Guía MATLAB:Calcular derivadas polinómicas de forma eficiente

En matemáticas, una derivada representa la tasa de cambio de una función con respecto a una variable. En términos simples, nos dice cómo cambia una función en un punto dado. Los derivados son fundamentales en el cálculo y se utilizan ampliamente en campos como la física, la ingeniería y la economía para modelar el cambio y el movimiento.

Por ejemplo, si tiene una función que describe la posición de un automóvil a lo largo del tiempo, la derivada de esa función le dará la velocidad del automóvil (tasa de cambio de posición).

Derivadas de polinomios

Un polinomio es una expresión matemática que consta de variables elevadas a diferentes potencias, combinadas con coeficientes. Por ejemplo, el polinomio P(x) =3x2 + 2x + 5 es un polinomio de segundo grado.

La derivada de una función polinómica se encuentra aplicando una regla simple:para cada término, multiplica el coeficiente por el exponente y luego reduce el exponente en 1. Este proceso se repite para cada término del polinomio.

Por ejemplo, considere el polinomio:

P(x) = 3x3 + 4x2 + 2x + 1

La derivada, P(x), se calcula como −

• Para el término 3x3:multiplica 3 por 3 (el exponente), lo que da como resultado 9x2.
• Para el término 4x2:multiplica 4 por 2, lo que da como resultado 8x.
• Para el término 2x:multiplica 2 por 1, lo que da como resultado 2.
• El término constante (1) tiene una derivada de 0.

Entonces, la derivada es −

P(x) = 9x2 + 8x + 2

Derivados en MATLAB

MATLAB facilita el cálculo de derivadas de polinomios mediante funciones integradas. Un polinomio en MATLAB está representado por un vector que contiene sus coeficientes, ordenados por potencias descendentes de la variable.

Para encontrar la derivada de un polinomio, MATLAB proporciona la función polider.

Sintaxis

k = polyder(p)
k = polyder(a,b)
[q,d] = polyder(a,b)

Explicación de sintaxis

k =polyder(p) calcula la derivada de un polinomio dado por los coeficientes en p, lo que da como resultado un nuevo polinomio k(x) que representa la derivada d/dx p(x).

k =polyder(a,b) calcula la derivada del producto de dos polinomios a y b, lo que da como resultado un nuevo polinomio k(x) que representa.

$$\mathrm{\frac{d}{dx}[a(x) \:\cdot \:b(x)]}$$

[q, d] =polyder(a, b) calcula la derivada del cociente de dos polinomios a y b, devolviendo dos polinomios:q(x) (el numerador) y d(x) (el denominador), que representa la derivada de a(x)/b(x).

Ejemplo 1:Calcular la derivada usando polyder(p)

Consideremos que tenemos un polinomio

P(x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1

Este polinomio se puede representar mediante el vector de sus coeficientes en MATLAB −

p = [4 3 2 1];

Para calcular la derivada de este polinomio, usamos la función polider en MATLAB −

k = polyder(p);

Al ejecutar el código en la ventana de comandos de Matlab, el resultado es.

>> p = [4 3 2 1];
k = polyder(p)
k =
 12 6 2
>>

Para el término 4x3, la derivada es 12x2 (multiplica el coeficiente 4 por el exponente 3 y reduce el exponente en 1).

Para el término 3x2, la derivada es 6x.

Para el término 2x, la derivada es 2.

Para el término constante 1 tiene una derivada de 0.

Por tanto, el polinomio derivado es:

k(x) = 12x2 + 6x + 2

En Matlab el resultado de k será:[12 6 2]

Ejemplo 2:Otro ejemplo para encontrar derivadas de un polinomio

Considere seguir el polinomio

p(x) = 5x4 + 2x3 + 7x2 - 3x + 8 

Este polinomio se puede representar mediante el vector de sus coeficientes en MATLAB −

p = [5 -2 7 -3 8]

Para encontrar la derivada de este polinomio haremos uso de la función polider en matlab.

k = polyder(p)

Este comando devolverá los coeficientes de la derivada del polinomio p.

Cuando ejecuta el código en la ventana de comandos de matlab, el resultado es:

>> p = [5 -2 7 -3 8];
k = polyder(p)
k =
 20 -6 14 -3
>> 

El vector k =[20 -6 14 -3] representa el polinomio

k(x) = 20x3 - 6x2 + 14x - 3

Ejemplo 3:Derivada del producto de dos polinomios usando polider(a, b)

Consideremos dos polinomios

a(x) = 2x2 + 3x + 1
b(x) = 4x + 5

Estos polinomios se pueden representar mediante vectores de sus coeficientes en MATLAB:

a = [2 3 1]
b = [4 5] 

Para calcular la derivada del producto de estos dos polinomios, utilizamos la función polider con dos argumentos de entrada.

k = polyder(a, b);

Esto devolverá los coeficientes de la derivada del producto de a(x) y b(x).

Cuando ejecuta el código en la ventana de comandos de Matlab, el resultado que obtenemos es:

>> a = [2 3 1];
b = [4 5]; 
k = polyder(a, b)
k =
 24 44 19
>>

Entonces, el polinomio derivado es:k(x) =24x2 + 44x + 19

Ejemplo 4:Derivada de dos polinomios dados

Considere dos polinomios diferentes.

a(x) = 3x3 + 2x2 + x + 4
b(x) = x2 - 5x + 6

Estos polinomios se pueden representar mediante los siguientes vectores de coeficientes en MATLAB.

a = [3 2 1 4];
b = [1 -5 6];

Para calcular la derivada del producto de estos dos polinomios, usamos la función polider con los vectores a y b como entradas

k = polyder(a, b);

Este comando devolverá los coeficientes de la derivada del producto de a(x) y b(x).

Cuando el código se ejecuta en la ventana de comandos de Matlab, el resultado es:

>> a = [3 2 1 4];
b = [1 -5 6];
k = polyder(a, b)
k =
 15 -52 27 22 -14
>> 

Entonces, el polinomio derivado es −

k(x) = 15x4 - 52x3 + 27x2 + 22x - 14

Ejemplo 5:Derivada del cociente de dos polinomios usando [q, d] =polyder(a, b)

Consideremos dos polinomios −

a(x) = 4x2 + 3x + 2
b(x) = x2 - 2x + 1

Estos polinomios se pueden representar mediante vectores de sus coeficientes en Matlab.

a = [4 3 2];
b = [1 -2 1];

Para calcular la derivada del cociente a(x) / b(x), usamos la función polider con dos argumentos de salida q y d.

[q,d] = polyder(a,b)

Esto devolverá dos polinomios:q(x) (el numerador) y d(x) (el denominador) de la derivada de a(x) / b(x).

Cuando el código se ejecuta en la ventana de comandos de Matlab, el resultado es:

>> a = [4 3 2];
b = [1 -2 1];
[q,d] = polyder(a,b)
q =
 -11 4 7
d =
 1 -4 6 -4 1
>>