Control de Modo y Dispersión en Guías de Ondas Plasmónicas Grafeno-Dieléctrico mediante Dual No-linealidad

Resumen

Se estudian las propiedades de modo y dispersión de una guía de ondas plasmónica grafeno-dieléctrico no lineal considerando la dual no-linealidad del dieléctrico y el grafeno. Para polarización TM, se obtuvieron la distribución de modo, la distribución de permitividad y la relación de dispersión resolviendo numéricamente las ecuaciones de Maxwell. Comparado con el caso que considera solo la no-linealidad del dieléctrico, la intensidad de campo inicial para excitar modos plasmónicos se reduce notablemente al introducir la dual no-linealidad. Además, se discute la influencia de la dual no-linealidad en la relación de dispersión, hallando que la no-linealidad del grafeno afecta fuertemente las propiedades de dispersión. La introducción de dual no-linealidad conduce a la disminución de la intensidad de campo inicial, con potencial aplicación en interruptores totalmente ópticos de bajo umbral.

Antecedentes

La plasmónica de grafeno ha atraído amplia atención debido a las características electrónicas y ópticas únicas del grafeno frente a los metales. En el rango de frecuencia THz e infrarrojo lejano, la transición intrabanda de electrones domina y el grafeno se comporta como un metal. Por tanto, los polaritones de plasmones de superficie (SPP) pueden ser soportados por grafeno. En estructuras multicapa grafeno-dieléctrico, se han investigado la excitación, acoplamiento y propagación de SPPs. Se halló el modo cuasi-transversalmente electromagnético en una guía de ondas de placas paralelas de grafeno. El acoplamiento de SPPs se estudió en estructuras multicapa grafeno-dieléctrico. Para estructuras de array periódico de monocapa de grafeno, surge un fuerte acoplamiento entre SPPs cuando las láminas de grafeno están dispuestas estrechamente.

Se han dedicado esfuerzos considerables a investigar las propiedades ópticas de estructuras compuestas no lineales grafeno-dieléctrico por su gran potencial en el control de la propagación de luz a micro y nanoescala. Para el caso de monocapa de grafeno, se discutieron los plasmones de superficie en la interfase entre grafeno y sustrato no lineal tipo Kerr. Se muestra que la longitud de onda de los plasmones de grafeno puede ajustarse variando la permitividad no lineal de los sustratos. Para estructuras multicapa grafeno-dieléctrico no lineal, se exploraron las propiedades de propagación y localización de plasmones de grafeno, obteniéndose las relaciones de dispersión exactas para plasmones de superficie TM de una guía de ondas de placas paralelas de grafeno. La longitud de propagación y localización se ven notablemente afectadas al ajustar las permitividades no lineales. Recientemente, se derivó la relación de dispersión para los modos plasmónicos simétrico y antisimétrico en una estructura de lámina Kerr recubierta de grafeno. Además del modo típico de propagación hacia adelante, se encontraron los modos simétrico y antisimétrico.

Basándose en la fuerte no-linealidad del grafeno, se han predicho varios efectos ópticos no lineales. Nesterov et al. estudiaron la propagación no lineal de luz en una monocapa de grafeno, hallando que esta puede soportar solitones espaciales ópticos TE y TM a frecuencias ópticas debido a la no-linealidad intrínseca del grafeno. Más recientemente, reemplazando monocapa por multicapa de grafeno, Smirnova et al. investigaron las propiedades no lineales de una pila multicapa de láminas de grafeno, derivando ecuaciones no lineales que describen la dinámica espacial de plasmones no lineales. Los estudios previos se centraron principalmente en la influencia de una sola no-linealidad en el control de propiedades de luz en estructuras grafeno-dieléctrico. La idea de control por dual no-linealidad se introdujo en superredes fotónicas basadas en grafeno, logrando control eléctrico y totalmente óptico de haces fotónicos con precisión sublongitud de onda profunda. Sin embargo, el control de modo y propiedades de dispersión por dual no-linealidad en estructuras plasmónicas grafeno-dieléctrico deja aún muchas preguntas abiertas. Por tanto, en este trabajo consideramos simultáneamente la no-linealidad del grafeno y del dieléctrico en la guía de ondas grafeno-dieléctrico-grafeno, estudiando la influencia de la dual no-linealidad en el acoplamiento de modos y propiedades de dispersión.

Métodos

La guía de ondas plasmónica grafeno-dieléctrico no lineal se ilustra esquemáticamente en la Fig. 1: una placa paralela de grafeno con conductividad σ_g se coloca en x = ± d/2, donde el dieléctrico es un medio tipo Kerr con permitividad ε = ε_L + α|E|². En nuestro análisis, el grafeno se trata como una frontera debido a su espesor a escala atómica. Considerando SPPs de polarización magnética transversal (TM) que se propagan en dirección z con constante de propagación β y decaen exponencialmente en dirección x hacia el aire y el medio no lineal, respectivamente.

Para polarización TM, hay tres componentes de campo E_x, E_z e H_y. El campo magnético H = H_yy y el campo eléctrico E = E_xx + E_zz satisfacen las ecuaciones:

dE_z/dx = iωμ₀H_y + iβE_x (1)

iβH_y = -iωε₀εE_x (2)

dH_y/dx = iωε₀εE_z (3)

donde ε₀ y μ₀ son la permitividad y permeabilidad magnética del vacío. De la ecuación (2) y ε = ε_L + α|E|² se obtiene:

ε²E_x² = β²/(ω²ε₀²) H_y² (4)

E_x² = (ε - ε_L - αE_z²)/α (5)

Sustituyendo (5) en (4):

ε³ - (ε_L + αE_z²)ε² - αβ²/(ω²ε₀²) H_y² = 0 (6)

Para la ecuación cúbica x³ + bx² + cx + d = 0 (7), el discriminante es Δ = b²c² - 4c³ - 4b³d + 18bcd - 27d² (8). Estableciendo b = -(ε_L + αE_z²), c = 0, d = -αβ²H_y²/(ω²ε₀²), el discriminante de (6) cumple Δ < 0 (9), lo que significa que (6) tiene solo una solución real. Mediante el método de Cardano, la raíz real es x = -b/3 + ∛(-q/2 + √((p/3)³ + (q/2)²)) + ∛(-q/2 - √((p/3)³ + (q/2)²)) (10), donde p = c - b²/3, q = d - bc/3 + 2b³/27. Usando (10) se obtiene ε. Reemplazando ε en (2) y (3) por la solución real, las ecuaciones diferenciales ordinarias se resuelven numéricamente por un método de relajación.

Resultados y Discusión

Por requisitos de continuidad de E_z y H_y, las condiciones de frontera en x = ± d/2 satisfacen E_1z = E_2z y H_2y - H_1y = σ_gE_z. La conductividad de superficie del grafeno σ_g se rige por la fórmula de Kubo, incluyendo contribuciones de transición interbanda e intrabanda. En rango THz e infrarrojo lejano, la contribución intrabanda domina y la conductividad se simplifica a tipo Drude: σ_g = e²μ_c/(πℏ²) · i/(ω + iτ⁻¹) (11), donde e es la carga del electrón, μ_c el potencial químico, ω la frecuencia y τ el tiempo de relajación de momento. Este modelo es aplicable en límite de baja temperatura (k_BT ≪ μ_c) a baja frecuencia (ℏω ≤ μ_c). Para condición de campo fuerte, debe considerarse la parte no lineal de la conductividad: σ_g = σ_L + σ^NL|E_τ|² (12), donde E_τ es la componente tangencial del campo eléctrico y σ^NL la conductividad no lineal σ^NL = -i(3/8)(e²/πℏ²)(eν_F/μ_cω)²(μ_c/ω) (13), con ν_F = 0,95×10⁸ cm/s la velocidad de Fermi.

Para el grafeno, solo en rango THz e infrarrojo lejano su conductividad de superficie se simplifica a tipo Drude; por tanto, se elige longitud de onda incidente λ = 10 μm. Otros parámetros: ε₁ = 1, ε_L = 2,25, α = 5×10⁻¹⁶ (m/V)², E_F = 0,27 eV, τ = 1,5 ps. En estructuras lineales grafeno-dieléctrico-grafeno existen dos modos: simétrico y antisimétrico. A continuación, se discute la influencia de la no-linealidad en la distribución de modos en estructuras compuestas grafeno-dieléctrico.

Estableciendo H₀ como componente inicial de campo magnético en la interfase de incidencia, al resolver numéricamente las ecuaciones (1, 2, 3), se obtiene la dependencia de la intensidad inicial de campo magnético H₀ sobre la constante de propagación β (Fig. 2). La constante de propagación normalizada k_F = √(πn) está en unidades de momento de Fermi, donde n = 6×10¹² cm⁻² es densidad de portadores. Las curvas sólidas representan el caso considerando solo no-linealidad del dieléctrico; las curvas discontinuas, el caso considerando simultáneamente no-linealidad del dieléctrico y grafeno. En la Fig. 2, las propiedades de modo para ambos casos son iguales: tres ramas, significando que la guía de ondas plasmónica no lineal puede soportar tres modos. Sin embargo, comparado con el caso de única no-linealidad, la intensidad de campo inicial se reduce aparentemente para el caso de dual no-linealidad. Aunque la guía de ondas plasmónica de grafeno no lineal puede soportar tres modos, es imposible distinguir qué rama denota modo simétrico, antisimétrico o asimétrico. Para determinar las propiedades de modo de cada rama, se grafican la distribución de campo eléctrico y magnético asociadas a los puntos A, B, C y D en la Fig. 3.

Para la rama de curva discontinua negra, la permitividad y campos asociados a A se grafican en Fig. 3a, b, donde la distribución de permitividad y campo eléctrico E_z es simétrica. Por tanto, esta rama representa el modo simétrico. Para la rama de curva discontinua roja, la permitividad y campos asociados a B se dan en Fig. 3c, d. La distribución de permitividad sigue siendo simétrica; sin embargo, la distribución de E_z es antisimétrica, implicando que esta rama es un modo antisimétrico. La distribución de permitividad y campos asociados a C y D se grafican en Fig. 3e-h. La distribución de campo magnético y eléctrico asociados a C y D es asimétrica; por tanto, la rama de curva discontinua azul representa modo asimétrico. Simultáneamente, la distribución asimétrica del campo eléctrico conduce a distribución asimétrica de permitividad.

A continuación, se discute la influencia de la no-linealidad del dieléctrico y grafeno en la relación de dispersión. La Fig. 4 muestra la relación de dispersión para intensidad de campo magnético inicial fija (H₀ = 300 A/m) y diferentes potencial químico y coeficientes no lineales del dieléctrico. En Fig. 4a-c, se muestra la influencia del coeficiente no lineal del dieléctrico en la relación de dispersión, considerando solo la no-linealidad del dieléctrico. Cuando ambos coeficientes son cero (α = 0, σ^NL = 0), la estructura no lineal degenera en una estructura lineal. En Fig. 4a, para el caso lineal, solo existen modos simétrico y antisimétrico. La curva negra sólida y la roja sólida representan los modos simétrico y antisimétrico, respectivamente. Cuando el coeficiente no lineal es no nulo, aparece un modo asimétrico como rama III en Fig. 4b, c. Al aumentar más el coeficiente no lineal, su influencia en las propiedades de dispersión se vuelve débil.

En lo siguiente, se introduce simultáneamente la no-linealidad del dieléctrico y grafeno, discutiendo la influencia de la no-linealidad del grafeno en la relación de dispersión con coeficiente no lineal del dieléctrico fijo α = 5×10⁻¹⁶ (m/V)². Los resultados se muestran en Fig. 4d-f. Comparando Fig. 4d con Fig. 4c, se nota que el fenómeno de pliegue hacia atrás (fold-back) de la relación de dispersión aparece en las tres ramas. De la ecuación (13), la no-linealidad del grafeno puede controlarse ajustando el potencial químico. Al aumentar la no-linealidad del grafeno de μ_c = 0,27 eV a μ_c = 0,16 eV (Fig. 4e), el punto de pliegue de la relación de dispersión se desplaza hacia arriba. Para una mayor no-linealidad del grafeno (con μ_c = 0,10 eV), como en Fig. 4f, solo aparece el modo simétrico formando un bucle cerrado. De la Fig. 4, considerando solo la no-linealidad del dieléctrico, la relación de dispersión muestra tres ramas casi invariables al aumentar el coeficiente no lineal del dieléctrico. Sin embargo, al introducir también la no-linealidad del grafeno, aparece el fenómeno de pliegue hacia atrás. Para intensidad de campo magnético inicial H₀ y potencial químico especificados, la relación de dispersión muestra solo un modo simétrico con bucle cerrado.

Conclusiones

En resumen, se han investigado las propiedades de modo y dispersión de guía de ondas plasmónica grafeno-dieléctrico no lineal. La distribución de modo, permitividad y relaciones de dispersión se obtuvieron resolviendo numéricamente la ecuación de Maxwell para polarización TM. Comparado con el caso considerando solo la no-linealidad del dieléctrico, la intensidad de campo inicial se redujo aparentemente al considerar simultáneamente la no-linealidad del dieléctrico y grafeno. Además, la dual no-linealidad afecta significativamente las propiedades de dispersión de la guía de ondas. Especialmente, al aumentar la no-linealidad del grafeno, los modos antisimétrico y asimétrico se fusionan en uno y desaparecen gradualmente. Por tanto, solo puede encontrarse el modo simétrico en el caso de fuerte no-linealidad.