Estimación Precisa Energía Supercapacitores Usando Modelos Diferenciales Fraccionarios

Introducción

Hoy, supercapacitores componentes principales muchos dispositivos y sistemas: respaldo potencia y sistemas recuperación electricidad, aplicaciones automotrices, vehículos híbridos y muchos otros. Capacidad acumular carga sin reacciones químicas hace tales elementos tener cientos veces mayor número ciclos carga/descarga comparado baterías típicas [1]. Adicionalmente, altas tasas carga/descarga hacen efectivos aplicaciones sistemas recuperación energía usados ejemplo transporte o fuentes energía renovables [2, 3]. Todas estas aplicaciones, parámetro clave información cantidad energía acumulada supercapacitor [4, 5]. Desafortunadamente, relación bien conocida capacitores típicos permite determinar información, (1/2)CU², no puede usarse [6]. Cantidad energía acumulada no determinable base voltaje terminales capacitor solo. Razón principal proceso difusión asociado redistribución carga [1, 7]. Por esto muchos investigadores intentado determinar modelo supercapacitor permitir estimar comportamiento sistema real. Actualmente, investigadores principalmente adoptan combinaciones elementos electrónicos típicos, ej., cuadripolo RC o combinaciones serie y paralelos tales elementos. Sin embargo, todos estos modelos asumen relación corriente supercapacitor y voltaje terminal forma ecuación diferencial orden entero típico [3-5, 7].

Pero resulta posibilidades completamente nuevas estimación energía tales sistemas obtenibles aplicación cálculo fraccionario [8, 9]. Cálculo diferencial-integral no entero propuesto hace 300 años, pero problemas implementación importantes relacionados llegada computadoras y uso modelado sistemas dinámicos tiempo discreto [10-14]. Aplicación cálculo fraccionario problema estimación parámetros supercapacitor no tema nuevo. Muchas publicaciones este campo [15-25]. Autores realizan tarea estimación parámetros dominios frecuencia y tiempo [26].

Este artículo versión extendida presentación conferencia autor [27], donde enfoque orden fraccionario introducido brevemente estimar energía acumulada supercapacitor.

Estimación precisa parámetros supercapacitores también suma importancia evaluar fiabilidad [28-31]. Procesos degradación permanentes dentro supercapacitor pueden cambiar resistencia serie equivalente y capacitancia. Así, determinación precisa estos parámetros, basado método propuesto, también permite evaluar con precisión rendimiento capacitor.

Artículo comienza preliminares relacionados integración y diferenciación orden fraccionario. Presenta método estimación parámetros usado durante pruebas y propone nuevo método cálculo energía basado cálculo fraccionario. Sección Resultados y Discusión presentan energía calculada varios escenarios comparan valores referencia (medidos). Conclusiones y contribuciones resumidas sección Conclusiones.

Métodos

Uso materiales porosos supercapacitores y manera específica acumulación carga causan enfoques tradicionales basados modelos derivada orden entero no suficientemente precisos. Muchos investigadores propusieron diversas soluciones forma combinación típicos elementos RC valores constantes o variables [4, 7]. Pero resulta precisión definitivamente mejor obtenible usando cálculo diferencial no entero para definir relaciones corriente supercapacitor y voltaje [17, 19]. Adicionalmente, tal solución puede resultar estructura modelo muy simple, mientras proporciona muy alta precisión [18].

Cálculo Diferencial-Integral Orden Fraccionario

Cálculo diferencial orden fraccionario conocido hace 300 años. Sin embargo, solo recientes años trajeron popularidad modelado fenómenos físicos y procesos. Se cree descripción dinámicas derivada o integral orden no entero puede ser uno métodos más efectivos modelado propiedades reales muchos fenómenos complejos y procesos industriales, especialmente basados nuevos materiales y tecnologías [10, 12, 13, 32-34].

Cálculo diferencial o integral no entero generalización cálculo clásico orden α pertenece conjunto números reales \(\mathcal {R}\). Operador diferencial-integral orden \(\alpha \in \mathcal {R}\) función f(t) rango [a,t] escrito:

$$ {{}_{a}\mathcal{D}_{\textit t}^{\alpha}}f(t)= \left\{ {\begin{array}{l c l} {\frac{\mathrm{d}^{\alpha}\textit{f(t)}}{\mathrm{d} \textit{t}^{\alpha}}} & \text{for} & \alpha>0\\ f(t) & \text{for} & \alpha=0\\ \int_{a}^{t} f(\tau)\textrm {d} {\tau^{\alpha}} & \textrm {for} & \alpha<0,\\ \end{array}} \right. $$ (1)

asumiendo función f(t) múltiples veces diferenciable e integrable. Operador (1), muchas definiciones realización. Definiciones difieren propiedades y áreas aplicación. Más populares Riemann-Liouville, Caputo y Grünwald-Letnikov (GL) [34]. Última usada este artículo forma:

$$ {}_{a}\mathcal{D}_{t}^{\alpha} f(t) = {\lim}_{h \to 0} \frac{1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{\left[{\frac{t}{h}}\right]}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-jh), $$ (2)

donde binomial \(\alpha \choose j\) definido:

$$ {\alpha \choose j}= \left\{ \begin{array}{lll} 1 & \textup {for} &j=0 \\ \frac{\alpha (\alpha-1) \dots (\alpha-j+1)}{j!} & \text{for} & j>0. \end{array} \right. $$ (3)

Obtener modelo fraccionario momentos discretos tiempo, definición GL forma discreta simplificada:

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(t) = \frac {1}{h^{\alpha}} \sum\limits_{j=0}^{t}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(t-j). $$ (4)

Varios esquemas discretización Ec. (4). Más populares incluyen diferencias hacia atrás (Euler), trapezoidal (Tustin), operadores Al-Alaoui. Usando método Euler, derivada fraccionaria momentos tiempo discreto k presentada:

$$ \Delta_{h}^{\alpha} f(k)=\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{k}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots. $$ (5)

Suma infinita muestras previas debe sistemas reales limitada valor finito debido memoria limitada y tiempo cálculo limitado. Ahora, aproximación tiempo discreto longitud finita truncada GL:

$$ \Delta^{\alpha} f(k) =\frac {1}{h^{\alpha}}\sum\limits_{j=0}^{L}(-1)^{j}{\alpha \choose j}f(k-j),\; k=0,1,\ldots, $$ (6)

donde f(l)=0 para l<0 y L longitud modelo (6) [23]. Reducir número muestras resulta disminución precisión cálculo. Importante sistemas operando tiempo continuo. Otros tipos soluciones algoritmos aproximan diferenciales-integrales fraccionarios modelos orden entero. Ejemplo filtros recursivos Oustaloup [35]. Otro modelo longitud finita efectivo FFLD, combinación modelo truncado (6) y diferencia basada Laguarre [24, 36, 37].

Todos resultados identificación así como mediciones energía obtenidos basados todas muestras ventana observación (larga) L, i.e., máxima precisión. Figura 1 presenta respuestas escalón integración y diferenciación obtenidas basadas (6), para k=0,1,…,L y varios valores orden integración/diferenciación α. Asumiendo diferentes valores orden α, puede modelar más precisamente diferentes procesos físicos, especialmente difusión.

Respuestas escalón integrando (a) y diferenciando (b) modelos varios órdenes α

Estimación Parámetros Modelo Fraccionario

Resultados todas mediciones energía y procedimientos identificación presentados artículo obtenidos supercapacitor cargado fuente voltaje controlada. Tal sistema, corriente supercapacitor i _C (t) debe limitada resistor R conectado serie supercapacitor C (Fig. 2). Estimación todos parámetros supercapacitor realizada basada respuesta cuadripolo u _C (t) escalón voltaje u(t) entrada. Elegir valor apropiado orden derivada α permite contabilizar modelo supercapacitor fenómenos físicos relacionados procesos difusión asociados redistribución carga durante carga y descarga. Resistor paralelo r _P adicionalmente permite modelar corriente fuga. Usando cálculo diferencial fraccionario modelar supercapacitores, estructura modelo puede baja complejidad. Supercapacitor cargado fuente voltaje, modelo consiste solo dos elementos, i.e. simple cuadripolo RC (Fig. 2a). Bajas capacidades, resistencia serie r _S importancia (Fig. 2b), mientras corriente fuga I _L puede adicionalmente representarse resistencia paralela r _P (Fig. 2c). Usando cálculo orden fraccionario modelar supercapacitor, relación voltaje terminales capacitor y corriente expresada:

$$ i_{C}(t)=C_{\alpha}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d} t^{\alpha}}, $$ (7)

Modelos RC supercapacitor, modelo base (a), expandido resistencia serie (b), y resistencia paralela adicional (c)

donde operador d^α/dt^α significa operador diferenciación orden α y unidad SI C _α [F/seg^1−α]. Configuración básica supercapacitor Fig. 2a tratada sistema inercial primer orden representada función transferencia fraccionaria:

$$ G(s^{\alpha})=\frac{U_{C}(s)}{U(s)}=\frac{1}{Ts^{\alpha} +1}, $$ (8)

donde T=RC _α . Considerando resistencia serie r _S (Fig. 2b), circuito tratado sistema corrección desfase fase con función transferencia (comparar [24])

$$ G(s^{\alpha})=\frac{1}{T_{1}s^{\alpha}+1}+\frac{T_{2}s^{\alpha}}{T_{1}s^{\alpha}+1}, $$ (9)

donde T₁=C _α (R+r _S ) y T₂=r _S C _α . Adicionalmente, permitiendo resistor paralelo r _P representando corriente fuga I _L (Fig. 2c), función transferencia sistema expresada:

$$ G(s^{\alpha})=\frac{T_{2}s^{\alpha} +1}{T_{1}s^{\alpha} +K}, $$ (10)

donde K=R/r _P +1, T₁=C(Rr _s /r _P +R+r _S ) y T₂=r _S C. Dominio tiempo, Ec. (10) presentada:

$$ \frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}=\frac{1}{T_{1}}(u(t)-Ku_{C}(t))+\frac{T_{2}}{T_{1}}\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}. $$ (11)

Respuesta tiempo modelo definido (11) obtenida transformando forma presentada gráficamente Fig. 3, donde operaciones integración y diferenciación orden fraccionario α. Modelo usado durante proceso estimación parámetros supercapacitor. Supercapacitor probado identificado usando sistema Fig. 4a. Procedimiento control sistema entero desarrollado Matlab/Simulink con xPC Toolbox. Sistema consistía PC escritorio (xPC Target) tarjeta medición NI-DAQ y computadora maestra (xPC Host). Computadoras interconectadas red Ethernet. Supercapacitor cargado y descargado fuente (voltaje-controlada) voltaje (Fig. 4b) eficiencia corriente ± 3 A. Sistema medición operado frecuencia muestreo 100 Hz, mientras todas mediciones y señales control analógico procesadas resolución 16-bit [25].

Estructura Matlab modelo supercapacitor dominio tiempo

Estructura sistema medición (a) y esquema carga/descarga supercapacitor (b)

Método principal determinar propiedades dinámicas sistema basado análisis respuesta escalón [38]. Relación modelo sistema, método permite estimación parámetros. Este estudio, señal escalón varios voltajes (0,5/1,0/1,5/2,0/2,7 V) duración constante (500 s) usada (ver Fig. 5 y Tabla 2). Por otro lado, una aplicaciones típicas supercapacitores acumulación o entrega energía sistemas potencia. Este caso, tasa cambio voltaje rather small. Simularlo, señal 400 mVpp y 0,03 rad/s con offset 2 V usada (Fig. 6). Adicionalmente examinar influencia cambios voltaje y frecuencia parámetros estimados, varios valores usados (ver Tabla 3).

Respuestas escalón supercapacitor probado y modelo fraccionario (a) y error respuesta modelo (b)

Respuestas onda sinusoidal supercapacitor probado y modelo fraccionario (a) y error respuesta modelo (b)

Varios métodos estimación parámetros modelo. Objetivo principal procedimiento identificación dominio tiempo aplicado este trabajo estimar vector parámetros desconocidos θ=[α,C _α ,r _S ,r _P ] modelo fraccionario presentado (11). Método mínimos cuadrados usado minimizar error inicial. Criterio optimización involucró minimización error estándar \(\|\epsilon (k)\|_{2}^{2}\), donde

$$ \epsilon(k)=u_{C}(k)-\hat{u}_{C}(k), $$ (12)

u _C (k) voltaje salida medido sistema probado momento k, mientras \(\hat {u}_{C}(k)\) voltaje salida modelo considerado señal entrada u(k). Problema identificación ahora reducido encontrar vector parámetros θ∈Θ _ad minimizaría criterio cuadrático J manera que

$$ \min_{\theta\in\Theta_{ad}} \left\{ J= \sum_{0}^{N} {\epsilon(k)^{T}\epsilon(k)}\right\}, $$ (13)

donde Θ _ad denota conjunto valores parámetros admisibles y N tiempo simulación. Muchos algoritmos optimización pueden resolver problema (13). Resultados presentados artículo obtenidos implementando algoritmo genético entorno Matlab.

Cálculo Energía

Cambio energía almacenada supercapacitor depende potencia suministrada capacitor por unidad tiempo descrito:

$$ \mathrm{d}E(t) =P(t)\mathrm{d}t. $$ (14)

Expresando potencia suministrada capacitor producto corriente y voltaje terminales capacitor, cambio energía tiempo dado t expresado:

$$ \mathrm{d}E(t) =u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. $$ (15)

Energía total intervalo tiempo [t₁,t₂] obtenida integrando cambios energía sobre tiempo:

$$ E_{tot}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\mathrm{d}E(t)=\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)i_{C}(t)\mathrm{d}t. $$ (16)

Considerando Ec. (7), almacenamiento total energía determinado:

$$ E_{tot}=C_{\alpha}\int_{t_{1}}^{t_{2}}u_{C}(t)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(t)}{\mathrm{d}t^{\alpha}}\mathrm{d}t. $$ (17)

Asumiendo t₁=0 y \(E_{t_{1}}=0\), energía total almacenada supercapacitor intervalo [0,t]:

$$ E(t)=C_{\alpha}\int_{0}^{t}u_{C}(\tau)\frac{\mathrm{d}^{\alpha} u_{C}(\tau)}{\mathrm{d}\tau^{\alpha}}\mathrm{d}\tau. $$ (18)

Nótese α=1 Ec. (18) reducirse clásico:

$$ E(t)=\frac{1}{2}Cu_{C}(t)^{2}. $$ (19)

Resultados y Discusión

Inicialmente, procedimiento estimación vector parámetros modelo supercapacitor usando cálculo fraccionario realizado. Estimación realizada basado sistema Fig. 2c, generando escalón voltaje u onda sinusoidal entrada. Respuestas modelo calculadas basadas (11). Resultados obtenidos dos procedimientos identificación muy similares, especialmente capacitancia fraccionaria C _α y orden fraccionario α (ver Tabla 1). Algunas diferencias estimaciones resistencia serie r _S pueden resultado dependencia frecuencia. Señal escalón consiste muchos armónicos alta frecuencia mientras onda sinusoidal solo uno – 0,03 rad/s. Resultados presentados obtenidos supercapacitor comercial Samwha Green-Cap EDLC(DB), nominal 2,7 V 100 F capacitancia nominal y 8 mΩ resistencia serie equivalente máxima (r _S ) 1 kHz.

Figuras 5a y 6a muestran voltaje medido supercapacitor y respuestas modelo calculadas, escalón y señal sinusoidal respectivamente, mientras Figs. 5b y 6b muestran error respuesta modelo.

Todos resultados obtenidos muestran alta consistencia entre respuestas modelo y mediciones reales a pesar modelos relativamente simples propuestos. Algunas discrepancias pueden resultar hecho parámetros modelo deberían estimarse sistema supercapacitor cargado y descargado usando fuente corriente [25]. También, estimaciones muy altas r _P pueden sugerir esta resistencia podría excluirse modelo supercapacitor Fig. 2c. Esas estimaciones muy altas y altas discrepancias diferentes entradas indican señales prueba usadas estimar parámetro no adecuadas. Modelo (10) usado forma más general. Sin embargo, determinar con precisión todos parámetros, necesario usar otros procedimientos y señales prueba. Valor r _P caracteriza corriente fuga I _L y debería determinarse usando señal voltaje constante, pero tiempo muy largo – orden varias docenas horas.

Aunque objetivo principal estudio medir energía, varias condiciones excitación afectaron largamente todas estimaciones parámetros (ver Tabla 2). Por ejemplo, aumento amplitud escalón voltaje cambió significativamente orden integración fraccionaria, resultado efecto creciente fenómenos difusión dentro supercapacitor. También visto Tabla 2 supercapacitor bastante no lineal. Resultado cambios orden integración, variación capacitancia fraccionaria también observada. Esto también aplica excitación sinusoidal. Valores parámetros estimados—especialmente α y C _α —dependen amplitud y frecuencia (ver Tabla 3). Bajas frecuencias, valor amplitud importante, mientras altas frecuencias supercapacitor comporta como excitado voltaje constante.

Cálculo Energía

Figuras 7a y 8a muestran valores medidos voltaje y corriente supercapacitor configuración Fig. 4b. Valores usados cálculo energía total almacenada capacitor (marcada E₁ Figs. 7b y 8b) según (16). Igual procesos identificación parámetros, cálculos conducidos tanto escalón voltaje como onda sinusoidal entrada. Energía calculada manera cada tiempo t comparada energía calculada base voltaje y capacitancia según (19) (marcada E₃ Figs. 7b y 8b) y energía calculada cálculo orden fraccionario (marcada E₂ Figs. 7b y 8b) según (18). Ec. (19), valor nominal supercapacitor adoptado (C _n ), mientras (18) valor obtenido proceso estimación Tabla 1 usado. Figura 7b muestra resultados mediciones y cálculos energía escalón voltaje, Fig. 8b mismas cantidades onda sinusoidal. Cálculos similares hechos diferentes escalones voltaje y excitaciones sinusoidales. Figura 9a, b ejemplo energías medidas y calculadas dos escalones voltaje 0,5 V y 2,7 V respectivamente. Figura 10 muestra cambios energía señal sinusoidal frecuencia 0,03 rad/seg y diferentes amplitudes 0,1/0,25/0,5 y 0,7 V. Ve-se diferencias valores energía determinada corresponden diferencias valores estimados orden fraccionario α. Mayor diferencia valor −1, mayor diferencia energías calculadas.

Respuestas escalón supercapacitor voltaje y corriente (a) y valores energía calculados (b)

Respuestas sinusoidales supercapacitor voltaje y corriente (a) y valores energía calculados (b)

Cantidades energía calculadas excitaciones escalón 0,5 V (a) y 2,7 V (b)

Cantidades energía calculadas excitaciones sinusoidales frecuencia 0,03 rad/s amplitudes 0,1 V (a), 0,25 V (b), 0,5 V (c), 0,7 V (d)

Discusión

Uso material poroso electrodos supercapacitores forma carbón activo aislado separador muy delgado y uso mecanismos acumulación carga llamados doble capa, da enorme aumento capacidad. Sin embargo, aplicación nuevos materiales y nuevas soluciones diseño resultan hecho cálculos matemáticos tradicionales forma derivadas e integrales orden entero aparecen inexactos. Mediciones y cálculos conducidos prueban naturaleza orden fraccionario supercapacitores. Correcta estimación orden no entero α derivada/integral, puede modelar precisamente fenómenos y procesos ocurren dentro supercapacitor usando modelos matemáticos simples.

Considerando valor real energía acumulada determinada (16), modelo orden entero parámetros nominales (19) subestima cantidad energía, mientras modelo fraccionario (18) indica casi mismo valor.

Pruebas y mediciones realizadas relacionadas carga y descarga supercapacitor fuente voltaje. Condiciones industriales, supercapacitores usualmente cargados y descargados fuentes corriente. Esto puede cambiar naturaleza sistema porque capacitor ya no sistema inercial sino becomes típico integrador. Sin embargo, mediciones conducidas autor también indican ocurrencia procesos difusión tales casos. De cualquier manera, utilidad derivada/integral Gründwald-Letnikov confirmada aquí. Otro tema implementación operador diferencial-integral GL como, ej., diferencia GL finita o truncada (6), que puede computacionalmente costosa. Futura investigación, compararemos aproximadores Oustaloup [35] y FFLD [24, 36, 37] resolver efectivamente tema implementación.

Cantidad almacenamiento energía supercapacitor calculada solo valor medido voltaje terminal supercapacitor y usando modelo (19) no apropiado. Modelo (19) solo válido si corriente capacitor caracterizada derivada orden entero voltaje terminal capacitor (i _C (t)=du _C (t)/dt). No cierto supercapacitor consecuencia construcción y materiales especiales usados. Sin embargo, mismo problema ocurre supercapacitores muy grandes cargados fuente corriente. También elementos bastante nuevos super-baterías. Todas estas aplicaciones, cambios corriente no caracterizados derivada orden entero voltaje terminal consecuencia propiedades específicas estos elementos.

Conclusiones

Este artículo presentó nuevo enfoque estimación cantidad energía acumulada supercapacitores. Análisis conducido aprovechando ciertas propiedades únicas modelos orden fraccionario. Mostrado aplicación tal modelado sofisticado conduce resultados muy precisos, obtenibles aunque modelos no alta complejidad. Debido habilidad natural dinámicas orden no entero modelar procesos difusión, como redistribución carga supercapacitores. Resultados artículo confirmaron naturaleza fraccionaria supercapacitores.