Conjuntos y diagramas de Venn

Los matemáticos usan diagramas de Venn para mostrar las relaciones lógicas de conjuntos (colecciones de objetos) entre sí. Quizás ya haya visto diagramas de Venn en su álgebra u otros estudios de matemáticas. Si es así, es posible que recuerde los círculos superpuestos y la unión y intersección de conjuntos.

Revisaremos los círculos superpuestos del diagrama de Venn. Adoptaremos los términos OR y AND en lugar de unión e intersección, ya que esa es la terminología utilizada en la electrónica digital.

El diagrama de Venn une el álgebra de Boole de un capítulo anterior con el mapa de Karnaugh. Relacionaremos lo que ya sabes sobre el álgebra de Boole con los diagramas de Venn, luego pasaremos a los mapas de Karnaugh.

Un conjunto es una colección de objetos de un universo como se muestra a continuación. Los miembros del conjunto son los objetos contenidos dentro del conjunto. Los miembros del conjunto suelen tener algo en común; sin embargo, esto no es un requisito.

Fuera del universo de los números reales, por ejemplo, el conjunto de todos los enteros positivos {1,2,3…} es un conjunto. El conjunto {3,4,5} es un ejemplo de un conjunto más pequeño, o subconjunto del conjunto de todos los enteros positivos. Otro ejemplo es el conjunto de todos los hombres del universo de estudiantes universitarios. ¿Puedes pensar en algunos ejemplos más de conjuntos?

Arriba a la izquierda, tenemos un diagrama de Venn que muestra el conjunto A en el círculo dentro del universo U, el área rectangular. Si todo dentro del círculo es A, entonces cualquier cosa fuera del círculo no es A. Por lo tanto, arriba del centro, etiquetamos el área rectangular fuera del círculo A como A-no en lugar de U. Mostramos B y B-no en un de manera similar.

¿Qué sucede si tanto A como B están contenidos en el mismo universo? Mostramos cuatro posibilidades.

Echemos un vistazo más de cerca a cada una de las cuatro posibilidades que se muestran arriba.

El primer ejemplo muestra que el conjunto A y el conjunto B no tienen nada en común según el diagrama de Venn. No hay superposición entre las regiones sombreadas circulares A y B. Por ejemplo, suponga que los conjuntos A y B contienen los siguientes miembros:

 establecer A ={1,2,3,4} conjunto B ={5,6,7,8} 

Ninguno de los miembros del conjunto A está contenido dentro del conjunto B, ni ninguno de los miembros de B está contenido dentro de A. Por lo tanto, no hay superposición de los círculos.

En el segundo ejemplo del diagrama de Venn anterior, el conjunto A está totalmente contenido dentro del conjunto B ¿Cómo podemos explicar esta situación? Suponga que los conjuntos A y B contienen los siguientes miembros:

 establecer A ={1,2} conjunto B ={1,2,3,4,5,6,7,8} 

Todos los miembros del conjunto A también son miembros del conjunto B. Por lo tanto, el conjunto A es un subconjunto del conjunto B. Dado que todos los miembros del conjunto A son miembros del conjunto B, el conjunto A se dibuja completamente dentro de los límites del conjunto B.

Hay un quinto caso, no mostrado, con los cuatro ejemplos. Sugerencia:es similar al último (cuarto) ejemplo. Dibuja un diagrama de Venn para este quinto caso.

El tercer ejemplo anterior muestra una superposición perfecta entre el conjunto A y el conjunto B. Parece que ambos conjuntos contienen los mismos miembros idénticos. Suponga que los conjuntos A y B contienen lo siguiente:

 establecer A ={1,2,3,4} conjunto B ={1,2,3,4} 

Por lo tanto,

 Conjunto A =Conjunto B 

Los conjuntos Y B son idénticamente iguales porque ambos tienen los mismos miembros idénticos. Las regiones A y B dentro del diagrama de Venn correspondiente anterior se superponen completamente. Si tiene alguna duda sobre lo que representan los patrones anteriores, consulte cualquier figura de arriba o abajo para asegurarse de cómo se veían las regiones circulares antes de que se superpusieran.

El cuarto ejemplo anterior muestra que hay algo en común entre el conjunto A y el conjunto B en la región superpuesta. Por ejemplo, seleccionamos arbitrariamente los siguientes conjuntos para ilustrar nuestro punto:

 establecer A ={1,2,3,4} conjunto B ={3,4,5,6} 

El conjunto A y el conjunto B tienen los elementos 3 y 4 en común. Estos elementos son la razón de la superposición en el centro común a A y B. Necesitamos observar más de cerca esta situación.