Domina el Teorema de Sustitución: Guía Paso a Paso con Ejemplo Práctico
Análisis y Resolución de Circuitos Eléctricos usando el Teorema de Sustitución
Teorema de Sustitución
Como su nombre indica, el teorema de sustitución se usa para reemplazar un elemento del circuito con otro elemento. Pero al reemplazar el elemento, debe tener en cuenta que el comportamiento del circuito no debe cambiar.
El teorema de sustitución establece que:
Este teorema se usa para demostrar varios teoremas. Para reemplazar una rama de la red, este teorema nos dice las condiciones de contorno.
Si se conoce el valor de la corriente que pasa por la rama y el valor del voltaje a través de la rama, podemos reemplazar esta rama con otros elementos como una fuente de voltaje, fuente de corriente, diferentes valores de resistores, etc. Al hacer esto, la condición inicial permanece inalterada.
Este teorema no es aplicable cuando un circuito tiene más de dos fuentes que están conectadas en serie o en paralelo.
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Explicación del Teorema de Sustitución
El teorema de sustitución es un reemplazo de cualquier rama de una red con una rama equivalente que tiene diferentes elementos. En este teorema, si cualquier rama o elemento es reemplazado por una fuente de voltaje y corriente que es la misma que la red original tiene el voltaje y la corriente de esa rama.
Entendamos el teorema de sustitución con una red mostrada en la figura siguiente.
Como se muestra en la figura anterior, tiene dos resistores conectados en serie con una fuente DC. Ahora, intentaremos reemplazar cualquier rama o elemento con otros elementos. Antes de eso, necesitamos saber el voltaje y la corriente que pasan por todas las ramas.
Aquí, este circuito tiene solo un bucle. Por lo tanto, la corriente que pasa por todas las ramas y elementos es la misma. Esta corriente puede determinarse aplicando KVL a la red.
Digamos que I es la cantidad de corriente que pasa por el bucle.
+15 = 5I + 10I
15 = 15I
I = 1 A
Así, la corriente que pasa por cada elemento es 1 A. Ahora, necesitamos encontrar el voltaje a través de todos los elementos.
Una rama tiene una fuente de voltaje. Así que no encontramos el voltaje de esa rama. Este voltaje se divide en dos resistores. Y necesitamos encontrar el voltaje a través de cada resistor. Puede encontrarse aplicando la regla del divisor de voltaje.
Así, el voltaje a través del resistor de 5Ω es:
Similarmente, el voltaje a través del resistor de 10Ω es:
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Sustitución 1
Podemos reemplazar la rama del resistor de 10Ω con una fuente de voltaje de 10V como se muestra en la figura siguiente.
Ahora, aplique KVL a la red:
+15 - 10 = 5I
5 = 5I
I = 1 A
Así, la corriente del bucle es la misma que el circuito original. Ahora, calcule el voltaje a través de los elementos. La rama del resistor de 10Ω se reemplaza con una fuente de 10V. Por lo tanto, el voltaje a través de esa rama es 10V. Y este voltaje es el mismo que el voltaje de esa rama en el circuito original.
Ahora, encuentre el voltaje a través de la rama del resistor de 5Ω. La corriente que pasa por esta rama es 1A. Por lo tanto, según la ley de Ohm:
V5Ω = 1 A × 5 = 5 V
Así, la corriente que pasa por todas las ramas y el voltaje a través de todas las ramas son los mismos que la red original.
Sustitución 2
Elimine la rama del resistor de 5Ω. Y reemplace esta rama con una fuente de voltaje de 5V. El diagrama de circuito de esta sustitución se muestra en la figura siguiente.
Ahora, calcule la corriente y el voltaje de todas las ramas y compárelo con la red original.
Para encontrar la corriente que pasa por el bucle, aplique KVL:
+15 - 5 = 10I
10 = 10I
I = 1 A
Por lo tanto, la corriente del bucle o la corriente que pasa por los elementos es la misma que la corriente que pasa por la red original.
La rama del resistor de 5Ω se reemplaza con una fuente de voltaje de 5V. Por lo tanto, el voltaje de esta rama es el mismo que el voltaje en la red original. Ahora, necesitamos calcular el voltaje a través de la rama del resistor de 10Ω.
La corriente que pasa por la rama del resistor de 10Ω es 1A. Según la ley de Ohm:
V10Ω = IR
V10Ω = 1 × 10
V10Ω = +10 V
Así, después de reemplazar el resistor de 5Ω con una fuente de voltaje de 5V, el comportamiento de la red no cambia.
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Sustitución 3
Elimine la rama del resistor de 10Ω y reemplácela con una fuente de corriente de 1A. El diagrama de circuito después de la sustitución se muestra en la figura siguiente.
Hay una fuente de corriente en el circuito. Por lo tanto, la corriente que pasa por el bucle es la misma que la cantidad de la fuente de corriente. En esta condición, una fuente de corriente de 1A está conectada a la red. Y por lo tanto, la corriente que pasa por el bucle es 1A, que es la misma que la corriente que pasa por la red original.
Ahora, calcule el voltaje a través del resistor de 5Ω y la fuente de 1A.
Según la ley de Ohm:
V5Ω = IR
V5Ω = 1 × 5
V5Ω = +5 V
Ahora, encuentre el voltaje a través de la fuente de corriente de 1A. Asumamos que el voltaje a través de la fuente de 1A es V.
De la figura anterior:
+15 - 5 - V = 0
V = +10 V
Así, se demuestra que el voltaje a través y la corriente que pasa por todos los elementos es la misma que la red original después de sustituir el resistor de 10Ω con una fuente de corriente de 1A.
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Sustitución 4
Elimine la rama del resistor de 10Ω y sustitúyala con un resistor de 5Ω conectado en serie con una fuente de voltaje de 5V. El diagrama de circuito de este sustituto se muestra en la figura siguiente.
Ahora, necesitamos encontrar la corriente que pasa por el bucle. Así que aplique KVL a la red anterior.
15 - 5 = 5I + 5I
10 = 10I
I = 1 A
Así, la corriente que pasa por los elementos son las mismas que la red original. Ahora, encuentre el voltaje a través de todos los elementos.
Para encontrar el voltaje a través del resistor de 5Ω; usamos la ley de Ohm.
V5Ω = IR
V5Ω = 1 × 5
V5Ω = 5 V
Ahora, encontramos el voltaje entre los puntos A y B.
De la figura anterior, la corriente que pasa por el resistor de 5Ω es 1A. Así, el voltaje a través de este elemento es 5V. Y el voltaje total entre el punto A y B es:
VAB = 5 + V5Ω
VAB = 5 + 5
VAB = +10 V
Por lo tanto, después de la sustitución de la rama del resistor de 10Ω con un resistor de 5Ω y una fuente de voltaje de 5V, el comportamiento de la red permanece igual.
Así, podemos decir que hay varios métodos disponibles para encontrar la sustitución del elemento de cualquier red sin cambiar el voltaje y la corriente del elemento y sin cambiar el comportamiento de la red.
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Pasos para Resolver una Red Usando el Teorema de Sustitución
Paso 1 Encuentre el voltaje y la corriente de todos los elementos de la red. Generalmente, el voltaje y la corriente pueden calcularse por el simple uso de KCL, KVL o la ley de Ohm.
Paso 2 Encuentre la rama concernida, que desea eliminar por un elemento diferente como fuente de corriente, fuente de voltaje o resistencia.
Paso 3 Encuentre el valor apropiado del elemento sustituido siempre que el voltaje y la corriente no cambien.
Paso 4 Verifique el nuevo circuito calculando el voltaje y la corriente de todos los elementos. Y compárelo con la red original.
Esto es todo sobre el teorema de sustitución. Ahora, tomemos un ejemplo.
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Ejemplo y Solución del Teorema de Sustitución
Resuelva la red siguiente usando el teorema de sustitución para calcular la corriente y el voltaje en todos los resistores.
Paso 1 Encuentre el voltaje y la corriente de todos los elementos. Para eso, en este ejemplo, aplicamos KVL a la red.
Aplique KVL en bucle 1:
14 = 6I1 - 4I2 … (1)
Aplique KVL en bucle 2:
0 = 12I2 - 4I1
12I2 = 4I1
I1 = 3I2 … (2)
Ponga este valor en la ecuación 1:
14 = 6(3I2) - 4I2
14 = 18I2 - 4I2
14 = 14I2
I2 = 1 A
De la ecuación 2:
I1 = 3 A
Paso 2 Ahora, eliminaremos las ramas del bucle 1 y haremos un solo bucle.
Paso 3 Podemos poner una fuente de voltaje o corriente en lugar del resistor de 4Ω. Aquí, pondremos una fuente de corriente.
La corriente que pasa por el bucle 2 es 1A. Por lo tanto, reemplazamos la rama con una fuente de corriente de 1A. Así, el circuito restante se muestra en la figura siguiente.
Paso 4 Verifiquemos el voltaje y la corriente de todos los elementos.
Esta red tiene un solo bucle. Y este bucle tiene una fuente de corriente. Así, el valor de la corriente que pasa por el bucle es el mismo que el valor de la fuente de corriente.
Aquí, el valor de la fuente de corriente es 1A. Por lo tanto, la corriente que pasa por la rama del resistor de 3Ω y 5Ω es 1A, que es la misma que la red original.
Ahora, encuentre el voltaje a través del resistor de 3Ω usando la ley de Ohm:
V3Ω = IR
V3Ω = 1 × 3
V3Ω = 3 V
Ahora, encuentre el voltaje a través del resistor de 5Ω usando la ley de Ohm:
V5Ω = IR
V5Ω = 1 × 5
V5Ω = 5 V
Así, el voltaje y la corriente son los mismos que la red original. Así funciona el teorema de sustitución.
En lugar de la fuente de corriente, si elegimos la fuente de voltaje en el paso 3. En esta condición, el valor de la fuente de voltaje es similar al valor de la rama del resistor de 4Ω.
En la red original, la corriente que pasa por la rama del resistor de 4Ω es:
I1 - I2 = 3 - 1 = 2 A
Según la ley de Ohm:
V4Ω = 2 × 4 = 8 V
Así, necesitamos conectar la fuente de voltaje de 8V con la red y el circuito restante se muestra en la figura siguiente.
Paso 4 Verifique el voltaje y la corriente. Aplique KVL al bucle anterior.
8 = 3I + 5I
8 = 8I
I = 1 A
El voltaje a través del resistor de 3Ω:
V3Ω = 1 × 3 = 3 V
El voltaje a través del resistor de 5Ω:
V5Ω = 1 × 5 = 5 V
Así, el voltaje y la corriente después de la sustitución son los mismos que la red original.
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