MATLAB - Cálculo

MATLAB proporciona diversas formas de resolución de problemas de cálculo diferencial e integral, resolución de ecuaciones diferenciales de cualquier grado y cálculo de límites. Lo mejor de todo es que puede trazar fácilmente los gráficos de funciones complejas y comprobar máximos, mínimos y otros puntos estacionarios en un gráfico resolviendo la función original, así como su derivada.

En este capítulo se tratarán problemas de cálculo. En este capítulo, discutiremos conceptos de precálculo, es decir, calcular límites de funciones y verificar las propiedades de los límites.

En el próximo capítulo Diferencial , calcularemos la derivada de una expresión y encontraremos los máximos y mínimos locales en un gráfico. También discutiremos cómo resolver ecuaciones diferenciales.

Finalmente, en la Integración capítulo, discutiremos el cálculo integral.

Cálculo de límites

MATLAB proporciona el límite Función para el cálculo de límites. En su forma más básica, el límite La función toma la expresión como argumento y encuentra el límite de la expresión cuando la variable independiente llega a cero.

Por ejemplo, calculemos el límite de una función f(x) =(x ³ + 5)/(x ⁴ + 7), ya que x tiende a cero.

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB ejecutará la instrucción anterior y devolverá el siguiente resultado −

ans =
   5/7

La función límite cae en el ámbito de la computación simbólica; necesitas usar syms función para decirle a MATLAB qué variables simbólicas está utilizando. También puede calcular el límite de una función, ya que la variable tiende a algún número distinto de cero. Para calcular lim _x->a (f(x)), usamos el comando de límite con argumentos. El primero es la expresión y el segundo es el número, que x enfoques, aquí está a .

Por ejemplo, calculemos el límite de una función f(x) =(x-3)/(x-1), cuando x tiende a 1.

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB ejecutará la instrucción anterior y devolverá el siguiente resultado −

ans =
   NaN

Tomemos otro ejemplo,

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB ejecutará la instrucción anterior y devolverá el siguiente resultado −

ans =
   14

Cálculo de límites usando Octave

La siguiente es la versión Octave del ejemplo anterior usando simbólico paquete, intente ejecutarlo y compare el resultado −

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave ejecutará la instrucción anterior y devolverá el siguiente resultado −

ans =
   0.7142857142857142857

Verificación de Propiedades Básicas de Límites

El teorema algebraico del límite proporciona algunas propiedades básicas de los límites. Estos son los siguientes −

Consideremos dos funciones −

• f(x) =(3x + 5)/(x - 3)
• g(x) =x ² + 1.

Calculemos los límites de las funciones cuando x tiende a 5, de ambas funciones y verifiquemos las propiedades básicas de los límites usando estas dos funciones y MATLAB.

Ejemplo

Cree un archivo de script y escriba el siguiente código en él −

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

Cuando ejecuta el archivo, muestra −

l1 =
   17
  
l2 =
   17
  
lAdd =
   34
 
lSub =
   0
  
lMult =
   289
  
lDiv =
   1

Verificación de Propiedades Básicas de Límites usando Octave

La siguiente es la versión Octave del ejemplo anterior usando simbólico paquete, intente ejecutarlo y compare el resultado −

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;

l1 = subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

Octave ejecutará la instrucción anterior y devolverá el siguiente resultado −

l1 =
   17.0
l2 =
   17.0
lAdd =
   34.0
lSub =
   0.0
lMult =
   289.0
lDiv =
   1.0

Límites del lado izquierdo y derecho

Cuando una función tiene una discontinuidad para algún valor particular de la variable, el límite no existe en ese punto. En otras palabras, los límites de una función f(x) tienen discontinuidad en x =a, cuando el valor del límite, cuando x se acerca a x desde el lado izquierdo, no es igual al valor del límite cuando x se acerca desde el lado derecho.

Esto conduce al concepto de límites a la izquierda y a la derecha. Un límite a la izquierda se define como el límite cuando x -> a, desde la izquierda, es decir, x tiende a a, para valores de x a, desde la derecha, es decir, x tiende a a, para valores de x> a. Cuando el límite para zurdos y el límite para diestros no son iguales, el límite no existe.

Consideremos una función −

f(x) =(x - 3)/|x - 3|

Mostraremos que lim_x->3 f(x) no existe. MATLAB nos ayuda a establecer este hecho de dos maneras −

• Trazando la gráfica de la función y mostrando la discontinuidad.
• Calculando los límites y demostrando que ambos son diferentes.

Los límites para zurdos y para diestros se calculan pasando las cadenas de caracteres 'izquierda' y 'derecha' al comando de límite como último argumento.

Ejemplo

Cree un archivo de script y escriba el siguiente código en él −

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

Cuando ejecuta el archivo, MATLAB dibuja la siguiente gráfica

Después de que se muestre la siguiente salida −

l =
   -1
  
r =
   1