Teorema de Compensación en Análisis de Circuitos: Demostración, Explicación y Ejemplos Prácticos

Demostración, Explicación, Experimento y Ejemplos Resueltos del Teorema de Compensación para Análisis de Circuitos

Teorema de Compensación

A veces en teoría de redes, es importante conocer o estudiar el efecto del cambio de impedancia en una de sus ramas. Afectará los voltajes y corrientes correspondientes de la red o circuito. El teorema de compensación proporciona información sobre el cambio en la red.

El teorema de compensación funciona sobre el concepto básico de la ley de Ohm. Según la ley de Ohm, cuando una corriente pasa a través del resistor, se produce una cierta caída de voltaje a través del resistor. Esta caída de voltaje se opone al voltaje de la fuente.

Por lo tanto, conectamos una fuente de voltaje adicional en polaridad opuesta comparada con el voltaje de la fuente y magnitud igual a la caída de voltaje. El teorema de compensación funciona sobre este concepto.

El teorema de compensación establece que:

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Explicación del Teorema de Compensación

Para entender el teorema de compensación, considere la figura siguiente.

En esta figura, la fuente de voltaje V es una fuente de voltaje independiente y dos impedancias Z₁ y Z₂ son elementos lineales o bilaterales. Por lo tanto, podemos aplicar el teorema de compensación a esta red. La corriente que pasa por el bucle es I.

Ahora, suponga que la impedancia Z₂ aumenta en ∆Z. Debido a este cambio, la corriente que pasa por el bucle cambia y es I'. El nuevo diagrama de circuito se muestra en la figura siguiente.

Debido al cambio en la impedancia, el cambio en la corriente viene dado por ∆I.

ΔI = I - I’

Según el enunciado del teorema de compensación, podemos calcular directamente el cambio en la corriente ∆I. Para eso, necesitamos modificar el circuito.

La primera modificación es conectar una fuente de voltaje de valor I∆Z en la rama cuya impedancia ha cambiado. Y la polaridad de esta fuente de voltaje es opuesta a la fuente principal. La fuente de voltaje recién añadida V_C se conoce como fuente de compensación.

V_C = I ΔZ

La segunda modificación es que necesitamos eliminar la fuente de voltaje antigua por su impedancia interna. Si consideramos una fuente de voltaje ideal, en esta condición, podemos eliminar esta fuente de voltaje cortocircuitando sus terminales. Después de estas modificaciones, el circuito restante es como se muestra en la figura siguiente.

Resolviendo el circuito anterior, podemos encontrar fácilmente el cambio en la corriente después del cambio en la impedancia.

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Demostración del Teorema de Compensación

Considere el circuito dado en la figura 1. Calcule la corriente (I) que pasa por el bucle.

Aplique KVL a la figura 1:

Ahora, hemos asumido que la impedancia Z₂ cambia en ∆Z. Y el circuito modificado se muestra en la figura 2. Necesitamos calcular (I') la corriente que pasa por el bucle en la figura 2.

Aplique KVL a la figura 2:

Debido al cambio en la impedancia, el cambio en la corriente del bucle se denota como ∆I. Y ∆I es igual a la diferencia entre la corriente antigua I y la nueva corriente I'.

ΔI = I - I’

Ahora, considere la figura siguiente.

Esta figura representa el circuito después de la implementación del teorema de compensación. Aquí, la fuente de voltaje original se elimina por cortocircuito (asumiendo fuente de voltaje ideal).

Encontraremos la corriente que pasa por este bucle que es I''. Y compararemos esta corriente con la calculada anteriormente.

Para calcular la corriente que pasa por el bucle, aplique KVL a la figura anterior.

V_C = Z₁ I'' +(Z₂ +ΔZ) I''

V_C = I'' (Z₁ + Z₂ + ΔZ)

I'' = V_C / (Z₁ + Z₂ + ΔZ)

I'' = ΔI

Por lo tanto, se demuestra que el cambio en la corriente (∆I) después de la modificación es el mismo que la corriente calculada por el teorema de compensación.

Y hemos demostrado el enunciado del teorema de compensación.

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Experimento del Teorema de Compensación

Objetivo: Demostrar el teorema de compensación y encontrar el cambio en la corriente.

Material: Voltímetro, Amperímetro, Resistores, Cables de conexión, Protoboard.

Diagrama de circuito:

Procedimiento:

Paso 1: Conecte los componentes como se muestra en la figura 5 usando cables de conexión en una protoboard.

Paso 2: Mida la corriente I.

Paso 3: Conecte los componentes como se muestra en la figura 6. Aquí, hemos conectado un resistor extra.

Paso 4: Mida la corriente I1.

Paso 5: Calcule el cambio en la corriente (∆I) a partir de los valores de I e I1.

Paso 6: Conecte los componentes como se muestra en la figura 7. Este circuito es un circuito de compensación.

Paso 7: Mida la corriente I''.

Paso 8: Compare el cambio en la corriente (∆I) con I''.

Tabla Experimental:

Nº	I	I1	ΔI	I''
1

Resultado:

Al comparar el valor de la corriente I'' con ∆I, podemos demostrar el teorema de compensación.

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Ejemplo del Teorema de Compensación

Ejemplo 1

• 1) Encuentre la corriente que pasa por la rama AB cuando la resistencia es 3Ω.
• 2) Encuentre la corriente que pasa por la rama AB usando el teorema de compensación cuando la resistencia de 3Ω cambia a 9Ω.
• 3) Demuestre el teorema de compensación.

Respuesta 1

Como se muestra en la figura, los resistores de 6Ω y 3Ω están en paralelo. Y esta combinación en paralelo está conectada en serie con un resistor de 3Ω. Por lo tanto, la resistencia equivalente será:

R_Eq = 6 || 3 + 3

 

 

R_Eq = 2 + 3

R_Eq = 5 Ω

Según la ley de Ohm:

10 = I (5)

I = 10 ÷ 5

I = 2 A

Ahora, necesitamos encontrar la corriente que pasa por la rama AB. Según la regla del divisor de corriente:

I' = 1.333 A (o 4/3 A)

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Respuesta 2

Necesitamos reemplazar el resistor de 3Ω con uno de 9Ω. Según el teorema de compensación, necesitamos agregar una nueva fuente de voltaje en serie con el resistor de 9Ω. Y el valor de esta fuente de voltaje es:

V_C = I' ΔZ

Donde:

ΔZ = 9 - 3 = 6 Ω y I' = 4/3 A (o 1.333 A)

V_C = (4/3 A) × 6 Ω

V_C = 8 V

Un diagrama de circuito modificado o compensado se muestra en la figura siguiente.

Ahora, encontraremos la resistencia equivalente. Aquí, los resistores de 3Ω y 6Ω están conectados en paralelo. Y esta combinación en paralelo está conectada en serie con un resistor de 9Ω.

R_Eq = 3 || 6 + 9

R_Eq = 2 + 9

R_Eq = 11 Ω

Ahora, según la ley de Ohm:

V = ΔI R

8 = ΔI (11 Ω)

ΔI = 8 ÷ 11

ΔI = 0.7272 A

Así, según el teorema de compensación, el cambio en la corriente es 0.7272 A.

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Respuesta 3

Queremos demostrar el teorema de compensación. Así que calculamos la corriente en el ejemplo dado con un resistor de 9Ω.

El diagrama de circuito modificado se muestra en la figura siguiente.

Aquí, los resistores de 9Ω y 6Ω están conectados en paralelo y esta combinación en paralelo está conectada en serie con el resistor de 3Ω.

La resistencia equivalente es igual a:

R_Eq = 9 || 6 + 3

R_Eq = 99 ÷ 15

R_Eq = 6.66 Ω

De la figura anterior:

10 = I (6.66)

I = 10 ÷ 6.66

I = 1.5151 A

Según la regla del divisor de corriente:

I'' = 0.6060 A

ΔI = I' - I''

ΔI = (4/3 A) - 0.6060

ΔI = 1.333 A - 0.6060

ΔI = 0.7273 A

Por lo tanto, se demuestra que el cambio en la corriente calculado desde el teorema de compensación es el mismo que el cambio en la corriente calculado desde el circuito original.

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Ejemplo 2

En el circuito siguiente, encuentre el cambio de corriente si el resistor de 3Ω se reemplaza por uno de 7Ω usando el teorema de compensación. Y demuestre el teorema de compensación.

La red anterior consiste solo en resistores y fuentes de corriente independientes. Así que podemos aplicar el teorema de compensación a esta red.

En esta figura, la red es alimentada por una fuente de corriente. Ahora, necesitamos encontrar la corriente que pasa por la rama del resistor de 3Ω. Esta corriente puede encontrarse usando KCL o KVL. Pero aquí, esta corriente puede encontrarse fácilmente por la regla del divisor de corriente.

Por lo tanto, según la regla del divisor de corriente:

I = 70 ÷ 10 A

I = 7 A

En la red original con resistor de 3Ω, la corriente que pasa por esa rama es 3A. Ahora, necesitamos cambiar este resistor de 3Ω a 7Ω. Debido a esta modificación, la corriente que pasa por esa rama cambiará. Y encontraremos este cambio de corriente por el teorema de compensación.

Para eso, necesitamos hacer una red de compensación. Para hacer una red de compensación, necesitamos eliminar todas las fuentes independientes disponibles en la red cortocircuitando la fuente de voltaje y abriendo la fuente de corriente.

En esta red, solo hay una fuente de corriente disponible. Asumimos que la fuente de corriente es ideal. Por lo tanto, no requerimos agregar la resistencia interna.

La segunda modificación que necesitamos hacer en el circuito de compensación es agregar una fuente de voltaje extra. Y el valor de este voltaje es:

V_C = I ΔZ

V_C = 7 × (7 - 3)

V_C = 7 × 4

V_C = 28 V

La red de compensación se muestra en la figura siguiente.

Esta figura tiene solo un bucle. Y la corriente que pasa por la rama de 7Ω nos dará el cambio de corriente (∆I).

ΔI = V_C ÷ (7+7)

ΔI = 28 ÷ 14

ΔI = 2 A

Para demostrar el teorema de compensación, encontraremos la corriente en el circuito con un resistor de 7Ω conectado. El diagrama de circuito modificado se muestra en la figura siguiente.

I'' = (10 (7)) ÷ (7 + 7)

I'' = 70 ÷ 14

I'' = 5 A

Aplicando la regla del divisor de corriente:

Para encontrar el cambio de corriente, necesitamos restar esta corriente de la corriente que pasa por la red original.

ΔI = I - I''

ΔI = 7 - 5

ΔI = 2 A

Por lo tanto, hemos demostrado el teorema de compensación.

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