Teorema de Millman: Análisis Paso a Paso Circuitos CA y CC con Ejemplos Prácticos

Teorema de Millman para Circuitos CA y CC – Ejemplos Resueltos Paso a Paso

Teorema de Millman

El Teorema de Millman se usa en análisis de circuitos cuando solo tiene ramas en paralelo. Es útil para calcular voltaje al final de un circuito. Solo aplicable a circuitos con red paralela.

El Teorema de Millman combina el Teorema de Thevenin y el Teorema de Norton. A veces llamado Teorema Generador Paralelo. Propuesto por profesor ingeniería eléctrica Jacob Millman, de ahí su nombre.

El Teorema de Millman establece que:

Significa que podemos encontrar voltaje a través de ramas paralelas de red dada. Este teorema reduce complejidad de red cuando varias fuentes conectadas como muestra figura siguiente.

Según Teorema Millman; voltaje a través de carga es:

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Ecuación Matemática

Como muestra figura, circuito con n fuentes voltaje (E₁, E₂, E₃, …, E_n). Resistencias internas: R₁, R₂, R₃, …, R_n. Según Millman, cualquier circuito puede reemplazarse por red siguiente. Figura muestra circuito equivalente Millman.

Necesitamos encontrar valor fuente voltaje (E) y resistencia equivalente (R). Circuito anterior similar a equivalente Thevenin. Por tanto, fuente voltaje (E) = voltaje equivalente Thevenin (V_TH) y resistencia equivalente = resistencia equivalente Thevenin (R_TH).

Hallamos circuito equivalente Norton para cálculo fácil. Hacemos transformación fuentes: convertimos todas fuentes voltaje en fuentes corriente.

Tenemos resistencia interna en serie con fuente voltaje. Tras transformación, fuente voltaje → fuente corriente y resistencia interna en paralelo con fuente corriente. Circuito convertido como muestra figura siguiente.

Según Ley Ohm, valores fuentes corriente: E₁/R₁, E₂/R₂, E₃/R₃, …, E_n/R_n. Para encontrar corriente equivalente Norton (I_N), cortocircuitamos terminales carga y hallamos corriente por esa rama.

En nodo A₁, corriente divide en dos caminos: uno por resistencia R₁ y otro por rama cortocircuitada. Corriente siempre fluye por camino menor resistencia. En esta condición, toda corriente pasa por rama cortocircuitada; corriente por resistencia = cero.

Lo mismo ocurre para todas fuentes en nodos A₂, A₃, …, A_n. Corriente por todas resistencias = cero.

En nodo A₂, corriente desde nodo A₁ se suma. Similarmente, en nodo A₃, corriente desde A₂ se suma. En nodo A_n, corriente de todos nodos sumada. Corriente total = suma todas corrientes = corriente Norton (I_N).

Hallamos corriente equivalente Norton. Ahora hallamos resistencia equivalente Norton. Eliminamos todas fuentes energía: circuito abierto fuentes corriente, cortocircuito fuentes voltaje.

En figura anterior, solo fuentes corriente. Las eliminamos con circuito abierto. Eliminamos carga para calcular resistencia equivalente. Circuito resultante:

Como se ve, todas resistencias en paralelo. Combinación paralela = resistencia equivalente.

R_eq = R_N = R₁ || R₂ || R₃ … || R_n

Ponemos estos valores en circuito equivalente Norton:

Si convertimos este equivalente Norton a equivalente Thevenin, calculamos E y R desde corriente Norton I_N y resistencia Norton R_N.

Según Ley Ohm:

E = I_N × R_N

Hagamos ecuación forma general para n ramas:

Tenemos valor fuente voltaje. Valor resistencia equivalente = resistencia equivalente Norton. Así obtenemos circuito equivalente Millman (fig-2).

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Pasos para Aplicar Teorema Millman

Paso 1: Teorema Millman solo aplicable a red/circuito con mayor número ramas paralelas. Asumimos resolver circuito con varias ramas paralelas conteniendo fuente voltaje en serie con resistencia interna.

Paso 2: Liste resistencias internas o resistencias en serie y fuentes voltaje.

Paso 3: Hallemos resistencia equivalente (R) a través terminales carga cortocircuitando fuentes voltaje.

Paso 4: Aplique Teorema Millman y halle valor voltaje (E) a través terminales carga. Use ecuación 1. Este es voltaje a través de carga.

Paso 5: Ponga valores R y E en circuito equivalente Millman (fig-2).

Paso 6: Aplique KVL al bucle para hallar corriente que pasa por carga.

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Análisis Circuito CC usando Teorema Millman

Ejemplo #1

Hallar corriente y voltaje a través terminales carga usando Teorema Millman.

Paso 1: Observando figura, cuatro ramas conectadas en paralelo. Aplicamos Millman.

Paso 2: Tres ramas excepto carga. Tres voltajes y tres resistencias:

E₁ = 12V y R₁ = 2Ω

E₂ = 0V y R₁ = 4Ω

E₃ = 16V y R₁ = 4Ω

Paso 3: Para resistencia equivalente, eliminamos fuentes voltaje cortocircuitando y abrimos terminales carga. Figura resultante:

R_eq = 1Ω

Todas resistencias en paralelo → resistencia equivalente:

Paso 4: Aplique Teorema Millman.

Ejemplo tiene 3 ramas → n=3.

Sustituya valores listados en ecuación.

E = 10V

Voltaje a través terminales carga.

Paso 5: Ponga valores en circuito equivalente Millman.

Paso 6: Según Ley Ohm,

I_L = 1A

Voltaje carga = 10V; corriente a través carga = 1A.

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Análisis Circuito CA usando Teorema Millman

Ejemplo #2

Hallar corriente y voltaje a través terminales carga usando Teorema Millman.

Paso 1: Cuatro ramas en paralelo → aplicamos Millman.

Paso 2: Sin considerar rama carga, tres ramas. Para cálculo fácil, liste voltajes e impedancias. En CA, usamos impedancia en vez de resistencia.

Valores fuentes voltaje en forma polar. Impedancias en forma rectangular. Convertimos voltajes a forma rectangular.

V₁ = 12∠60° = 6 + j10.392

V₂ = 9∠0° = 9 + j0

V₃ = 6∠30° = 5.196 + j3

Impedancias en forma rectangular:

Z₁ = 6Ω

Z₂ = j6Ω

Z₃ = –j6Ω

Paso 3: Hallemos impedancia equivalente. Eliminamos fuentes voltaje cortocircuitando. Circuito resultante:

Todas impedancias en paralelo → impedancia equivalente:

Z_eq = 6Ω

Paso 4: Aplique Teorema Millman.

Tres ramas → n=3.

V = 6 + j10.392 – j9 + j5.196 – 3

V = 3 + j6.588

Hallar valor RMS:

V = 7.23V

Paso 5: Ponga valores en circuito equivalente Millman.

Paso 6: Según Ley Ohm,

I_L = 0.9A

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Limitaciones Teorema Millman

Teorema Millman muy útil para resolver redes. Limitaciones:

• No aplica a circuito con fuente dependiente entre fuente independiente.
• Para circuito con menos de dos fuentes independientes, no es útil.
• No aplica a circuito con solo elementos en serie.
• Cuando hay elemento conectado entre fuentes, no es aplicable.

Aplicaciones Teorema Millman

Ampliamente usado en análisis redes para resolver circuitos complejos:

• Más útil para hallar voltaje e impedancia carga con muchas ramas paralelas y fuentes voltaje.
• Cálculo fácil; no requiere muchas ecuaciones.
• Usado para resolver circuitos complejos con elementos complejos como Op-Amp.

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