Simplificación lógica con mapas de Karnaugh

Los ejemplos de simplificación lógica que hemos hecho hasta ahora podrían haberse realizado con álgebra de Boole con la misma rapidez. Los problemas de simplificación de la lógica del mundo real requieren mapas de Karnaugh más grandes para que podamos hacer un trabajo serio.

Trabajaremos algunos ejemplos artificiales en esta sección, dejando la mayoría de las aplicaciones del mundo real para el capítulo Lógica combinatoria. Por artificial, nos referimos a ejemplos que ilustran técnicas.

Este enfoque desarrollará las herramientas que necesitamos para hacer la transición a las aplicaciones más complejas en el capítulo Lógica combinatoria.

Mapas de Karnaugh y secuencia de código Gray

Mostramos nuestro mapa de Karnaugh desarrollado previamente. Usaremos el formulario de la derecha.

Tenga en cuenta la secuencia de números en la parte superior del mapa. No está en secuencia binaria que sería 00, 01, 10, 11 . Son las 00, 01, 11 10 , que es una secuencia de código Gray. La secuencia del código gris solo cambia un bit binario a medida que pasamos de un número al siguiente en la secuencia, a diferencia del binario.

Eso significa que las celdas adyacentes solo variarán en un bit o variable booleana. Esto es lo que necesitamos para organizar las salidas de una función lógica para que podamos ver los puntos en común.

Además, los encabezados de columna y fila deben estar en el orden del código Gray, o el mapa no funcionará como un mapa de Karnaugh. Las celdas que comparten variables booleanas comunes ya no serán adyacentes ni mostrarán patrones visuales.

Las celdas adyacentes varían solo en un bit porque una secuencia de código Gray varía solo en un bit.

Generación de código Gray

Si dibujamos nuestros propios mapas de Karnaugh, necesitamos generar código Gray para cualquier tamaño de mapa que podamos usar. Así es como generamos código Gray de cualquier tamaño.

Tenga en cuenta que la secuencia del código Gray, arriba a la derecha, solo varía en un bit a medida que avanzamos en la lista, o de abajo hacia arriba en la lista. Esta propiedad del código Gray suele ser útil para la electrónica digital en general. En particular, es aplicable a los mapas de Karnaugh.

Ejemplos de simplificación con Karnaugh Maps

Pasemos a algunos ejemplos de simplificación con mapas de Karnaugh de 3 variables. Mostramos cómo mapear los términos del producto de la lógica no simplificada al mapa K.

Ilustramos cómo identificar grupos de celdas adyacentes que conduce a una simplificación de suma de productos de la lógica digital.

Encima de nosotros, coloque los 1 en el mapa K para cada uno de los términos del producto, identifique un grupo de dos y luego escriba un término p (término de producto) para el grupo único como nuestro resultado simplificado.

Al mapear los cuatro términos de producto anteriores se obtiene un grupo de cuatro cubiertos por la A ’ booleana

Al mapear los cuatro términos p se obtiene un grupo de cuatro, que está cubierto por una variable C .

Después de mapear los seis términos p anteriores, identifique el grupo superior de cuatro, elija las dos celdas inferiores como un grupo de cuatro compartiendo las dos con dos más del otro grupo. Cubrir estos dos con un grupo de cuatro da un resultado más simple.

Dado que hay dos grupos, habrá dos términos p en el resultado de la suma de productos A '+ B

Los dos términos de producto anteriores forman un grupo de dos y se simplifican a BC

Al mapear los cuatro términos p se obtiene un solo grupo de cuatro, que es B

El mapeo de los cuatro términos p anteriores produce un grupo de cuatro. Visualice el grupo de cuatro enrollando los extremos del mapa para formar un cilindro, luego las celdas son adyacentes. Normalmente marcamos el grupo de cuatro como arriba a la izquierda.

De las variables A, B, C, hay una variable común:C '. C ’es un 0 total de cuatro celdas. El resultado final es C ’

.

Las seis celdas anteriores de la ecuación no simplificada se pueden organizar en dos grupos de cuatro. Estos dos grupos deberían darnos dos términos p en nuestro resultado simplificado de A ’+ C’ .

Simplificación de ecuaciones booleanas con mapas de Karnaugh

A continuación, revisamos el incinerador de desechos tóxicos del capítulo de álgebra de Boole. Consulte el capítulo de álgebra de Boole para obtener detalles sobre este ejemplo. Simplificaremos la lógica usando un mapa de Karnaugh.

La ecuación booleana para la salida tiene cuatro términos de producto. Mapea cuatro unos correspondientes a los términos p. Formando grupos de células, tenemos tres grupos de dos. Habrá tres términos p en el resultado simplificado, uno para cada grupo. Consulte Conversión de tablas de verdad en expresiones booleanas del capítulo 7 para ver un diagrama de puerta del resultado, que se reproduce a continuación.

A continuación, repetimos la simplificación del álgebra booleana del incinerador de desechos tóxicos para comparar.

A continuación, repetimos la solución del mapa de Karnaugh del incinerador de desechos tóxicos para compararla con la simplificación del álgebra booleana anterior. Este caso ilustra por qué el mapa de Karnaugh se usa ampliamente para simplificar la lógica.

El método del mapa de Karnaugh ciertamente parece más fácil que las páginas anteriores del álgebra de Boole.

HOJAS DE TRABAJO RELACIONADAS:

• Hoja de trabajo de mapeo de Karnaugh