).
3. Resolver solve(g) para puntos críticos.
4. Evaluar función original en esos puntos con subs.

Ejemplo: f(x) = 2x³+3x²-12x+17 en [-2,2]

syms x; y = 2*x^3+3*x^2-12*x+17;
ezplot(y,[-2,2])
g = diff(y)          % 6x^2+6x-12
s = solve(g)         % 1, -2
subs(y,1)   % 10 (mínimo)
subs(y,-2)  % 37 (máximo)

Ecuaciones Diferenciales con dsolve

Resolución simbólica. Derivadas indicadas con D: Dy = y', D2y = y''.

dsolve('Dy = 5*y')  % C2*exp(5*t)
dsolve('D2y - y = 0','y(0)=-1','Dy(0)=2')  % exp(t)/2 - 3*exp(-t)/2