Introducción al álgebra booleana

Las reglas matemáticas se basan en los límites de definición que ponemos en las cantidades numéricas particulares tratadas.

Cuando decimos que 1 + 1 =2 o 3 + 4 =7, estamos insinuando el uso de cantidades enteras:los mismos tipos de números que todos aprendimos a contar en la educación primaria.

Lo que la mayoría de la gente asume que son reglas aritméticas evidentes, válidas en todo momento y para todos los propósitos, en realidad dependen de lo que definamos que es un número.

Por ejemplo, al calcular cantidades en circuitos de CA, encontramos que las cantidades numéricas "reales" que nos sirvieron tan bien en el análisis de circuitos de CC son inadecuadas para la tarea de representar cantidades de CA.

Sabemos que los voltajes se suman cuando se conectan en serie, pero también sabemos que es posible conectar una fuente de CA de 3 voltios en serie con una fuente de CA de 4 voltios y terminar con un voltaje total de 5 voltios (3 + 4 =5) .

¿Significa esto que se han violado las reglas inviolables y evidentes de la aritmética?

No, solo significa que las reglas de los números "reales" no se aplican a los tipos de cantidades que se encuentran en los circuitos de CA, donde cada variable tiene una magnitud y una fase.

En consecuencia, debemos usar un tipo diferente de cantidad numérica u objeto para los circuitos de CA ( complejos números, en lugar de reales números), y junto con este sistema diferente de números viene un conjunto diferente de reglas que nos dicen cómo se relacionan entre sí.

Una expresión como "3 + 4 =5" es una tontería dentro del alcance y la definición de números reales, pero encaja muy bien dentro del alcance y la definición de números complejos (piense en un triángulo rectángulo con lados opuestos y adyacentes de 3 y 4, con una hipotenusa de 5).

Debido a que los números complejos son bidimensionales, se pueden "sumar" entre sí trigonométricamente como una dimensión real los números no pueden.

Leyes matemáticas y "lógica difusa"

La lógica es muy parecida a las matemáticas a este respecto:las llamadas "Leyes" de la lógica dependen de cómo definamos qué es una proposición.

El filósofo griego Aristóteles fundó un sistema de lógica basado en solo dos tipos de proposiciones:verdaderas y falsas.

Su definición bivalente (de dos modos) de la verdad llevó a las cuatro leyes fundamentales de la lógica:la Ley de la Identidad (A es A); la Ley de no contradicción (A no es no A); la Ley del medio excluido (ya sea A o no A); y la Ley de la inferencia racional .

Estas llamadas leyes funcionan dentro del alcance de la lógica donde una proposición se limita a uno de dos valores posibles, pero pueden no aplicarse en los casos en que las proposiciones pueden contener valores distintos de "verdadero" o "falso".

De hecho, se ha trabajado mucho y se sigue haciendo en "multivalor" o difuso lógica, donde las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas hasta cierto punto .

En tal sistema de lógica, "leyes" como la ley del medio excluido simplemente no se aplican, porque se basan en el supuesto de bivalencia.

Asimismo, muchas premisas que violarían la Ley de No-contradicción en la lógica aristotélica tienen validez en la lógica “difusa”. Nuevamente, los límites que definen los valores proposicionales determinan las Leyes que describen sus funciones y relaciones.

El nacimiento del álgebra booleana

El matemático inglés George Boole (1815-1864) buscó dar forma simbólica al sistema lógico de Aristóteles.

Boole escribió un tratado sobre el tema en 1854, titulado Una investigación de las leyes del pensamiento, en las que se basan las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades , que codificó varias reglas de relación entre cantidades matemáticas limitadas a uno de dos valores posibles:verdadero o falso, 1 o 0.

Su sistema matemático se conoció como álgebra de Boole.

Todas las operaciones aritméticas realizadas con cantidades booleanas tienen solo uno de dos resultados posibles: 1 o 0 .

No existe tal cosa como " 2 "O" -1 "O" 1/2 ”En el mundo booleano. Es un mundo en el que todas las demás posibilidades son inválidas por decreto.

Como uno podría adivinar, este no es el tipo de matemáticas que desea usar al equilibrar una chequera o calcular la corriente a través de una resistencia.

Sin embargo, Claude Shannon de MIT reconoció cómo el álgebra booleana podría aplicarse a circuitos de encendido y apagado , donde todas las señales se caracterizan como " alto "(1) o" bajo ”(0).

Su tesis de 1938, titulada Un análisis simbólico de circuitos de conmutación y relés , puso en práctica el trabajo teórico de Boole de una manera que Boole nunca podría haber imaginado, brindándonos una poderosa herramienta matemática para diseñar y analizar circuitos digitales.

Álgebra booleana frente a "Álgebra normal"

En este capítulo, encontrará muchas similitudes entre el álgebra de Boole y el álgebra "normal", el tipo de álgebra que involucra los llamados números reales.

Solo tenga en cuenta que el sistema de números que define el álgebra booleana está muy limitado en términos de alcance, y que solo puede haber uno de dos valores posibles para cualquier variable booleana:1 o 0.

En consecuencia, las "Leyes" del álgebra de Boole a menudo difieren de las "Leyes" del álgebra de números reales, lo que hace posibles declaraciones como 1 + 1 =1, que normalmente se considerarían absurdas.

Una vez que comprenda la premisa de que todas las cantidades en el álgebra booleana están limitadas a las dos posibilidades de 1 y 0, y el principio filosófico general de las leyes dependiendo de las definiciones cuantitativas, el "sinsentido" del álgebra booleana desaparece.

Álgebra booleana frente a "Álgebra normal"

En este capítulo, encontrará muchas similitudes entre el álgebra de Boole y el álgebra "normal", el tipo de álgebra que involucra los llamados números reales.

Solo tenga en cuenta que el sistema de números que define el álgebra booleana está muy limitado en términos de alcance, y que solo puede haber uno de dos valores posibles para cualquier variable booleana:1 o 0.

En consecuencia, las "Leyes" del álgebra de Boole a menudo difieren de las "Leyes" del álgebra de números reales, lo que hace posibles declaraciones como 1 + 1 =1, que normalmente se considerarían absurdas.

Una vez que comprenda la premisa de que todas las cantidades en el álgebra booleana están limitadas a las dos posibilidades de 1 y 0, y el principio filosófico general de las leyes dependiendo de las definiciones cuantitativas, el "sinsentido" del álgebra booleana desaparece.

Números booleanos frente a números binarios

Debe entenderse claramente que los números booleanos no son lo mismo que binarios números.

Mientras que los números booleanos representan un sistema matemático completamente diferente de los números reales, el binario no es más que una notación alternativa para los números reales.

Los dos a menudo se confunden porque tanto las matemáticas booleanas como la notación binaria usan los mismos dos cifrados:1 y 0.

La diferencia es que las cantidades booleanas están restringidas a un solo bit (ya sea 1 o 0), mientras que los números binarios pueden estar compuestos por muchos bits que se suman en forma ponderada por lugar a un valor de cualquier tamaño finito.

El número binario 10011 ₂ ("Diecinueve") no tiene más lugar en el mundo booleano que el número decimal 2 ₁₀ ("Dos") o el número octal 32 ₈ ("Veintiséis").

HOJAS DE TRABAJO RELACIONADAS:

• Hoja de trabajo de álgebra booleana
• Hoja de trabajo de álgebra básica y gráficos para circuitos eléctricos
• Hoja de trabajo de matemáticas binarias