Relaciones booleanas en diagramas de Venn

El cuarto ejemplo tiene A B parcialmente superpuesto . Sin embargo, primero veremos toda el área sombreada a continuación, luego solo la región superpuesta. Asignemos algunas expresiones booleanas a las regiones anteriores como se muestra a continuación.

Abajo a la izquierda hay un área sombreada horizontal roja para A . Hay un área sombreada vertical azul para B .

Si miramos el área completa de ambos, independientemente del estilo de sombreado, la suma total de todas las áreas sombreadas, obtenemos la ilustración de arriba a la derecha que corresponde al OR inclusivo función de A, B. La expresión booleana es A + B .

Esto se muestra en el 45 ^o área sombreada. Todo lo que esté fuera del área sombreada corresponde a (A + B), no como se muestra arriba. Pasemos a la siguiente parte del cuarto ejemplo.

La otra forma de ver un diagrama de Venn con círculos superpuestos es mirar solo la parte común a ambos A y B , el área de doble rayado abajo a la izquierda. La expresión booleana de este área común correspondiente a Y la función es AB como se muestra abajo a la derecha. Tenga en cuenta que todo lo que esté fuera de AB de doble sombreado es AB-no .

Tenga en cuenta que algunos de los miembros de A , arriba, son miembros de (AB) ’ . Algunos de los miembros de B son miembros de (AB) ’ . Pero ninguno de los miembros de (AB) ’ están dentro del área doblemente sombreada AB .

Hemos repetido el segundo ejemplo de arriba a la izquierda. Su quinto ejemplo, que esbozó anteriormente, se proporciona arriba a la derecha para comparar. Más adelante encontraremos el elemento ocasional, o grupo de elementos, totalmente contenido dentro de otro grupo en un mapa de Karnaugh.

A continuación, mostramos el desarrollo de una expresión booleana que involucra una variable complementada a continuación.

Ejemplo: (arriba)

Muestre un diagrama de Venn para A’B (A-no Y B).

Solución: Comenzando arriba a la izquierda, tenemos una A ’ sombreada en rojo horizontal (A-not), luego, arriba a la derecha, B . A continuación, en la parte inferior izquierda, formamos la función AND A'B superponiendo las dos regiones anteriores. La mayoría de la gente usaría esto como respuesta al ejemplo planteado.

Sin embargo, solo el A'B de doble sombreado se muestra en el extremo derecho para mayor claridad. La expresión A’B es la región donde tanto A ’ y B superposición. La región despejada fuera de A’B es (A’B) ’ , que no formaba parte del ejemplo propuesto.

Intentemos algo similar con el OR booleano función.

Ejemplo: Encuentra B ’+ A

Solución: Arriba a la derecha comenzamos con B que se complementa con B ’ . Finalmente superponemos A encima de B ’ . Dado que estamos interesados ​​en formar el OR función, buscaremos todas las áreas sombreadas independientemente del estilo de sombreado. Por tanto, A + B ’ es todo el área sombreada arriba a la derecha. Se muestra como una sola región de sombreado debajo a la izquierda para mayor claridad.

Ejemplo: Buscar (A + B ’)’

Solución:

El verde 45 ^o A + B " área sombreada fue el resultado del ejemplo anterior. Pasando a a, (A + B ’)’ , en el ejemplo actual, arriba a la izquierda, busquemos el complemento de A + B ’ , que es el área blanca transparente arriba a la izquierda correspondiente a (A + B ’)’ .

Tenga en cuenta que hemos repetido, a la derecha, el AB ’ resultado de doble rayado de un ejemplo anterior para compararlo con nuestro resultado. Las regiones correspondientes a (A + B ’)’ y AB ’ arriba a la izquierda y a la derecha, respectivamente, son idénticos. Esto se puede demostrar con el teorema de DeMorgan y la doble negación.

Esto trae a colación un punto. Los diagramas de Venn en realidad no prueban nada. Se necesita álgebra booleana para pruebas formales. Sin embargo, los diagramas de Venn se pueden utilizar para verificación y visualización. Hemos verificado y visualizado el teorema de DeMorgan con un diagrama de Venn.

Ejemplo:

¿Qué significa la expresión booleana A ’+ B’ parece en un diagrama de Venn?

Solución: figura anterior

Comience con una A ’ rayada horizontal en rojo. y B ’ rayados verticales en azul sobre. Superponga los diagramas como se muestra. Todavía podemos ver la A ’ trampilla horizontal roja superpuesta a la otra trampilla. También completa lo que solía ser parte de la B (B-verdadero) círculo, pero solo esa parte de la B círculo abierto no común a A círculo abierto.

Si solo miramos la B ’ trampilla vertical azul, llena esa parte del A abierto círculo no común a B . Cualquier región con cualquier sombreado, independientemente del tipo, corresponde a A ’+ B’ . Es decir, todo menos el espacio en blanco abierto en el centro.

Ejemplo:

¿Qué significa la expresión booleana (A ’+ B’) ’ parece en un diagrama de Venn?

Solución: figura de arriba, abajo a la izquierda

Mirando el espacio blanco abierto en el centro, es todo NO en la solución anterior de A ’+ B’ , que es (A ’+ B’) ’ .

Ejemplo: Demuestre que (A ’+ B’) ’=AB

Solución: debajo de la figura, abajo a la izquierda

Anteriormente mostramos en el diagrama de arriba a la derecha que la región blanca abierta es (A ’+ B’) ’ . En un ejemplo anterior, mostramos una región doblemente sombreada en la intersección (superposición) de AB . Estas son las cifras de la izquierda y del medio que se repiten aquí.

Al comparar los dos diagramas de Venn, vemos que esta región abierta, (A ’+ B’) ’ , es lo mismo que la región doblemente sombreada AB (A Y B). También podemos probar que (A ’+ B’) ’=AB por el teorema de DeMorgan y la doble negación como se muestra arriba.

Mostramos un diagrama de Venn de tres variables arriba con las regiones A (rojo horizontal), B (vertical azul) y C (verde 45 ^o ). En el centro, observe que las tres regiones se superponen y representan la expresión booleana ABC .

También hay una región en forma de pétalo más grande donde A y B superposición correspondiente a la expresión booleana AB . De manera similar A y C superposición que produce la expresión booleana AC . Y B y C superposición que produce la expresión booleana BC .

Al observar el tamaño de las regiones descritas por las expresiones AND anteriores, vemos que el tamaño de la región varía con el número de variables en la expresión AND asociada.

• A , 1 variable es una gran región circular.
• AB , 2-variable es una región en forma de pétalo más pequeña.
• ABC , 3 variables es la región más pequeña.
• Cuantas más variables haya en el término AND, más pequeña será la región.