Transformación de impedancia

Las ondas estacionarias en los puntos de frecuencia de resonancia de una línea de transmisión abierta o en cortocircuito producen efectos inusuales. Cuando la frecuencia de la señal es tal que exactamente 1/2 onda o algún múltiplo de la misma coincide con la longitud de la línea, la fuente "ve" la impedancia de carga tal como es.

El siguiente par de ilustraciones muestra una línea de circuito abierto que opera a frecuencias de 1/2 y 1 longitud de onda:

La fuente se ve abierta, igual que el final de la línea de media longitud de onda.

La fuente se ve abierta, igual que el final de la longitud de onda completa (2x línea de media longitud de onda).

En cualquier caso, la línea tiene antinodos de voltaje en ambos extremos y nodos de corriente en ambos extremos. Es decir, hay voltaje máximo y corriente mínima en cada extremo de la línea, lo que corresponde a la condición de circuito abierto.

El hecho de que esta condición exista en ambos extremos de la línea nos dice que la línea reproduce fielmente su impedancia de terminación en el extremo de la fuente, de modo que la fuente "ve" un circuito abierto donde se conecta a la línea de transmisión, como si estuviera directamente en circuito abierto.

Lo mismo es cierto si la línea de transmisión termina con un corto:en las frecuencias de señal correspondientes a 1/2 longitud de onda o algún múltiplo de la misma, la fuente "ve" un cortocircuito, con voltaje mínimo y corriente máxima presente en los puntos de conexión entre la fuente y línea de transmisión:

La fuente ve corta, igual que el final de la línea de media onda.

La fuente se ve corta, igual que el final de la línea de longitud de onda completa (2x la mitad de la longitud de onda).

Sin embargo, si la frecuencia de la señal es tal que la línea resuena en ¼ longitud de onda o algún múltiplo de la misma, la fuente "verá" exactamente lo contrario de la impedancia de terminación.

Es decir, si la línea está en circuito abierto, la fuente “verá” un cortocircuito en el punto donde se conecta a la línea; y si la línea está en cortocircuito, la fuente "verá" un circuito abierto:(Figura siguiente)

Línea en circuito abierto; la fuente "ve" un cortocircuito: en la línea de un cuarto de longitud de onda (Figura siguiente), en la línea de tres cuartos de longitud de onda (Figura siguiente).

La fuente ve corta, reflejada desde la apertura al final de la línea de un cuarto de longitud de onda.

La fuente ve corta, reflejada desde abierta al final de la línea de tres cuartos de longitud de onda.

Línea en cortocircuito; la fuente "ve" un circuito abierto: en la línea de un cuarto de longitud de onda (Figura siguiente), en la línea de tres cuartos de longitud de onda (Figura siguiente)

La fuente ve abierta, reflejada desde el corto al final de la línea de un cuarto de longitud de onda.

La fuente ve abierta, reflejada desde el corto al final de la línea de tres cuartos de longitud de onda.

En estas frecuencias, la línea de transmisión en realidad funciona como un transformador de impedancia , transformando una impedancia infinita en impedancia cero, o viceversa.

Por supuesto, esto solo ocurre en puntos resonantes que resultan en una onda estacionaria de 1/4 de ciclo (la frecuencia resonante fundamental de la línea) o algún múltiplo impar (3/4, 5/4, 7/4, 9/4 ... ), pero si la frecuencia de la señal es conocida y no cambia, este fenómeno se puede utilizar para hacer coincidir impedancias que de otro modo serían incomparables.

Tomemos, por ejemplo, el circuito de ejemplo de la última sección donde una fuente de 75 Ω se conecta a una línea de transmisión de 75 Ω, terminando en una impedancia de carga de 100 Ω.

A partir de las cifras numéricas obtenidas a través de SPICE, determinemos qué impedancia "ve" la fuente en su extremo de la línea de transmisión en las frecuencias de resonancia de la línea:un cuarto de longitud de onda, media longitud de onda, tres cuartos de longitud de onda de longitud de onda completa.

La fuente ve 56,25 Ω reflejados desde una carga de 100 Ω al final de la línea de un cuarto de longitud de onda.

La fuente ve 100 Ω reflejados desde una carga de 100 Ω al final de la línea de media longitud de onda.

La fuente ve 56,25 Ω reflejados desde una carga de 100 Ω al final de la línea de tres cuartos de longitud de onda (igual que un cuarto de longitud de onda).

La fuente ve 100 Ω reflejados desde una carga de 100 Ω al final de la línea de longitud de onda completa (igual que la mitad de la longitud de onda).

¿Cómo se relacionan las impedancias de entrada, carga y línea?

Una ecuación simple relaciona la impedancia de línea (Z ₀ ), impedancia de carga (Z _load ) e impedancia de entrada (Z _entrada ) para una línea de transmisión incomparable que opera en un armónico impar de su frecuencia fundamental:

Una aplicación práctica de este principio sería hacer coincidir una carga de 300 Ω con una fuente de señal de 75 Ω a una frecuencia de 50 MHz. Todo lo que tenemos que hacer es calcular la impedancia adecuada de la línea de transmisión (Z ₀ ), y la longitud de modo que exactamente 1/4 de onda "se pare" en la línea a una frecuencia de 50 MHz.

Primero, calculando la impedancia de la línea:tomando los 75 Ω que deseamos que la fuente “vea” en el extremo de la fuente de la línea de transmisión, y multiplicando por la resistencia de carga de 300 Ω, obtenemos una cifra de 22.500. Sacar la raíz cuadrada de 22,500 produce 150 Ω para una impedancia de línea característica.

Ahora, para calcular la longitud de línea necesaria:asumiendo que nuestro cable tiene un factor de velocidad de 0.85, y usando una velocidad de la luz de 186,000 millas por segundo, la velocidad de propagación será 158,100 millas por segundo.

Tomando esta velocidad y dividiéndola por la frecuencia de la señal, obtenemos una longitud de onda de 0.003162 millas, o 16.695 pies. Dado que solo necesitamos un cuarto de esta longitud para que el cable soporte un cuarto de onda, la longitud de cable requerida es 4.1738 pies.

A continuación, se muestra un diagrama esquemático del circuito, que muestra los números de nodo para el análisis SPICE que estamos a punto de ejecutar:(Figura siguiente)

La sección de cuarto de onda de la línea de transmisión de 150 Ω coincide con una fuente de 75 Ω con una carga de 300 Ω.

Podemos especificar la longitud del cable en SPICE en términos de tiempo de retraso de principio a fin. Dado que la frecuencia es de 50 MHz, el período de la señal será el recíproco de eso, o 20 nanosegundos (20 ns). Una cuarta parte de ese tiempo (5 ns) será el retardo de una línea de transmisión de un cuarto de longitud de onda:

 Línea de transmisión v1 1 0 ac 1 pecado rsource 1 2 75 t1 2 0 3 0 z0 =150 td =5n rload 3 0300 .ac lin 1 50meg 50meg .imprimir ac v (1,2) v (1) v (2) v (3) .fin 

 frecuencia v (1,2) v (1) v (2) v (3) 5.000E + 07 5.000E-01 1.000E + 00 5.000E-01 1.000E + 00 

A una frecuencia de 50 MHz, nuestra fuente de señal de 1 voltio cae la mitad de su voltaje en la impedancia de la serie 75 Ω (v (1,2)) y la otra mitad de su voltaje en los terminales de entrada de la línea de transmisión (v ( 2)).

Esto significa que la fuente "cree" que está alimentando una carga de 75 Ω.

Sin embargo, la impedancia de carga real recibe 1 voltio completo, como lo indica la cifra de 1.000 en v (3). Con 0.5 voltios caídos a través de 75 Ω, la fuente está disipando 3.333 mW de potencia:lo mismo que disipado por 1 voltio a través de la carga de 300 Ω, lo que indica una impedancia perfecta, de acuerdo con el Teorema de transferencia de potencia máxima.

El segmento de la línea de transmisión de 1/4 de longitud de onda, 150 Ω ha hecho coincidir con éxito la carga de 300 Ω con la fuente de 75 Ω.

Tenga en cuenta, por supuesto, que esto solo funciona para 50 MHz y sus armónicos impares. Para que cualquier otra frecuencia de señal reciba el mismo beneficio de impedancias igualadas, la línea de 150 Ω debería alargarse o acortarse en consecuencia para que tenga exactamente 1/4 de longitud de onda.

Curiosamente, la misma línea exacta también puede hacer coincidir una carga de 75 Ω con una fuente de 300 Ω, lo que demuestra cómo este fenómeno de transformación de impedancia es fundamentalmente diferente en principio al de un transformador convencional de dos devanados:

 Línea de transmisión v1 1 0 ac 1 pecado rsource 1 2300 t1 2 0 3 0 z0 =150 td =5n rload 3 0 75 .ac lin 1 50meg 50meg .imprimir ac v (1,2) v (1) v (2) v (3) .fin 

 frecuencia v (1,2) v (1) v (2) v (3) 5.000E + 07 5.000E-01 1.000E + 00 5.000E-01 2.500E-01 

Aquí, vemos el voltaje de la fuente de 1 voltio dividido igualmente entre la impedancia de la fuente de 300 Ω (v (1,2)) y la entrada de la línea (v (2)), lo que indica que la carga “aparece” como una impedancia de 300 Ω de la perspectiva de la fuente donde se conecta a la línea de transmisión.

Esta caída de 0.5 voltios en la impedancia interna de 300 Ω de la fuente produce una figura de potencia de 833.33 µW, la misma que los 0.25 voltios en la carga de 75 Ω, como lo indica la figura de voltaje v (3). Una vez más, los valores de impedancia de la fuente y la carga han coincidido con el segmento de la línea de transmisión.

Esta técnica de igualación de impedancia se utiliza a menudo para igualar los diferentes valores de impedancia de la línea de transmisión y la antena en los sistemas de transmisores de radio, porque la frecuencia del transmisor es generalmente conocida y no cambia.

El uso de un "transformador" de impedancia de 1/4 de longitud de onda proporciona una adaptación de impedancia utilizando la longitud de conductor más corta posible. (Figura siguiente)

La sección de línea de transmisión de cuarto de onda de 150 Ω coincide con la línea de 75 Ω con una antena de 300 Ω.

REVISAR:

• Se puede usar una línea de transmisión con ondas estacionarias para igualar diferentes valores de impedancia si se opera a la frecuencia o frecuencias correctas.
• Cuando se opera a una frecuencia correspondiente a una onda estacionaria de 1/4 de longitud de onda a lo largo de la línea de transmisión, la impedancia característica de la línea necesaria para la transformación de impedancia debe ser igual a la raíz cuadrada del producto de la impedancia de la fuente y la impedancia de la carga. .