Ilustrar la Adición de Voltajes de CA Usando Números Complejos

En este tutorial exploramos cómo tres fuentes de voltaje de corriente alterna (CA) se combinan cuando se conectan en serie, usando aritmética de números complejos para determinar el voltaje neto. El enfoque demuestra que todas las leyes familiares de circuitos de CC —ley de Ohm, leyes de voltaje y corriente de Kirchhoff, y técnicas de análisis de redes— se aplican al análisis de CA siempre que cada cantidad se exprese en forma fasorial (compleja) y todas las fuentes operen a la misma frecuencia.

Comenzamos disponiendo las tres fuentes como se muestra en el diagrama a continuación. Las marcas de polaridad se eligen para que las direcciones de los fasores se sumen directamente, permitiéndonos escribir el voltaje total como una suma vectorial simple:

La LKT permite la adición de voltajes complejos.

Aunque el enunciado no especifica una frecuencia explícita, la suposición implícita es que las tres fuentes comparten la misma frecuencia. Esto satisface el requisito de que sus relaciones de fase permanezcan constantes, permitiendo el uso de reglas estilo CC.

La expresión algebraica para el voltaje total es:

V_total = V₁ + V₂ + V₃

Gr gráficamente, la adición fasorial se ilustra en la figura siguiente.

Adición gráfica de voltajes vectoriales.

El vector resultante se origina en el inicio de la fuente de 22 V y termina en la punta de la fuente de 15 V, como se muestra en la siguiente figura.

El resultante es equivalente a la suma vectorial de los tres voltajes originales.

Para calcular la magnitud y fase del resultante sin recurrir a un diagrama, convertimos cada fasor polar a forma rectangular, los sumamos y luego convertimos de nuevo. El cálculo produce:

V_total = 36,8052 V ∠ –20,5018°

En términos prácticos, un voltímetro mostraría solo la magnitud de 36,8052 V, mientras que un osciloscopio podría usarse para determinar el desfase de –20,5018° respecto a la fuente de referencia de 15 V. El mismo principio se aplica a los amperímetros de CA, que reportan la magnitud de la corriente pero no su ángulo de fase.

La representación rectangular es conveniente para la aritmética pero no tiene análogo empírico directo en la medición; por tanto, convertimos rutinariamente el resultado final a forma polar para comparar con instrumentos reales.

Para validar el resultado analítico, ejecutamos una simulación SPICE simple. Se incluye una resistencia de 10 kΩ solo para evitar un error de circuito abierto. La frecuencia elegida de 60 Hz es arbitraria porque las resistencias exhiben comportamiento independiente de la frecuencia, aunque otros elementos como capacitores e inductores introducirían dependencia de frecuencia.

Esquema de circuito SPICE.

v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 2 1 ac 12 35 sin
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.681E+01 -2.050E+01

La simulación confirma el resultado analítico: un voltaje total de 36,81 V ∠ –20,5°. Este resultado aparentemente contraintuitivo —obtener poco más de 36 V de fuentes de 15 V, 12 V y 22 V en serie— ilustra cómo las relaciones de fase pueden causar interferencia constructiva o destructiva en circuitos de CA.

A continuación, examinamos el efecto de invertir la polaridad de la fuente de 12 V. Invertir las puntas cambia la dirección del vector pero no el ángulo de fase nominal; matemáticamente esto puede representarse ya sea sumando 180° al ángulo (12 V ∠ 215°) o negando la magnitud (–12 V ∠ 35°). Ambos enfoques producen el mismo resultado rectangular:

En forma rectangular, la nueva suma es:

V_total = 30,4964 V ∠ –60,9368°

Verificamos esto con SPICE:

ac voltage addition
v1 1 0 ac 15 0 sin
v2 1 2 ac 12 35 sin ; inversión de números de nodo 2 y 1
v3 3 2 ac 22 -64 sin
r1 3 0 10k
.ac lin 1 60 60
.print ac v(3,0) vp(3,0)
.end
freq v(3) vp(3)
6.000E+01 3.050E+01 -6.094E+01

Repaso

• Todas las leyes de circuitos de CC se aplican a circuitos de CA —excepto cálculos de potencia— siempre que todas las variables estén en forma compleja y compartan una frecuencia común.
• Invertir la polaridad de una fuente de CA puede expresarse ya sea sumando 180° a su ángulo o negando su magnitud.
• Los valores medidos en circuitos de CA corresponden a las magnitudes polares de los fasores calculados; los valores rectangulares son útiles solo para pasos algebraicos intermedios.

Hojas de Trabajo Relacionadas

• Hoja de trabajo de análisis de redes de CA
• Hoja de trabajo de las leyes de Kirchhoff
• Hoja de trabajo de la ley de Ohm