Dominar la Aritmética de Números Complejos: Operaciones y Técnicas Esenciales

Dado que los números complejos son entidades matemáticas legítimas, al igual que los números escalares, pueden sumarse, restarse, multiplicarse, dividirse, elevarse al cuadrado, invertirse, etc., como cualquier otro tipo de número.

Algunas calculadoras científicas están programadas para realizar directamente estas operaciones con dos o más números complejos, pero también pueden hacerse "a mano". Esta sección muestra cómo se realizan las operaciones básicas.

Se recomienda encarecidamente disponer de una calculadora científica capaz de ejecutar funciones aritméticas con números complejos. Hará que el estudio de circuitos de CA sea mucho más agradable que si se ve obligado a realizar todos los cálculos por el método largo.

Adición y Sustracción de Números Complejos en Forma Rectangular

La adición y sustracción con números complejos en forma rectangular es sencilla. Para la adición, simplemente sume los componentes reales de los números complejos para determinar el componente real de la suma, y sume los componentes imaginarios para determinar el componente imaginario de la suma:

Al restar números complejos en forma rectangular, simplemente reste el componente real del segundo número complejo del componente real del primero para obtener el componente real de la diferencia, y reste el componente imaginario del segundo del imaginario del primero para obtener el componente imaginario de la diferencia:

Multiplicación y División de Números Complejos en Forma Polar

Para la multiplicación y división manual, la notación polar es la preferida. Al multiplicar números complejos en forma polar, simplemente multiplique las magnitudes polares de los números complejos para determinar la magnitud polar del producto, y sume los ángulos de los números complejos para determinar el ángulo del producto:

La división de números complejos en forma polar también es fácil: simplemente divida la magnitud polar del primer número complejo por la magnitud polar del segundo para obtener la magnitud polar del cociente, y reste el ángulo del segundo número complejo del ángulo del primero para obtener el ángulo del cociente:

Para obtener el recíproco, o "invertir" (1/x), un número complejo, simplemente divida el número (en forma polar) en un valor escalar de 1, que no es más que un número complejo sin componente imaginaria (ángulo = 0):

Estas son las operaciones básicas que necesitará conocer para manipular números complejos en el análisis de circuitos de CA. Las operaciones con números complejos no se limitan solo a adición, sustracción, multiplicación, división e inversión.

Virtualmente cualquier operación aritmética que se pueda hacer con números escalares puede hacerse con números complejos, incluyendo potencias, raíces, resolución de ecuaciones simultáneas con coeficientes complejos, e incluso funciones trigonométricas (aunque esto implica una nueva perspectiva en trigonometría llamada funciones hiperbólicas que está fuera del alcance de esta discusión).

Asegúrese de estar familiarizado con las operaciones aritméticas básicas de adición, sustracción, multiplicación, división e inversión, y tendrá pocos problemas con el análisis de circuitos de CA.

RESUMEN:

• Para sumar números complejos en forma rectangular, sume los componentes reales y sume los componentes imaginarios. La sustracción es similar.
• Para multiplicar números complejos en forma polar, multiplique las magnitudes y sume los ángulos. Para dividir, divida las magnitudes y reste un ángulo del otro.

HOJA DE TRABAJO RELACIONADA:

• Hoja de trabajo de fase de CA