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Biestabilidad óptica controlable y mezcla de cuatro ondas en una optomecánica de moléculas fotónicas

Resumen

Teóricamente investigamos los fenómenos ópticos no lineales que incluyen la biestabilidad óptica y el proceso de mezcla de cuatro ondas (FWM) en un sistema optomecánico de cavidad de moléculas fotónicas compuestas. La cavidad de la molécula fotónica constaba de dos microcavidades en modo de galería susurrante (WGM), donde una cavidad de WGM es una cavidad optomecánica con disipación de cavidad alta κ y la otra cavidad WGM es una cavidad óptica ordinaria auxiliar con factor de alta calidad (Q). Controlar los parámetros del sistema, como la fuerza de acoplamiento J entre las dos cavidades, la tasa de desintegración δ de las dos cavidades, y la potencia de la bomba P , se puede controlar la biestabilidad óptica. Además, el proceso FWM que presenta la división de modo normal también se investiga en el espectro FWM bajo diferentes regímenes de parámetros. Nuestro estudio puede proporcionar una mayor comprensión de los fenómenos no lineales en los sistemas optomecánicos compuestos de moléculas fotónicas.

Antecedentes

Los sistemas optomecánicos (OMS) [1], que consisten en cavidades ópticas acopladas a resonadores mecánicos y que exploran las interacciones coherentes fotón-fonón inducidas por la presión de la radiación, han atraído recientemente mucha atención porque ofrecen una plataforma para manipular resonadores mecánicos y campos electromagnéticos, y allanar la camino para aplicaciones potenciales de dispositivos optomecánicos, como láser de fonón [2, 3], detección [4], compresión de fonones [5], la realización de luz comprimida [6-8], enfriamiento del estado fundamental [9-11], y la transparencia inducida optomecánicamente (OMIT) [12-15] -inducida la luz de la tienda en dispositivos de estado sólido [16, 17]. Aunque se ha prestado mayor atención al OMS único, para realizar el OMS compuesto integrando más modos ópticos o mecánicos, como un modo mecánico acoplado a dos modos ópticos a través de la presión de radiación [18, 19] y la interacción fonónica entre dos resonadores mecánicos [20 , 21] se convierten en una tendencia para investigar más a fondo el OMS y sus aplicaciones potenciales en el procesamiento de información cuántica. Basado en el compuesto híbrido OMS, la transferencia de un estado cuántico [22], enfriamiento de fonones similar a OMIT [23], modo oscuro optomecánico [24] y absorción inducida electromagnéticamente mediada por fonones [25] se han investigado ampliamente. En los numerosos compuestos OMS, como una extensión natural del OMS genérico, dos microcavidades en modo galería susurrante directamente acopladas (WGM) denominadas molécula fotónica [26, 27] con efecto optomecánico en una microcavidad WGM han atraído mucha atención. Hay dos tipos de interacción en el sistema optomecánico compuesto de moléculas fotónicas:la primera es la interacción optomecánica inducida por la presión de radiación y la otra es el acoplamiento cavidad-cavidad mediante tunelización de fotones sintonizables. Las dos interacciones juntas dan lugar a varios fenómenos interesantes que incluyen el láser de fonón [2, 3], el caos [28], el enfriamiento del estado fundamental [23] y el control coherente de la transmisión de luz [25, 29, 30].

Por otro lado, OMS también proporciona una plataforma para investigar el efecto no lineal de la interacción luz-materia. Entre todos los fenómenos no lineales en OMS, la biestabilidad óptica y la mezcla de cuatro ondas (FWM) son fenómenos ópticos no lineales típicos que se centran en el interés de los investigadores. En los últimos años, el comportamiento biestable del número medio de fotones intracavitarios se ha estudiado ampliamente en varios OMS, como el sistema optomecánico de cavidad de condensado Bose-Einstein [31, 32], OMS con un pozo cuántico [33], átomos ultrafríos [34, 35], y otros OMS híbridos [36, 37]. Además, FWM puede describirse como la cavidad impulsada por una potente bomba láser con frecuencia ω p y una frecuencia de láser de sonda débil ω s , y luego, dos fotones de bombeo se mezclarían con un fotón sonda a través del modo mecánico para producir un fotón inactivo a la frecuencia 2 ω p - ω s en OMS, y también se ha investigado en trabajos previos, como la división de modos en un sistema optomecánico de acoplamiento fuerte [38], la conducción mecánica coherente OMS [39, 40] y un sistema optomecánico de cavidad de dos modos [41]. Sin embargo, la biestabilidad óptica y FWM rara vez se han estudiado en OMS compuesto de moléculas fotónicas, donde la fuerza de acoplamiento representada por J de las dos cavidades juegan un papel clave en estos fenómenos ópticos no lineales.

En el presente trabajo, consideramos un sistema optomecánico de cavidad de moléculas fotónicas compuestas, que consta de dos microcavidades WGM, donde una cavidad WGM es una cavidad optomecánica con disipación de alta cavidad κ , y la otra cavidad WGM es una cavidad óptica ordinaria auxiliar con factor de alta calidad (Q) [42]. Como Liu et al. [43] demostrado, sigue siendo difícil lograr un factor Q alto y un volumen de modo pequeño (V) simultáneamente para el mismo tipo de resonador. En la optomecánica de moléculas fotónicas, mediante el acoplamiento de la cavidad originalmente optomecánica c con alta disipación de cavidades κ (sin Q alto) a un modo de cavidad auxiliar a con Q alto pero V grande, se puede eliminar el requisito de Q alto y V pequeño para la misma cavidad. Introducimos un parámetro de relación δ = κ c / κ a , donde κ c = ω c / Q c y κ a = ω a / Q a son las tasas de descomposición de los modos de cavidad c y a ( ω c y ω a son las frecuencias de la cavidad c y a ) para investigar el efecto no lineal en la optomecánica de moléculas fotónicas. Aquí, la cavidad optomecánica c es impulsado por el láser de la bomba mientras que la cavidad auxiliar a es impulsado por la sonda láser. La cavidad c está acoplado a la cavidad a a través de un campo evanescente y la fuerza de acoplamiento J entre las dos cavidades se puede controlar variando la separación entre las dos cavidades WGM [26]. Investigamos la biestabilidad óptica y FWM basados ​​en la molécula fotónica compuesta OMS variando la fuerza de acoplamiento J entre los resonadores de cavidad, y se puede lograr una biestabilidad óptica sintonizable y controlable y FWM manipulando la fuerza de acoplamiento J entre las dos cavidades. Además, con el ajuste del parámetro δ y la potencia de la bomba P , el proceso FWM se puede controlar.

Modelo y teoría

La optomecánica de la molécula fotónica se muestra en la Fig. 1. La primera cavidad admite un modo óptico c con la frecuencia ω c impulsado por la bomba láser con frecuencia ω p y la amplitud \ (\ varepsilon _ {p} =\ sqrt {P / \ hbar \ omega _ {p}} \). La presión de radiación induce un modo mecánico b con la frecuencia del resonador mecánico ω m , y la tasa de acoplamiento optomecánico de fotón único es g = g 0 x 0 ( g 0 = ω c / R y R es el radio de la cavidad c ), y la fluctuación de punto cero de la posición del oscilador mecánico es \ (x_ {0} =\ sqrt {\ hbar / 2M \ omega _ {m}} \) [13]. Entonces, el hamiltoniano de la optomecánica c es [13]

Diagrama esquemático del sistema optomecánico de cavidad de molécula fotónica compuesta que incluye dos cavidades WGM. La primera cavidad WGM con disipación de cavidad alta κ es la cavidad optomecánica c impulsado por una bomba láser, y la fuerza de presión de radiación induce el modo mecánico b acoplamiento a la cavidad c con fuerza de acoplamiento g . La segunda cavidad WGM a es una cavidad auxiliar accionada por una sonda láser con factor de alta calidad (Q). La cavidad optomecánica c está acoplado a la cavidad a vía campo evanescente, e introducimos un parámetro J para describir la fuerza de acoplamiento de las dos cavidades, que se puede controlar variando la separación entre ellas [26]

$$ H_ {c} =\ hbar \ Delta_ {c} c ^ {\ dag} c + \ hbar \ omega_ {m} b ^ {\ dag} b- \ hbar ga ^ {\ dag} a \ left (b ^ {\ dag} + b \ right) + i \ hbar \ sqrt {\ kappa_ {ce}} \ varepsilon_ {p} \ left (c ^ {\ dag} -c \ right), $$ (1)

donde Δ c = ω c - ω p es la desafinación del campo de la bomba y la cavidad c . c y c † representan los operadores de creación y aniquilación bosónica del modo cavidad c y b † ( b ) es el operador de creación (aniquilación) del modo mecánico. La cavidad auxiliar solo admite un modo óptico a impulsado por la sonda láser con frecuencia ω s y su amplitud ε s es \ (\ varepsilon _ {s} =\ sqrt {P_ {s} / \ hbar \ omega _ {s}} \). Introducimos los operadores de aniquilación y creación a y a † para describir la cavidad a , y su hamiltoniano es [13]

$$ H_ {a} =\ hbar \ Delta_ {a} a ^ {\ dag} a + i \ hbar \ sqrt {\ kappa_ {ae}} \ varepsilon_ {s} \ left (a ^ {\ dag} e ^ {-i \ Omega t} -ae ^ {i \ Omega t} \ right) $$ (2)

donde Δ a = ω a - ω p es la desafinación del campo de la bomba y la cavidad a y Ω = ω s - ω p es la desafinación bomba-sonda. Usamos dos fibras ahusadas para excitar el modo de cavidad a y modo de cavidad c como guía de ondas óptica con la velocidad de acoplamiento κ ae y κ ce . La cavidad optomecánica c se acopla a la cavidad a a través de un campo evanescente, y la tasa de acoplamiento cavidad-cavidad J se puede ajustar de forma eficaz cambiando la distancia entre ellos [26]. Cuando la fuerza de acoplamiento J es débil entre las dos cavidades, entonces la energía de la cavidad c no se puede transferir fácilmente a la cavidad a . Por el contrario, si la fuerza de acoplamiento J aumenta al disminuir la distancia entre las dos cavidades, entonces la energía puede fluir fácilmente desde las dos cavidades. La interacción acoplada linealmente entre las dos cavidades se describe mediante [26] \ (\ hbar J \ left (a ^ {\ dag} c + ac ^ {\ dag} \ right) \). Entonces, el hamiltoniano total en el marco de onda giratoria de la frecuencia de bombeo ω c se puede escribir [3, 13, 23]

$$ \ begin {alineado} H =&\ hbar \ Delta_ {a} a ^ {\ dag} a + \ hbar \ Delta_ {c} c ^ {\ dag} c + \ hbar \ omega_ {m} b ^ {\ dag } b + \ hbar J \ left (a ^ {\ dag} c + ac ^ {\ dag} \ right) - \ hbar ga ^ {\ dag} a \ left (b ^ {\ dag} + b \ right) \ \ &+ i \ hbar \ sqrt {\ kappa_ {ce}} \ varepsilon_ {p} \ left (c ^ {\ dag} -c \ right) + i \ hbar \ sqrt {\ kappa_ {ae}} \ varepsilon_ { s} \ left (a ^ {\ dag} e ^ {- i \ Omega t} -ae ^ {i \ Omega t} \ right). \ end {alineado} $$ (3)

La tasa de descomposición del modo de dos cavidades κ = κ c = κ a = κ ex + κ 0 con la tasa de pérdida de fotones intrínseca κ 0 y κ ex describe la velocidad a la que la energía sale de la cavidad óptica en campos de propagación [13]. Aquí, por simplicidad, solo consideramos la condición de κ ex = κ 0 = κ ae = κ ce , y consideramos ω c = ω a .

Usamos la ecuación de movimiento de Heisenberg \ (i \ hbar \ partial _ {t} O =[O, H] \) ( O = a , c , X ) e introducir los correspondientes operadores de amortiguación y ruido, y obtenemos las ecuaciones cuánticas de Langevin de la siguiente manera [44]:

$$ \ partial_ {t} a =- (i \ Delta_ {a} + \ kappa_ {a}) a-iJc + \ sqrt {\ kappa_ {ae}} \ varepsilon_ {s} e ^ {- i \ Omega t} + \ sqrt {2 \ kappa_ {a}} a _ {\ text {in}}, $$ (4) $$ \ partial_ {t} c =- (i \ Delta_ {c} + \ kappa_ {c}) c + igcX-iJa + \ sqrt {\ kappa_ {ce}} \ varepsilon_ {p} + \ sqrt {2 \ kappa_ {c}} c _ {\ text {in}}, $$ (5) $$ \ partial_ {t} ^ {2} X + \ gamma_ {m} \ partial_ {t} X + \ omega_ {m} ^ {2} X =2g \ omega_ {m} c ^ {\ dagger} c + \ xi, $$ (6)

donde X = b † + b es el operador de posición y γ m es la tasa de caída del resonador. a en y c en describir los ruidos de Langevin sigue las relaciones [45]

$$ \ begin {array} {@ {} rcl @ {}} \ left \ langle a _ {\ text {in}} (t) a _ {\ text {in}} ^ {\ dagger} \ left (t ^ { ^ {\ prime}} \ right) \ right \ rangle &=&\ left \ langle c _ {\ text {in}} (t) c _ {\ text {in}} ^ {\ dagger} \ left (t ^ { ^ {\ prime}} \ right) \ right \ rangle =\ delta \ left (tt ^ {^ {\ prime}} \ right), \ end {matriz} $$ (7) $$ \ begin {matriz} { @ {} rcl @ {}} \ left \ langle a _ {\ text {in}} (t) \ right \ rangle &=&\ left \ langle c _ {\ text {in}} (t) \ right \ rangle =0. \ end {matriz} $$ (8)

El modo de resonador está influenciado por el proceso de fuerza estocástica con la siguiente función de correlación [46]

$$ \ left \ langle \ xi ^ {\ dagger} (t) \ xi \ left (t ^ {^ {\ prime}} \ right) \ right \ rangle \, =\, \ frac {\ gamma_ {m} } {\ omega_ {m}} \ int \! \ frac {d \ omega} {2 \ pi} \ omega e ^ {- i \ omega \ left (tt ^ {^ {\ prime}} \ right)} \ left [1 \, + \, \ coth \ left (\ frac {\ hbar \ omega} {2 \ kappa_ {B} T} \ right) \ right], $$ (9)

donde k B es la constante de Boltzmann y T indica la temperatura del depósito.

Cuando la cavidad optomecánica c es impulsado por un potente láser de bombeo, el operador de Heisenberg se puede dividir en dos partes, es decir, el valor medio de estado estable O 0 y una pequeña fluctuación δ O con valor medio cero 〈 δ O 〉 =0. Los valores de estado estacionario determinan los números de fotones intracavitarios ( n a =| a s | 2 y n c =| c s | 2 ) determinado por

$$ n_ {c} =\ frac {\ kappa_ {ce} \ varepsilon_ {p} ^ {2} \ left (\ Delta_ {a} ^ {2} + \ kappa_ {a} ^ {2} \ right)} {\ left (\ Delta ^ {^ {\ prime} 2} + \ kappa_ {c} ^ {2} \ right) \ left (\ Delta_ {a} ^ {2} + \ kappa_ {a} ^ {2} \ right) + 2J ^ {2} \ left (\ kappa_ {a} \ kappa_ {c} - \ Delta ^ {^ {\ prime}} \ Delta_ {a} \ right) + J ^ {4}}, $ $ (10) $$ n_ {a} =\ frac {\ kappa_ {ce} \ varepsilon_ {p} ^ {2} J ^ {2}} {\ left (\ Delta ^ {^ {\ prime} 2} + \ kappa_ {c} ^ {2} \ right) \ left (\ Delta_ {a} ^ {2} + \ kappa_ {a} ^ {2} \ right) + 2J ^ {2} \ left (\ kappa_ {a } \ kappa_ {c} - \ Delta ^ {^ {\ prime}} \ Delta_ {a} \ right) + J ^ {4}}, $$ (11)

donde \ (\ Delta ^ {^ {\ prime}} =\ Delta _ {c} -2g ^ {2} n_ {c} / \ omega _ {m} \). Esta forma de ecuaciones acopladas es característica de la biestabilidad óptica. En la siguiente sección, discutiremos los parámetros tales como la potencia de la bomba P , la fuerza de acoplamiento cavidad-cavidad J y el parámetro de relación δ que afectan la biestabilidad óptica. Manteniendo solo los términos lineales de los operadores de fluctuación y haciendo que el ansatz [47] 〈 δ a 〉 = a + e - i Ω t + a - e i Ω t , 〈 δ c 〉 = c + e - i Ω t + c - e i Ω t , 〈 δ X 〉 = X + e - i Ω t + X - e i Ω t , obtenemos

$$ a _ {-} =\ frac {\ Lambda_ {1}} {\ Lambda_ {2} - \ Lambda_ {3}}, $$ (12)

donde \ (\ Lambda _ {1} =igc_ {s} ^ {2} \ eta ^ {\ ast} J ^ {2} \ varepsilon _ {s} \ sqrt {\ kappa _ {ae}} \), Λ 2 =( i Δ a 2 + κ a ) ( i Δ 2 + κ c ) [( i Δ 1 - κ c ) ( i Δ a 1 - κ a ) - J 2 ], \ (\ Lambda _ {3} =- g ^ {2} \ eta ^ {\ ast 2} n_ {c} ^ {2} (i \ Delta _ {a1} - \ kappa _ {a}) ( i \ Delta _ {a2} + \ kappa _ {a}) \), Δ a 1 = Δ a - Ω , Δ a 2 = Δ a + Ω , \ (\ Delta _ {1} =\ Delta ^ {^ {\ prime}} - \ Omega + g \ eta n_ {c} \), \ (\ Delta _ {2} =\ Delta ^ {^ {\ prime}} + \ Omega + g \ eta ^ {\ ast} n_ {c} \) y \ (\ eta =2g \ omega _ {m} / (\ omega _ {m} ^ {2} -i \ gamma _ {m} \ Omega - \ Omega ^ {2}) \). Usando la relación estándar entrada-salida [45] \ (a _ {\ text {out}} (t) =a _ {\ text {in}} (t) - \ sqrt {2 \ kappa _ {a}} a (t ) \), donde a fuera ( t ) es el operador del campo de salida y obtiene el valor esperado de los campos de salida:

$$ {\ begin {alineado} a _ {\ text {out}} (t) &=(\ varepsilon_ {p} - \ sqrt {\ kappa_ {ae}} a_ {s}) e ^ {- i \ omega_ { p} t} + (\ varepsilon_ {s} - \ sqrt {\ kappa_ {ae}} a _ {+}) e ^ {- i (\ delta + \ omega_ {p}) t} - \ sqrt {\ kappa_ { ae}} a _ {-} e ^ {- i (\ delta - \ omega_ {p}) t} \\ &=(\ varepsilon_ {p} - \ sqrt {\ kappa_ {ae}} a_ {s}) e ^ {- i \ omega_ {p} t} + (\ varepsilon_ {s} - \ sqrt {\ kappa_ {ae}} a _ {+}) e ^ {- i \ omega_ {s} t} - \ sqrt {\ kappa_ {ae}} a _ {-} e ^ {- i (2 \ omega_ {p} - \ omega_ {s}) t} \ end {alineado}} $$ (13)

donde a fuera ( t ) es el operador del campo de salida. La ecuación (13) muestra que el campo de salida consta de tres términos. El primer término corresponde al campo de salida en el campo de conducción con amplitud ε p y frecuencia ω p . El segundo término corresponde al campo de la sonda con frecuencia ω s relacionado con el campo anti-Stokes que resulta en OMIT, que ha sido investigado en varios sistemas optomecánicos [12-15, 48]. El último corresponde al campo de salida con frecuencia 2 ω p - ω s relacionado con el campo stoke que muestra el FWM. En el proceso FWM, los dos fotones del campo de conducción interactúan con un solo fotón del campo de la sonda, cada uno con frecuencias ω p y ω s nació un nuevo fotón de frecuencia 2 ω p - ω s . La intensidad de FWM en términos del campo de la sonda se puede definir como [49]

$$ \ text {FWM} =\ left \ vert \ frac {\ sqrt {\ kappa_ {ae}} a _ {-}} {\ varepsilon_ {s}} \ right \ vert ^ {2} \ text {,} $ $ (14)

que está determinada por la fuerza de acoplamiento optomecánica g , la potencia de la bomba P , la fuerza de acoplamiento cavidad-cavidad J y la relación de la tasa de caída δ de las dos cavidades.

Discusiones y resultados numéricos

En esta sección, primero investigamos el comportamiento biestable del número de fotones en estado estable n c y n a de las dos cavidades según las Ecs. (10) y (11). Debido a que es demasiado engorroso dar la expresión analítica de la condición de biestabilidad, aquí presentaremos los resultados numéricos. Elegimos los parámetros similares a los de la Ref. [13, 26]:los parámetros de la cavidad c como [13]: g 0 =12 GHz / nm, γ m =41 kHz, ω m =51,8 MHz, κ c =5 MHz, m =20 ng, λ =750 nm y Q =1500, y el orden de magnitud de la potencia de la bomba es milivatios (1 mW =10 −3 W). Para cavidad a , consideramos ω a = ω c y κ c = κ a . La fuerza de acoplamiento J entre los dos modos de cavidad juega un papel clave y puede afectar el comportamiento biestable y FWM. Se ha informado experimentalmente que la fuerza de acoplamiento J depende de la distancia entre la cavidad c y cavidad a [26] (también la fuerza de acoplamiento disminuye exponencialmente al aumentar la distancia de las dos cavidades). Aquí, esperamos la fuerza de acoplamiento \ (J \ sim \ sqrt {\ kappa _ {c} \ kappa _ {a}} \).

Ecuaciones (10) y (11) que dan los números de fotones intracavitarios de la cavidad optomecánica c y cavidad ordinaria a son ecuaciones cúbicas acopladas, que presentan un comportamiento biestable. Primero consideramos la condición de J =0, es decir, una sola cavidad optomecánica c , y la Fig. 2a traza el número medio de fotones intracavitarios n c de cavidad optomecánica c en función de la desafinación de la bomba de cavidad Δ c = ω c - ω p con tres potencias de bomba. Cuando la potencia de la bomba es menor que P =0,4 mW (como P =0,1 mW), la curva es casi Lorentziana. Al aumentar el poder P a un valor crítico, la cavidad optomecánica c exhibe un comportamiento biestable, como se muestra en las curvas para P =0,4 mW a P =0,8 mW, donde la curva de resonancia de Lorentzian inicialmente se vuelve asimétrica. El número medio de fotones intracavitarios n c tiene tres raíces reales (Ec. (10)), y la raíz más grande y la más pequeña son estables, y la del medio es inestable, que se representa en un óvalo en la Fig. 2a. Sin embargo, cuando consideramos la cavidad óptica a , es decir, J ≠ 0 como J =1.0 κ a , el comportamiento biestable se interrumpe de alguna manera como se muestra en la Fig. 2b. Esto se debe a que cuando la cavidad optomecánica c acoplado a la cavidad óptica a , partes del número de fotones intracavitarios n c de cavidad optomecánica c se acoplará a la cavidad óptica a , y por lo tanto, el número de fotones intracavitarios n c disminuirá y luego resultará en un comportamiento biestable destruido. La figura 2c muestra el número medio de fotones intracavitarios n c de cavidad optomecánica c en función de la fuerza de acoplamiento cavidad-cavidad J con tres potencias de bomba. Obviamente, el número medio de fotones intracavitarios n c depende de la potencia de la bomba P y el número de fotones intracavitarios n c siempre está disminuyendo con el aumento de la fuerza de acoplamiento J porque partes del número de fotones están acopladas en la cavidad óptica a . Además, una mayor desafinación de la bomba de cavidad es beneficiosa para observar el comportamiento óptico biestable al aumentar la potencia de la bomba P . La Figura 2d traza el número medio de fotones intracavitarios n c versus la potencia de la bomba P con cavidad a en las bandas laterales rojas ( Δ a = ω m ) y bandas laterales azules ( Δ a =- ω m ), respectivamente, y la biestabilidad presenta el comportamiento del bucle de histéresis [50]. Sin embargo, nuestros resultados son diferentes del trabajo anterior del sistema optomecánico de dos modos sin considerar el acoplamiento cavidad-cavidad J . Por lo tanto, la fuerza de acoplamiento J juega un papel importante en la biestabilidad.

un Número medio de fotones intracavitarios de la cavidad optomecánica c en función de la desafinación de la bomba de cavidad Δ c con tres potencias de bomba en J =0. b Número medio de fotones intracavitarios de la cavidad optomecánica c en función de la desafinación de la bomba de cavidad Δ c con varias potencias de bomba diferentes bajo J =1.0 κ a . c Número medio de fotones intracavitarios n c de cavidad optomecánica c en función de J con tres potencias de bomba. d Número medio de fotones intracavitarios n c en función de P para Δ c = Δ a = ω m

Investigamos más a fondo el comportamiento biestable de la cavidad óptica a con Eq. (11). La figura 3a muestra el número de fotones intracavitarios n a de cavidad ordinaria a en función de la desafinación de la bomba de cavidad Δ a = ω a - ω p con bombas de potencia P =0,1 mW, P =1.0 mW y P =10 mW en J =1.0 κ a . Es obvio que la cavidad óptica a no puede comportarse como un comportamiento biestable debido al número de fotones intracavitarios n a de cavidad a de la cavidad c no puede mantener la biestabilidad en potencia de bomba baja. En realidad, solo la potencia de bombeo alta P puede cavidad a presentan un comportamiento biestable, porque solo la cavidad optomecánica impulsada por potencia de bomba alta c , se puede acoplar mucho más número de fotones en la cavidad óptica a . También graficamos el número medio de fotones intracavitarios n a de cavidad óptica a en función de la fuerza de acoplamiento J bajo tres potencias de bomba como se muestra en la Fig. 3b. Está claro que cuando J =0, n a =0, porque no hay acoplamiento entre las dos cavidades en J =0, y en esta condición, ningún fotón se acopla a la cavidad óptica a . Al aumentar la fuerza de acoplamiento J (disminuyendo la distancia de las dos cavidades [26]), los números de fotones intracavitarios n a de cavidad óptica ordinaria a aumentar pero no siempre. Hay una fuerza de acoplamiento óptima J para el valor máximo de n a con diferente potencia de bomba, y luego, n a disminuirá con el aumento de J . Es un hecho notable que la fuerza de acoplamiento J entre las dos cavidades se puede ajustar [26].

un Número medio de fotones intracavitarios de la cavidad ordinaria a en función de la desafinación de la bomba de cavidad Δ a con tres potencias de bomba en J =1.0 κ a . b Número medio de fotones intracavitarios n a en función de J con tres potencias de bomba. c Número medio de fotones intracavitarios n c en función de Δ c con tres parámetros de relación δ . d Número medio de fotones intracavitarios n c en función de δ por dos J

Además, consideramos un parámetro de relación δ = κ c / κ a ( κ c = ω c / Q c y κ a = ω a / Q a ) para investigar los parámetros de las dos cavidades que influyen en el comportamiento biestable. κ es la tasa de caída del modo de cavidad, que está relacionada con la frecuencia y el factor de calidad de la cavidad. Como sabemos, es difícil lograr un Q alto y un V pequeño simultáneamente para un modo de cavidad debido al límite de difracción. Para una cavidad óptica, una V menor correspondiente a una tasa de desintegración radiativa mayor da como resultado una Q más baja. Aunque los diferentes tipos de cavidades poseen sus propias propiedades únicas, el peso entre Q alta y V pequeña todavía existe. Sin embargo, al acoplar el OMS c original con disipación de cavidad alta a un modo de cavidad auxiliar a con Q alto pero V grande, el comportamiento biestable cambiará significativamente. La figura 3c muestra el número medio de fotones intracavitarios n c de cavidad optomecánica c en función de Δ a bajo varios δ diferentes = κ c / κ a con una fuerza de acoplamiento inalterada J =1.0 κ a . Podemos encontrar que el comportamiento biestable puede aparecer, pero el número de fotones intracavitarios n c es pequeño en δ =0.1 con J =2 κ a , es decir, κ c =0.1 κ a que significa Q c > Q a . Al aumentar la relación δ de δ =1.0 a δ =2.0, el número de fotones intracavitarios n c experimenta el cambio de un comportamiento biestable a un perfil de línea casi lorentziano. Es decir, cuando Q c < Q a , el comportamiento biestable se romperá, pero hay una condición óptima, es decir, Q c = Q a . En la Fig. 3d, damos el número de fotones intracavitarios n c en función de δ con dos J diferentes y, obviamente, al aumentar el parámetro de relación δ , los números de fotones intracavitarios n c aumento. Cuando alcanza un valor óptimo para un J dado , luego n c disminución. Por lo tanto, controlar los parámetros de la cavidad, como la tasa de deterioro κ o el factor de calidad de las cavidades, se puede controlar el comportamiento biestable.

Por otro lado, como fenómeno óptico no lineal típico, también investigamos el proceso FWM con Eq. (14) en el sistema optomecánico de moléculas fotónicas. La Figura 4 traza el espectro FWM en función de la cavidad de la sonda a desafinando Δ s = ω s - ω a en Δ a = Δ c =0 bajo diferentes regímenes de parámetros. La Figura 4a – d muestra la evolución de los espectros FWM con diferentes potencias de bomba P en J =1.0 κ a . Está claro que los espectros FWM presentan tres picos, donde un pico Lorentziano cerca de Δ s =0 y dos picos de división de modo se ubican en ± ω m , y la intensidad de FWM disminuye al aumentar la potencia de la bomba. La Figura 4e – h muestra el cambio de los espectros FWM de J =0.5 κ a a J =2.0 κ a a la potencia de la bomba P =1,0 mW. Al aumentar la fuerza de acoplamiento J de J =0.5 κ a a J =2.0 κ a , los espectros FWM cambian significativamente. El fenómeno se puede explicar con una imagen del estado vestido que se ha demostrado en un sistema optomecánico de cavidad única [51].

un - d Intensidad FWM en función de la desafinación normalizada sonda-bomba Δ s para diferentes potencias de la bomba en J =1.0 κ a . e - h Intensidad de FWM en función de Δ s para diferentes J a la potencia de la bomba P =1,0 mW

Luego investigamos los espectros FWM en Δ a = Δ c ≠ 0. La Figura 5a-d muestra los espectros FWM en la banda lateral roja, es decir, Δ a = Δ c = ω m bajo una J sin cambios =1.0 κ a con el aumento de la potencia de la bomba de P =1.0 a P =10 mW. Aparecen dos picos de división de modo normal en los espectros FWM que se ubican en ± ω m respectivamente, y la intensidad de FWM disminuye al aumentar la potencia de la bomba. La Figura 5e – h muestra los espectros FWM en la banda lateral roja, es decir, Δ a = Δ c = ω m bajo una potencia de bomba fija P =2.0 mW al aumentar la fuerza de acoplamiento J de J =0.5 κ a a J =2.0 κ a . Obviamente, la intensidad de FWM aumenta al aumentar la fuerza de acoplamiento J y el J más grande significa más números de fotones acoplados en la cavidad óptica a . Al cambiar la desafinación Δ a y Δ c desde la banda lateral roja a la banda lateral azul, es decir, Δ a = Δ c =- ω m , la evolución de los espectros FWM cambia de manera prominente. La Figura 5i – l muestra los espectros de FWM en la banda lateral azul bajo cuatro potencias de bomba diferentes, y la intensidad de FWM disminuye al aumentar la potencia de la bomba incluso en la banda lateral azul. Excepto dos picos de división de modo normales que se ubican en ± ω m , también aparecen dos picos agudos de banda lateral en los espectros FWM y su ubicación está relacionada con la potencia de la bomba. En la Fig. 5m – p, también discutimos la fuerza de acoplamiento J que afectan los espectros FWM debajo de la banda lateral azul. Si aparecen otros picos de banda lateral nítidos en los espectros FWM depende de la fuerza de acoplamiento J .

un - d Intensidad de FWM en función de Δ s para diferentes potencias de bomba P en la banda lateral roja ( Δ c = Δ a = ω m ) y J =1.0 κ a . e - h Intensidad de FWM en función de Δ s para diferentes J debajo de la banda lateral roja y la potencia de la bomba P =2,0 mW. yo - l Intensidad de FWM en función de Δ s para diferentes potencias de bomba P en la banda lateral azul ( Δ c = Δ a =- ω m ) y J =1.0 κ a . m - p Intensidad de FWM en función de Δ s para diferentes J debajo de la banda lateral azul y la potencia de la bomba P =2,0 mW

Además, dado que el parámetro de relación δ = κ c / κ a puede influir en el número de fotones intracavitarios en la molécula fotónica compuesta OMS, los espectros FWM se pueden manipular controlando el parámetro δ . La Figura 6a – h presenta los espectros FWM con parámetros sin cambios J =2.0 κ a y P =10 mW debajo de la banda lateral roja al aumentar la relación δ de δ =0.05 a δ =3.0, and the FWM intensity decreases with increasing the ratio δ . While in the blue sideband, other sharp sideband peaks will appear in the FWM spectra as shown in Fig. 6i–p, and the FWM intensity also decreases with increasing the ratio δ . Therefore, with controlling the cavity parameters, like the decay rate κ or the Q of the cavities, the FWM can achieve straightforward in the composite photonic-molecule OMS.

un - h FWM intensity as a function of Δ s for several different ratio parameters δ at the red sideband (Δ c =Δ a = ω m ) and J =2.0 κ a , P =10 mW. yo –p FWM intensity as a function of Δ s for several different ratio parameters δ at the blue sideband (Δ c =Δ a =−ω m ) and J =2.0 κ a , P =10 mW

Conclusión

We have investigated the optical bistability and four-wave mixing in a composite WGM cavity photonic-molecule optomechanical system, which includes an optomechanical cavity with high-cavity dissipation coupled to an auxiliary cavity with high-quality factor. We investigate the optical bistability under different parameter regimes such as the coupling strength J between the two cavities and the decay rate ratio δ of the two cavities in the system. The optical bistability can be adjusted by the pump field driving the optomechanical cavity, and the intracavity photon number in the two cavities is determined by the coupling strength J . Further, we have also demonstrated how to control the FWM process in the photonic-molecule optomechanical system under different driving conditions (the red sideband and the blue sideband) and different parameter conditions (the coupling strength J and the ratio δ ). Numerical results show that the FWM process can be controlled with such parameters. These results are beneficial for better understanding the nonlinear phenomena in the composite photonic-molecule optomechanical system.

Abreviaturas

C-OMS:

Cavity optomechanics systems

FWM:

Four-wave mixing

OMS:

Optomechanics systems

OMIT:

Optomechanically induced transparency

Q:

Quality

V:

Volume

WGM:

Whispering gallery mode


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