Teorema de Tellegen: Guía Completa con Ejemplos Resueltos y Simulaciones en MATLAB

Teorema de Tellegen – Guía Paso a Paso con Ejemplos Resueltos

¿Qué es el Teorema de Tellegen?

El teorema de Tellegen fue publicado en 1952 por el ingeniero eléctrico e inventor neerlandés Bernard D.H. Tellegen. Este teorema es el más importante y fundamental entre los teoremas de análisis de redes. La mayoría de los demás teoremas se derivan de este.

El teorema de Tellegen se basa en las leyes de Kirchhoff. Por tanto, puede aplicarse a cualquier red que obedezca dichas leyes. Es válido para una amplia gama de redes con elementos lineales o no lineales, variantes o invariantes en el tiempo, pasivos o activos.

El teorema de Tellegen establece que:

El teorema funciona según el principio de la ley de conservación de la energía. Se utiliza en aplicaciones químicas y biológicas para encontrar el comportamiento dinámico de redes físicas. En procesamiento de señales, sirve para diseñar filtros.

• Artículo relacionado: Teorema de Thevenin. Guía Paso a Paso con Ejemplo Resuelto

Ecuación Matemática

Para un análisis general, consideramos n elementos en la red. La corriente instantánea que atraviesa cada elemento es i₁, i₂, i₃, …, iₙ. El voltaje instantáneo de cada rama es v₁, v₂, v₃, …, vₙ.

La potencia instantánea consumida por el elemento 1 es p₁ = v₁ i₁. La del elemento 2 es p₂ = v₂ i₂. De forma análoga, la potencia del enésimo elemento es pₙ = vₙ iₙ.

Según el teorema de Tellegen, la suma de todas las potencias instantáneas es cero:

p₁ + p₂ + p₃ + … + pₙ = 0

v₁ i₁ + v₂ i₂ + v₃ i₃ + … + vₙ iₙ = 0

En forma general para la k-ésima rama:

Donde:

• n = número total de ramas en la red
• vₖ = voltaje instantáneo de la k-ésima rama
• iₖ = corriente instantánea de la k-ésima rama
• pₖ = potencia instantánea de la k-ésima rama

Consideremos la rama AB como la rama k:

El voltaje instantáneo vₖ = vₐ – v_b. La corriente instantánea que pasa por la rama (de a a b) es iₖ = iₐb. La potencia instantánea pₖ = vₖ iₖ = (vₐ – v_b) iₐb … (1)

Para la dirección opuesta (b a a): i_bₐ = – iₐb y vₖ = v_b – vₐ. La potencia es pₖ = (v_b – vₐ) i_bₐ … (2)

Sumando (1) y (2) y simplificando se obtiene la expresión para n ramas. Aplicando la ley de corrientes de Kirchhoff (suma algebraica de corrientes en un nodo es cero), se demuestra que la suma de potencias entregadas a la red es cero. Por tanto, se prueba el teorema de Tellegen: la suma de potencias absorbidas por los elementos iguala a la suma de potencias entregadas por las fuentes.

• Artículo relacionado: Teorema de Norton. Guía Paso a Paso con Ejemplo Resuelto

Pasos para Aplicar el Teorema de Tellegen

Para resolver cualquier red eléctrica mediante este teorema, siga estos pasos:

Paso 1: Determine el número de ramas en la red. Calcule la potencia disipada en cada rama hallando el voltaje o la corriente mediante métodos de análisis convencionales (KVL, KCL, análisis de mallas/nodos).

Paso 2: Calcule la potencia instantánea de cada rama.

Paso 3: Identifique las ramas con fuentes de energía (ramas generadoras) y las que solo tienen elementos pasivos (ramas absorbentes).

Paso 4: Asigne signo positivo a la potencia en ramas generadoras y negativo en ramas absorbentes (o viceversa, pero mantenga la convención en todo el ejemplo).

Paso 5: Sumen todas las potencias calculadas. La suma total debe ser cero, validando el teorema.

• Artículo relacionado: Análisis de SUPERMESH – Paso a Paso con Ejemplo Resuelto

Ejemplo Resuelto #1

Justificar el teorema de Tellegen para la red siguiente:

Solución:

Paso 1: El circuito tiene 5 ramas. Aplicamos KVL para hallar las corrientes de malla:

Malla 1: 15 = 12I₁ – 3I₂

Malla 2: 12 = –3I₂ + 6I₂

Resolviendo: I₁ = 2 A, I₂ = 3 A.

Paso 2: Corriente en rama 3: I₁₂ = I₂ – I₁ = 3 – 2 = 1 A. Potencias:

• P₁ = V I₁ = 15 × 2 = 30 W (fuente de 15 V)
• P₂ = R₁ I₁² = 9 × 4 = 36 W (resistor 9 Ω)
• P₃ = R₁ I₁₂² = 3 × 1 = 3 W (resistor 3 Ω)
• P₄ = R₃ I₂² = 3 × 9 = 27 W (resistor 3 Ω)
• P₅ = V I₂ = 12 × 3 = 36 W (fuente de 12 V)

Paso 3: Ramas 1 y 5 son generadoras; 2, 3 y 4 son absorbentes.

Paso 4: Signo + para P₁ y P₅; signo – para P₂, P₃, P₄.

Paso 5: Suma: P₁ – P₂ – P₃ – P₄ + P₅ = 30 – 36 – 3 – 27 + 36 = 0 W. El teorema se verifica.

• Artículo relacionado: Análisis de SUPERNODO – Paso a Paso con Ejemplo Resuelto

Ejemplo Resuelto #2

Hallar el voltaje en la fuente de corriente de 6 A usando el teorema de Tellegen.

Solución:

Paso 1: Aplicamos KVL a la malla 2: –12 = 8I₂ – 6I₁. La corriente en la rama con la fuente es I₁ = 6 A. Sustituyendo: –12 = 8I₂ – 36 → I₂ = 3 A.

Paso 2: Corriente en rama 2: I₁₂ = I₁ – I₂ = 6 – 3 = 3 A. Potencias:

• P₁ = V I₁ = V × 6 = 6V (fuente de 6 A, voltaje desconocido)
• P₂ = R₁ I₁₂² = 6 × 9 = 54 W
• P₃ = R₂ I₂² = 2 × 9 = 18 W
• P₄ = V I₂ = –12 × 3 = –36 W (fuente de 12 V)

Paso 3-4: Ramas generadoras: 1 y 4 (signo +). Ramas absorbentes: 2 y 3 (signo –).

Paso 5: P₁ – P₂ – P₃ + P₄ = 0 → P₁ – 54 – 18 + 36 = 0 → P₁ = 36 W. Pero P₁ = 6V, por tanto V = 18 V. El voltaje en la fuente de 6 A es 18 V.

• Artículo relacionado: Teorema de Transferencia de Potencia Máxima para Circuitos AC y DC

Análisis y Simulación del Teorema de Tellegen con MATLAB

Objetivo: Demostrar el teorema para el circuito del ejemplo anterior.

Requisitos: MATLAB / Simulink.

Teoría: Según el teorema, la suma de potencias instantáneas de todas las ramas es cero. Para probarlo, calculamos voltajes y corrientes de cada rama mediante el modelo Simulink.

Modelo Simulink:

El modelo permite visualizar voltajes y corrientes en cada rama. Los valores coinciden con los calculados analíticamente (KVL/KCL) y con mediciones experimentales en protoboard.

Cálculo: Tras obtener voltajes y corrientes, se calcula la potencia instantánea por rama y se suma. El resultado es cero, confirmando el teorema.

• Artículo relacionado: Leyes de Corriente y Voltaje de Kirchhoff (KCL y KVL) | Ejemplo Resuelto

Aplicaciones del Teorema de Tellegen

Este teorema fundamental tiene numerosas aplicaciones:

• Diseño de filtros en procesamiento digital de señales.
• Determinación de estabilidad en plantas químicas (ingeniería química).
• Aplicable a sistemas concentrados con elementos lineales/no lineales, activos/pasivos, variantes/invariantes en el tiempo.
• Procesos biológicos.
• Topología y análisis de reacción de estructuras.
• Comportamiento dinámico de redes físicas.

Tutoriales Relacionados de Análisis de Circuitos Eléctricos:

• Teorema de Superposición – Análisis de Circuitos con Ejemplo Resuelto
• Calculadora de Regla de Cramer – Sistemas de 2 y 3 Ecuaciones para Circuitos Eléctricos
• Puente de Wheatstone – Circuito, Funcionamiento, Derivación y Aplicaciones
• Calculadoras de Ingeniería Eléctrica y Electrónica
• 5000+ Fórmulas y Ecuaciones de Ingeniería Eléctrica y Electrónica