Sistemas de numeración

Números romanos

Los romanos idearon un sistema que supuso una mejora sustancial con respecto a las marcas de almohadilla, porque utilizaba una variedad de símbolos (o cifrados ) para representar cantidades cada vez mayores.

La notación para 1 es la letra I mayúscula. La notación para 5 es la letra V mayúscula. Otros cifrados poseen valores crecientes:

 X =10 L =50 C =100 D =500 M =1000 

Si un cifrado está acompañado por otro cifrado de igual o menor valor a la derecha inmediata del mismo, sin cifrados mayores que ese otro cifrado a la derecha de ese otro cifrado, el valor de ese otro cifrado se suma a la cantidad total.

Por lo tanto, VIII simboliza el número 8 y CLVII simboliza el número 157. Por otro lado, si un cifrado está acompañado por otro cifrado de menor valor a la izquierda inmediata, el valor del otro cifrado se resta desde el principio. Por lo tanto, IV simboliza el número 4 (V menos I) y CM simboliza el número 900 (M menos C).

Es posible que haya notado que las secuencias de créditos finales para la mayoría de las películas contienen un aviso con la fecha de producción, en números romanos. Para el año 1987, se leería:MCMLXXXVII. Dividamos este número en sus partes constituyentes, de izquierda a derecha:

 M =1000 + CM =900 + L =50 + XXX =30 + V =5 + II =2 

¿No te alegra que no usemos este sistema de numeración? Los números grandes son muy difíciles de denotar de esta manera, y la izquierda frente a la derecha / sustracción frente a la suma de valores también puede ser muy confusa.

Otro problema importante con este sistema es que no existe ninguna disposición para representar el número cero o números negativos, ambos conceptos muy importantes en matemáticas.

La cultura romana, sin embargo, era más pragmática con respecto a las matemáticas que la mayoría, eligiendo solo desarrollar su sistema de numeración en la medida necesaria para su uso en la vida diaria.

Valor posicional

Debemos una de las ideas más importantes en numeración a los antiguos babilonios, quienes fueron los primeros (hasta donde sabemos) en desarrollar el concepto de posición de cifrado, o valor posicional, al representar números más grandes.

En lugar de inventar nuevos cifrados para representar números más grandes, como hicieron los romanos, reutilizaron los mismos cifrados, colocándolos en diferentes posiciones de derecha a izquierda.

Nuestro propio sistema de numeración decimal utiliza este concepto, con solo diez cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) utilizadas en posiciones "ponderadas" para representar números muy grandes y muy pequeños.

Cada cifra representa una cantidad entera, y cada lugar de derecha a izquierda en la notación representa una constante de multiplicación o peso , para cada cantidad entera.

Por ejemplo, si vemos la notación decimal "1206", sabremos que esto puede desglosarse en sus productos de peso constituyentes como tales:

 1206 =1000 + 200 + 6 1206 =(1 x 1000) + (2 x 100) + (0 x 10) + (6 x 1) 

Cada cifrado se llama dígito en el sistema de numeración decimal, y cada peso, o valor posicional, es diez veces mayor que el de la derecha inmediata.

Entonces, tenemos unos lugar, un lugar de decenas, un centenas lugar, un lugar de miles, y así sucesivamente, de derecha a izquierda.

En este momento, probablemente se esté preguntando por qué me esfuerzo por describir lo obvio. ¿Quién necesita que le digan cómo funciona la numeración decimal, después de haber estudiado matemáticas tan avanzadas como álgebra y trigonometría?

La razón es comprender mejor otros sistemas de numeración, primero conociendo el cómo y el por qué del que ya está acostumbrado.

El sistema de numeración decimal utiliza diez cifras y ponderaciones de lugar que son múltiplos de diez. ¿Y si hiciéramos un sistema de numeración con la misma estrategia de lugares ponderados, excepto con menos o más cifras?

Numeración binaria

El sistema de numeración binaria es tal sistema. En lugar de diez símbolos de cifrado diferentes, con cada constante de peso diez veces mayor que la anterior, solo tenemos dos símbolos de cifrado, y cada constante de peso es dos veces tanto como el anterior.

Los dos símbolos de cifrado permitidos para el sistema binario de numeración son "1" y "0", y estos cifrados están dispuestos de derecha a izquierda en valores duplicados de peso. El lugar más a la derecha son los unos lugar, al igual que con la notación decimal. Continuando hacia la izquierda, tenemos los dos lugar, los cuatro lugar, los ochos lugar, los dieciséis lugar, etc.

Por ejemplo, el siguiente número binario se puede expresar, al igual que el número decimal 1206, como una suma de cada valor de cifrado por su respectiva constante de peso:

 11010 =2 + 8 + 16 =26 11010 =(1 x 16) + (1 x 8) + (0 x 4) + (1 x 2) + (0 x 1) 

Esto puede resultar bastante confuso, ya que escribí un número con numeración binaria (11010) y luego mostré sus valores posicionales y el total en forma de numeración decimal estándar (16 + 8 + 2 =26). En el ejemplo anterior, estamos mezclando dos tipos diferentes de notación numérica.

Para evitar confusiones innecesarias, tenemos que indicar qué forma de numeración estamos usando cuando escribimos (¡o escribimos!). Normalmente, esto se hace en forma de subíndice, con un "2" para binario y un "10" para decimal, por lo que el número binario 11010 ₂ es igual al número decimal 26 ₁₀ .

Los subíndices no son símbolos de operaciones matemáticas como lo son los superíndices (exponentes). Todo lo que hacen es indicar qué sistema de numeración estamos usando cuando escribimos estos símbolos para que otras personas los lean. Si ve "3 ₁₀ ", Todo esto significa que el número tres está escrito con decimal numeración.

Sin embargo, si ve "3 ¹⁰ ”, Esto significa algo completamente diferente:tres elevado a la décima (59.049). Como es habitual, si no se muestra ningún subíndice, se supone que el cifrado (s) representa un número decimal.

Comúnmente, el número de tipos de cifrado (y por lo tanto, el multiplicador de valor posicional) que se usa en un sistema de numeración se denomina base de ese sistema. El binario se conoce como numeración de "base dos" y el decimal como "base diez".

Además, nos referimos a cada posición de cifrado en binario como un bit en lugar de la conocida palabra dígito utilizado en el sistema decimal.

Ahora, ¿por qué alguien usaría numeración binaria? El sistema decimal, con sus diez cifras, tiene mucho sentido, ya que tenemos diez dedos para contar entre nuestras dos manos. (Es interesante que algunas culturas antiguas centroamericanas usaran sistemas de numeración con una base de veinte.

¡¡Presumiblemente, usaron los dedos de las manos y de los pies para contar !!). Pero la razón principal por la que se utiliza el sistema de numeración binaria en las computadoras electrónicas modernas es por la facilidad de representar dos estados de cifrado (0 y 1) electrónicamente.

Con un circuito relativamente simple, podemos realizar operaciones matemáticas en números binarios al representar cada bit de los números mediante un circuito que está encendido (actual) o apagado (sin corriente). Al igual que el ábaco con cada barra que representa otro dígito decimal, simplemente agregamos más circuitos para darnos más bits para simbolizar números más grandes.

La numeración binaria también se presta bien al almacenamiento y recuperación de información numérica:en cinta magnética (puntos de óxido de hierro en la cinta magnetizados para un "1" binario o desmagnetizados para un "0" binario), discos ópticos (un láser -hoyo quemado en el papel de aluminio que representa un "1" binario y un punto no quemado que representa un "0" binario), o una variedad de otros tipos de medios.

Antes de continuar con el aprendizaje exacto de cómo se hace todo esto en los circuitos digitales, debemos familiarizarnos más con los sistemas de numeración binarios y otros asociados.

HOJAS DE TRABAJO RELACIONADAS:

• Hoja de trabajo de sistemas de numeración