Análisis de fuerzas ópticas de un haz vórtice anómalo polarizado circularmente fuertemente enfocado sobre nanopartículas atrapadas

Resumen

Se estudian analítica y teóricamente las características de un haz vórtice anómalo polarizado circularmente (CPAVB), enfocado por un objetivo de alta apertura numérica (NA). Se muestra que la carga topológica afecta significativamente el perfil del haz y puede obtenerse un haz de tope plano (FT) modulando la NA y la carga topológica. Resulta interesante que la conversión de momento angular de spin a orbital puede ocurrir en la componente longitudinal tras el enfocamiento fuerte. Además, se analizan en detalle las fuerzas ópticas del CPAVB fuertemente enfocado sobre nanopartículas. Se espera atrapar dos tipos de nanopartículas usando dicho haz cerca del foco.

Introducción

Los haces vórtice con factor de fase espiral exp(imθ) han atraído amplia atención en las últimas dos décadas, donde m es una carga topológica que puede ser cualquier valor entero y θ es el ángulo azimutal en un plano transversal al eje óptico [1, 2]. Los haces vórtice se han usado ampliamente en numerosas aplicaciones debido a su perfil de intensidad en "dona" y momento angular orbital (OAM), como pinzas ópticas [3–7], comunicación óptica en espacio libre [8] e información cuántica [9]. Recientemente, los investigadores han prestado más atención al estudio de haces vórtice polarizados circularmente por sus características únicas [10–15], por ejemplo, transportan simultáneamente momento angular de spin (SAM) y OAM. Estas características únicas pueden expandir y mejorar significativamente las aplicaciones de los haces vórtice.

Las características de enfocamiento fuerte de diversos haces bajo un sistema de lente con alta NA es otro tema candente [16–20] por sus importantes aplicaciones en atrapamiento de partículas [21], microscopía [22], almacenamiento óptico de datos [23], etc. Hasta ahora, se han estudiado diferentes haces, desde haces vórtice escalares hasta haces vórtice vectoriales [10, 24–31]. Por ejemplo, Hao et al. [26] y Pu et al. [27] estudiaron las propiedades de haces vórtice polarizados espiralmente bajo lente de alta NA. Se mostró que un perfil de tope plano (FT) puede lograrse y el OAM puede ajustarse eligiendo un estado de polarización adecuado en el plano focal. Zhan et al. estudiaron las propiedades de haces vórtice fuertemente enfocados con polarización circular [10], mostrando que puede producirse una fuerte componente longitudinal.

El haz vórtice anómalo (AVB), un haz novedoso que puede evolucionar en un elegante haz Laguerre-Gaussiano en el campo lejano, fue propuesto recientemente [32]. Tal haz ha atraído mucha atención y ha sido ampliamente investigado [33–38], debido a sus extraordinarias propiedades de propagación. A nuestro conocimiento, no hay informes sobre CPAVBs enfocados por una lente de alta NA. En este artículo, se derivan las expresiones matemáticas de los CPAVBs tras el enfocamiento fuerte. Luego analizamos el efecto del orden del haz, la carga topológica y el valor de NA en el perfil del haz y la distribución de fase. En la última parte, se estudian las fuerzas ópticas de CPAVBs fuertemente enfocados.

Métodos

Un haz polarizado circularmente puede escribirse como sigue, indicando la superposición lineal de haces polarizados radial y azimutalmente [10]:

$$ {\mathrm{E}}_{LHC(RHC)}=P(r){e}^{\pm i\varphi}\left({\mathrm{e}}_{\rho}\pm j{\mathrm{e}}_{\varphi}\right)/\sqrt{2} $$ (1)

donde P(r) es la distribución de amplitud. Los signos "+" y "−" corresponden a polarización circular izquierda y derecha, respectivamente. e_ρ y e_φ son los vectores radial y azimutal en coordenadas cilíndricas. Las expresiones de los haces polarizados radial y azimutalmente pueden obtenerse en [39–41].

El esquema del sistema de enfocamiento es el mismo que en Ref. [42]. La función de apodización de pupila del AVB bajo condición seno (i.e., r = fsenθ) puede escribirse como [32, 38]:

$$ {\mathrm{E}}_{\mathrm{n},\mathrm{m}}\left(\theta, \varphi \right)={E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{{w_0}^2}\right)\exp \left(- im\varphi \right) $$ (2)

donde f es la distancia focal, θ varía de 0 a α, α es el ángulo máximo de NA, y E₀ y w₀ son una constante y el radio de cintura, respectivamente. n, φ y m son el orden del haz, coordenadas azimutales y la carga topológica, respectivamente.

Según la teoría vectorial de Debye, las expresiones del campo eléctrico del CPAVB fuertemente enfocado en coordenadas cilíndricas se derivan como Eq. (3):

$$ {\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{\pm, \rho}\left(\rho, \varphi, z\right)=-\frac{ikf}{2}{\int}_0^{\alpha }{E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{w_0}\right){i}^m\\ {}\kern6.399996em \times \sin \theta \sqrt{\cos \theta}\exp \left( ikz\cos \theta \right)\exp \left[i\left(m\pm 1\right)\varphi \right]\\ {}\kern6.399996em \times \left[\left(\cos \theta +1\right){J}_m\left( k\rho \sin \theta \right)-\left(\cos \theta -1\right){J}_{m\pm 2}\left( k\rho \sin \theta \right)\right] d\theta \end{array}} $$ (3a) $$ {\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{\pm, \varphi}\left(\rho, \varphi, z\right)=-\frac{ikf}{2}{\int}_0^{\alpha }{E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{w_0}\right){i}^{m\pm 1}\\ {}\kern6.399996em \times \sin \theta \sqrt{\cos \theta}\exp \left( ikz\cos \theta \right)\exp \left[i\left(m\pm 1\right)\varphi \right]\\ {}\kern6.399996em \times \left[\left(\cos \theta +1\right){J}_m\left( k\rho \sin \theta \right)-\left(\cos \theta -1\right){J}_{m\pm 2}\left( k\rho \sin \theta \right)\right] d\theta \end{array}} $$ (3b) $$ {\displaystyle \begin{array}{l}{E}_{\pm, z}\left(\rho, \varphi, z\right)=- ikf{\int}_0^{\alpha }{E}_0{\left(\frac{f\sin \theta }{w_0}\right)}^{2n+\left|m\right|}\exp \left(-\frac{f^2{\sin}^2\theta }{w_0}\right){i}^{m\pm 1}\\ {}\kern6.399996em \times {\sin}^2\theta \sqrt{\cos \theta}\exp \left( ikz\cos \theta \right)\exp \left[i\left(m\pm 1\right)\varphi \right]\\ {}\kern6.399996em \times {J}_{m\pm 1}\left( k\rho \sin \theta \right) d\theta \end{array}} $$ (3c)

donde J_n(α) es una función de Bessel de primera especie de orden n y k = 2π/λ. Definimos E₊ y E₋ como la expresión del campo eléctrico de CPAVB de mano derecha e izquierda, respectivamente.

En las ecuaciones anteriores se usan las siguientes fórmulas [43]:

$$ \left\{\begin{array}{l}{\int}_0^{2\pi}\cos \left( n\varphi \right)\exp \left[ ia\cos \left(\varphi -\phi \right)\right] d\varphi =2\pi {i}^n{J}_n(a)\cos \left( n\phi \right)\\ {}{\int}_0^{2\pi}\sin \left( n\varphi \right)\exp \left[ ia\cos \left(\varphi -\phi \right)\right] d\varphi =2\pi {i}^n{J}_n(a)\sin \left( n\phi \right)\end{array}\right. $$ (4)

Entonces, podemos calcular la intensidad total del CPAVB fuertemente enfocado como sigue:

$$ I={\left|{E}_{\rho}\left(\rho, \varphi, z\right)\right|}^2+{\left|{E}_{\varphi}\left(\rho, \varphi, z\right)\right|}^2+{\left|{E}_z\left(\rho, \varphi, z\right)\right|}^2 $$ (5)

donde E_ρ, E_φ y E_z son las amplitudes de los componentes correspondientes.

Resultados y Discusión

Características de Enfoque Fuerte del CPAVB

En esta sección, usando las ecuaciones anteriores, estudiamos las propiedades del CPAVB fuertemente enfocado. En la simulación, establecimos NA = 0,85, λ = 632,8 nm, w₀ = 2 mm, y f = 2 mm. En la Fig. 1, se representan el perfil de intensidad total y los componentes longitudinal y radial correspondientes de CPAVBs de mano izquierda con n = 1 para diferentes cargas topológicas en el plano focal. Se encuentra que la intensidad total es no nula en el centro cuando m ≤ 2, mientras que existe un punto oscuro en el centro cuando m > 2. Además, el componente radial de los campos enfocados no es cero en el eje cuando m = 0, 2, y lo mismo ocurre con el componente longitudinal cuando m = 1. Estos resultados pueden explicarse a partir de la Ec. (3) y la Ec. (5), debido a que J_m siempre es cero en el origen excepto para m = 0. La función de Bessel de primera especie en los tres componentes es cero en el centro cuando m > 2, por lo que la intensidad total es cero. De lo contrario, existe al menos un componente que contiene J₀, lo que significa que la intensidad central puede ser no nula y máxima. Además, para los componentes total y radial, el tamaño del foco focal aumenta a medida que aumenta la carga topológica. Por tanto, concluimos que la intensidad total y el tamaño del foco en el campo focal son afectados por la carga topológica.

En la Fig. 2, se representan el perfil de intensidad total y los componentes longitudinal y radial correspondientes de CPAVBs de mano izquierda con m = 1 para diferentes órdenes de haz en el plano focal. Se observa que a medida que n aumenta, los anillos externos de cada componente y de la intensidad total se vuelven gradualmente más brillantes, mientras que el patrón de intensidad no cambia. Así, el orden del haz n no afecta grandemente la forma de los patrones de intensidad.

Luego estudiamos cómo el valor de NA influye en las propiedades de enfocamiento de CPAVBs con n = 2 para m = 1 y m = 4, respectivamente. Como se muestra en la Fig. 3, es notable que la intensidad central permanece no nula para el caso de carga topológica m = 1, mientras que la intensidad central es oscura en el plano focal para m = 4. Comparando la Fig. 3 d-1 con d-2, encontramos que la intensidad aumenta y se concentra hacia el centro al aumentar NA. Especialmente, para el caso de m = 1, puede obtenerse un haz FT cuando NA aumenta a 0,8.

Basado en la Ec. (3c), calculamos las distribuciones de fase del componente longitudinal de CPAVBs en las proximidades del foco, como se muestra en la Fig. 4. La primera y segunda filas de la Fig. 4 son CPAVBs de mano izquierda y derecha, respectivamente. La ubicación para la Fig. 4 a–c son z = − 0,005z_r, 0, 0,005z_r, respectivamente, donde z_r = kw₀²/2 es el rango de Rayleigh. Otros parámetros se establecen como n = 1 y NA = 0,85. Como se muestra en la Fig. 4, el contorno de los patrones de fase cambia de horario a antihorario al pasar por el plano focal. Comparando la Fig. 4 a-1 a c-1 con la Fig. 4 a-2 a c-2, es interesante encontrar que la carga topológica cerca del foco cambia de 3 a 5 cuando el CPAVB de mano izquierda es reemplazado por uno de mano derecha. Este fenómeno puede explicarse como un CPAVB de mano izquierda con m = 4 transporta SAM l_s = −ħ y OAM m = 4ħ. Debido a la compensación del OAM opuesto convertido desde SAM, las cargas topológicas disminuyen a tres tras el enfocamiento fuerte. Por analogía, esperamos un comportamiento similar del CPAVB de mano derecha con m = 4, que transporta SAM l_s = ħ y OAM m = 4ħ. Debido al OAM convertido desde SAM, las cargas topológicas aumentan a cinco. Por tanto, concluimos que hay una conversión de SAM a OAM en la componente longitudinal tras el enfocamiento fuerte.

Atrapamiento de Nanopartículas Usando CPAVB Fuertemente Enfocado

Basado en la teoría de dispersión de Rayleigh [44], la fuerza de dispersión y la fuerza de gradiente deben considerarse al discutir el atrapamiento óptico. La fuerza de dispersión, escrita como F_scat = e_zn_mαI_out/c, tiende a desestabilizar la trampa óptica, donde c es la velocidad de la luz, e_z es un vector unitario junto a la dirección z, I_out es la intensidad del haz enfocado, α = (8/3)π(ka)⁴a²[(η² − 1)²/(η² + 2)²], ɑ es el radio de la nanopartícula, η = n_p/n_m, y n_m y n_p son los índices de refracción del medio circundante y de la nanopartícula, respectivamente. La fuerza de gradiente (F_grad) tiende a atraer una nanopartícula de vuelta al foco, expresada como F_grad = 2πn_mβ ∇ I_out/c, donde β = a³(η² − 1)/(η² + 2).

En el experimento de simulación, establecimos n_p = 1,59 y n_p = 1 para partícula de vidrio y burbuja de aire, respectivamente, n_m = 1,332, NA = 0,85, y ɑ = 50 nm. La Figura 5 representa las fuerzas de gradiente radial, longitudinal y de dispersión de un CPAVB de mano izquierda sobre una nanopartícula con n_p = 1 para diferentes m y n. Trabajos previos muestran que la intensidad total es oscura en el centro cuando m ≥ 3. Por tanto, como se esperaba, para nanopartícula de bajo índice de refracción, las fuerzas de gradiente radial y longitudinal siempre atraerán la nanopartícula de vuelta al foco, como se muestra en Fig. 5 a–d. Comparada con la fuerza de gradiente, la fuerza de dispersión es muy pequeña. Por tanto, la nanopartícula de bajo índice de refracción puede atraparse establemente.

La Figura 6 representa las fuerzas de gradiente radial, longitudinal y de dispersión de un CPAVB de mano izquierda sobre una nanopartícula con n_p = 1,59 para diferentes cargas topológicas m y órdenes de haz n. De la Fig. 6, vemos que existen varios puntos de equilibrio cerca del foco y la fuerza de dispersión puede despreciarse comparada con la de gradiente. Por tanto, la nanopartícula de alto índice de refracción puede capturarse cerca del foco.

Conclusiones

En este artículo, se han discutido las características de CPAVBs fuertemente enfocados y sus fuerzas ópticas sobre nanopartículas. Encontramos que el SAM de CPAVB puede convertirse en OAM cuando tal haz es fuertemente enfocado. Además, el CPAVB fuertemente enfocado puede usarse para atrapar dos tipos diferentes de nanopartículas, con bajo y alto índice de refracción, cerca del plano focal. Nuestra investigación será de ayuda para encontrar aplicaciones potenciales de CPAVB.