Notación polar vs. rectangular para números complejos — Guía práctica

Los números complejos sustentan muchas áreas de ingeniería y matemáticas. Para trabajar con ellos eficientemente —sin dibujar vectores cada vez— se usan dos notaciones estándar: polar y rectangular. Este artículo explica ambas formas, las reglas para convertir entre ellas y cuándo cada una es más útil.

Forma polar de un número complejo

En notación polar, un número complejo se expresa por su magnitud (también llamada módulo o valor absoluto) y el ángulo que forma con el eje real positivo. El ángulo se escribe usualmente con el símbolo ∠.

Piense en un mapa: la notación polar para el vector de Nueva York a San Diego podría leer «2400 millas, suroeste». Aquí hay dos vectores y sus representaciones polares:

 

Vectores con notaciones polares.

 

En cálculos de circuitos CA, la orientación estándar establece 0° a la derecha (este), 90° hacia arriba (norte), 180° a la izquierda (oeste) y 270° hacia abajo (sur). Vectores que apuntan «abajo» pueden describirse con ángulos mayores a 180° o como ángulos negativos menores a 0°. Por ejemplo, un vector en ∠270° (directamente sur) también puede escribirse como –90°. Similarmente, el vector 7,81 ∠230,19° puede expresarse como 7,81 ∠–129,81°.

 

La brújula vectorial.

 

Forma rectangular de un número complejo

La notación rectangular describe un número complejo por sus componentes horizontal (real) y vertical (imaginario). Visualmente, el número complejo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, con el lado horizontal representando la parte real y el vertical la parte imaginaria.

En matemáticas puras, el componente vertical va precedido por una i minúscula, mientras que en ingeniería eléctrica se denota con j. Estas letras son meramente operadores notacionales; no representan magnitudes físicas.

Ejemplo:

 

Forma rectangular: componente horizontal (real) + componente vertical (imaginario).

 

El eje real corresponde a la familiar recta numérica, mientras que el eje imaginario es una segunda recta numérica rotada 90° desde el eje real.

 

Brújula vectorial mostrando ejes real e imaginario.

 

Como los números complejos son bidimensionales, necesitamos dos ejes perpendiculares para representarlos. El diagrama combinado se ve así:

 

Brújula vectorial con rectas numéricas real e imaginaria (j).

 

Conversión de polar a rectangular

Ambas notaciones son válidas; la elección depende de la operación. La forma rectangular es conveniente para suma y resta, mientras que la polar simplifica multiplicación y división. Convertir de polar a rectangular usa trigonometría básica:

• Parte real = magnitud × cos(ángulo)
• Parte imaginaria = magnitud × sen(ángulo)

Estas relaciones surgen de la representación del número complejo como triángulo rectángulo.

 

Vector magnitud en términos de componentes real (4) e imaginario (j3).

 

Conversión de rectangular a polar

Para ir en sentido inverso, primero halle la magnitud usando el teorema de Pitágoras, luego determine el ángulo con la arcotangente de la razón entre componente imaginario y real:

• Magnitud = √(real² + imaginario²)
• Ángulo = atan2(imaginario, real)

Cálculos de ejemplo se ilustran en la siguiente figura:

 

 

Conclusiones clave

• La notación polar expresa un número complejo por su longitud (magnitud) y dirección (ángulo).
• La notación rectangular lo expresa por componentes horizontal (real) y vertical (imaginario).
• El componente imaginario se escribe con j minúscula (en electrónica) o i (en matemáticas).
• Ambas formas se mapean a un triángulo rectángulo: hipotenusa = magnitud, adyacente = parte real, opuesto = parte imaginaria.

Hoja de trabajo relacionada

• Hoja de trabajo: Fase CA