Aritmética booleana: suma, multiplicación y complementación en lógica digital

Comencemos nuestra exploración del álgebra booleana sumando números:

 

 

Las tres primeras sumas tienen sentido perfecto para cualquiera familiar con adición elemental. La última suma, sin embargo, suele ser fuente de confusión en electrónica digital porque parece contradecir reglas ordinarias de aritmética.

Sí contradice reglas para adición de números reales, pero no para valores booleanos. En álgebra booleana toda cantidad solo puede ser 0 o 1; no existe «2». Así, al evaluar 1 + 1, el resultado no puede ser 0, por tanto debe ser 1.

Ya sumemos dos términos o muchos, el patrón permanece igual:

 

 

Compuerta OR

Observa que las sumas de dos términos en el primer conjunto de ecuaciones coinciden con tabla de verdad de compuerta OR. La adición booleana corresponde pues a operación lógica OR, que también se representa con contactos de interruptor en paralelo:

 

 

No existe sustracción en matemáticas booleanas porque la sustracción requiere números negativos, que no existen en este dominio. Igualmente, división se excluye por ser esencialmente sustracción compuesta.

 

Compuerta AND

La multiplicación booleana sigue mismas reglas que multiplicación de números reales: cualquier valor multiplicado por 0 es 0, y cualquier valor multiplicado por 1 permanece inalterado:

 

 

Este conjunto de ecuaciones refleja tabla de verdad de compuerta AND. Por tanto, multiplicación booleana mapea directamente a operación lógica AND, ilustrada también por contactos de interruptor en serie:

 

 

Como álgebra convencional, álgebra booleana usa letras para representar variables, pero siempre en mayúscula. Como variable booleana solo puede ser 0 o 1, tiene complemento —el valor opuesto. Por ejemplo, si A = 0, entonces complemento de A es 1.

La complementación se indica con barra sobre la variable, como se muestra abajo:

 

Compuerta NOT

En notación, el complemento de A se escribe como Aʹ o A̅. El símbolo de barra es más común que el primo, que también aparece en cálculo.

La complementación se representa en circuitos por compuerta NOT o contacto de relé normalmente cerrado:

 

 

Estas definiciones establecen reglas básicas de aritmética booleana: adición es OR, multiplicación es AND, complementación es NOT. Sustracción y división no están definidas.

Exploraremos identidades booleanas en la siguiente sección.

 

REPASO:

• Adición booleana ⇔ lógica OR, contactos interruptor en paralelo.
• Multiplicación booleana ⇔ lógica AND, contactos interruptor en serie.
• Complementación booleana ⇔ lógica NOT, contactos relé normalmente cerrados.

 

HOJAS DE TRABAJO RELACIONADAS:

• Hoja de trabajo de álgebra booleana