Entendiendo Diagramas de Venn: Visualizando Relaciones entre Conjuntos

Los matemáticos usan diagramas de Venn para mostrar las relaciones lógicas de conjuntos (colecciones de objetos) entre sí. Quizás ya haya visto diagramas de Venn en sus estudios de álgebra u otras matemáticas. Si es así, recordará círculos superpuestos y la unión e intersección de conjuntos.

Repasaremos los círculos superpuestos del diagrama de Venn. Adoptaremos los términos OR y AND en lugar de unión e intersección, ya que esa es la terminología usada en electrónica digital.

El diagrama de Venn conecta el álgebra booleana del capítulo anterior con el Mapa de Karnaugh. Relacionaremos lo que ya sabe sobre álgebra booleana con diagramas de Venn, y luego haremos la transición a mapas de Karnaugh.

Un conjunto es una colección de objetos de un universo como se muestra abajo. Los miembros del conjunto son los objetos contenidos en él. Los miembros suelen tener algo en común, aunque no es un requisito.

Del universo de números reales, por ejemplo, el conjunto de todos los enteros positivos {1,2,3…} es un conjunto. El conjunto {3,4,5} es un ejemplo de un conjunto menor, o subconjunto del conjunto de todos los enteros positivos. Otro ejemplo es el conjunto de todos los varones del universo de estudiantes universitarios. ¿Puede pensar en más ejemplos de conjuntos?

Arriba a la izquierda, tenemos un diagrama de Venn mostrando el conjunto A en el círculo dentro del universo U, el área rectangular. Si todo dentro del círculo es A, entonces cualquier cosa fuera del círculo no es A. Así, arriba al centro, etiquetamos el área rectangular fuera del círculo A como A-no en lugar de U. Mostramos B y B-no de manera similar.

¿Qué pasa si tanto A como B están contenidos en el mismo universo? Mostramos cuatro posibilidades.

Examinemos de cerca cada una de las cuatro posibilidades mostradas arriba.

El primer ejemplo muestra que el conjunto A y el conjunto B no tienen nada en común según el diagrama de Venn. No hay superposición entre las regiones rayadas circulares de A y B. Por ejemplo, supongamos que los conjuntos A y B contienen los siguientes miembros:

 conjunto A = {1,2,3,4} 
conjunto B = {5,6,7,8}

Ningún miembro del conjunto A está contenido en el conjunto B, ni ningún miembro de B está contenido en A. Por tanto, no hay superposición de los círculos.

En el segundo ejemplo del diagrama de Venn arriba, el Conjunto A está totalmente contenido dentro del conjunto B. ¿Cómo explicamos esto? Supongamos que los conjuntos A y B contienen:

 conjunto A = {1,2} 
conjunto B = {1,2,3,4,5,6,7,8}

Todos los miembros del conjunto A son también miembros del conjunto B. Por tanto, el conjunto A es subconjunto del Conjunto B. Como todos los miembros de A son miembros de B, el conjunto A se dibuja completamente dentro del límite de B.

Hay un quinto caso, no mostrado, con los cuatro ejemplos. Pista: es similar al último (cuarto) ejemplo. Dibuje un diagrama de Venn para este quinto caso.

El tercer ejemplo arriba muestra superposición perfecta entre el conjunto A y el conjunto B. Parece que ambos conjuntos contienen los mismos miembros idénticos. Supongamos que los conjuntos A y B contienen:

 conjunto A = {1,2,3,4} 
conjunto B = {1,2,3,4}

Por tanto,

 Conjunto A = Conjunto B

Los conjuntos A y B son idénticamente iguales porque ambos tienen los mismos miembros idénticos. Las regiones A y B dentro del diagrama de Venn correspondiente se superponen completamente. Si hay duda sobre lo que representan los patrones arriba, consulte cualquier figura arriba o abajo para estar seguro de cómo se veían las regiones circulares antes de superponerse.

El cuarto ejemplo arriba muestra que hay algo en común entre el conjunto A y el conjunto B en la región superpuesta. Por ejemplo, seleccionamos arbitrariamente los siguientes conjuntos para ilustrar:

 conjunto A = {1,2,3,4} 
conjunto B = {3,4,5,6}

El conjunto A y el conjunto B ambos tienen los elementos 3 y 4 en común. Estos elementos son la razón de la superposición en el centro común a A y B. Necesitamos examinar esta situación más de cerca.