Identidades clave del álgebra booleana: visión general completa

En matemáticas, una identidad es enunciado verdadero para todos los valores posibles de su variable o variables.

La identidad algebraica x + 0 = x nos dice que cualquier cosa (x) sumada a cero iguala la «cosa» original, sin importar qué valor tenga esa «cualquier cosa» (x).

Como álgebra ordinaria, el álgebra booleana tiene sus propias identidades únicas basadas en estados bivalentes de variables booleanas.

 

Identidades aditivas

Sumar cero

La primera identidad booleana es que la suma de cualquier cosa y cero es la misma que la original «cualquier cosa».

Esta identidad no difiere de su equivalente algebraico de números reales:

 

 

Sin importar valor de A, la salida siempre será la misma: cuando A=1, salida también 1; cuando A=0, salida también 0.

 

Sumar uno

La siguiente identidad es definitivamente distinta a cualquier vista en álgebra normal.

Aquí descubrimos que la suma de «cualquier cosa» y uno es uno:

 

 

Sin importar valor de A, la suma de A y 1 siempre será 1.

En cierto sentido, la señal «1» anula el efecto de A en el circuito lógico, dejando salida fija en nivel lógico 1.

 

Sumar cantidad a sí misma

Examinamos efecto de sumar A y A juntos, lo mismo que conectar ambas entradas de compuerta OR entre sí y activarlas con misma señal:

 

 

En álgebra de números reales, suma de dos variables idénticas es el doble del valor original (x + x = 2x), pero recuerda que no existe concepto de «2» en matemáticas booleanas, solo 1 y 0, así que no podemos decir A + A = 2A.

Por tanto, al sumar cantidad booleana a sí misma, la suma iguala la cantidad original: 0 + 0 = 0, y 1 + 1 = 1.

 

Sumar cantidad a su complemento

Introduciendo el concepto exclusivamente booleano de complementación en identidad aditiva, hallamos efecto interesante.

Puesto que debe haber un valor «1» entre cualquier variable y su complemento, y como suma de cualquier cantidad booleana y 1 es 1, la suma de variable y su complemento debe ser 1:

 

 

Identidades multiplicativas

Así como hay cuatro identidades booleanas aditivas (A+0, A+1, A+A, A+A'), también hay cuatro multiplicativas: A×0, A×1, A×A, A×A'. De estas, las dos primeras no difieren de sus equivalentes en álgebra regular:

 

Multiplicar por 0 o 1

 

 

Multiplicar cantidad por sí misma

La tercera identidad multiplicativa expresa resultado de cantidad booleana multiplicada por sí misma.

En álgebra normal, producto de variable por sí misma es el cuadrado de esa variable (3 x 3 = 3² = 9).

Sin embargo, concepto de cuadrado implica cantidad 2, que no tiene significado en álgebra booleana, así que no podemos decir A × A = A².

En su lugar, hallamos que producto de cantidad booleana y sí misma es la cantidad original, ya que 0 × 0 = 0 y 1 × 1 = 1:

 

 

Multiplicar cantidad por su complemento

La cuarta identidad multiplicativa no tiene equivalente en álgebra regular porque usa complemento de variable, concepto único a matemáticas booleanas.

Puesto que debe haber un valor «0» entre cualquier variable y su complemento, y como producto de cualquier cantidad booleana y 0 es 0, el producto de variable y su complemento debe ser 0:

 

 

Para resumir, tenemos cuatro identidades booleanas básicas para adición y cuatro para multiplicación:

 

 

Doble complemento

Otra identidad relacionada con complementación es la del doble complemento: variable invertida dos veces.

Complementar variable dos veces (o cualquier número par de veces) resulta en valor booleano original.

Esto es análogo a negar (multiplicar por -1) en álgebra de números reales: número par de negaciones cancelan dejando valor original:

 

 

HOJAS DE TRABAJO RELACIONADAS:

• Hoja de trabajo de álgebra booleana