Dominando las ecuaciones simultáneas: Guía paso a paso de los métodos de sustitución y adición

¿Qué son las ecuaciones simultáneas y los sistemas de ecuaciones?

Los términos ecuaciones simultáneas y sistemas de ecuaciones se refieren a condiciones donde dos o más variables desconocidas están relacionadas entre sí a través de un número igual de ecuaciones.

Ejemplo:

Para este conjunto de ecuaciones, existe una única combinación de valores para x e y que satisface ambas.

Cada ecuación, considerada por separado, tiene una infinidad de soluciones válidas (x,y), pero juntas solo hay una. Representadas gráficamente, esta condición se vuelve evidente:

Cada línea es en realidad un continuo de puntos que representan pares de soluciones (x,y) posibles para cada ecuación.

Cada ecuación, por separado, tiene un número infinito de pares ordenados (x,y) como soluciones. Existe solo un punto donde las dos funciones lineales x + y = 24 y 2x - y = -6 se intersectan (donde una de sus muchas soluciones independientes sucede que funciona para ambas ecuaciones), y ese es donde x es igual a 6 e y es igual a 18.

Generalmente, sin embargo, graficar no es una forma muy eficiente de determinar el conjunto de soluciones simultáneas para dos o más ecuaciones. Es especialmente impráctico para sistemas de tres o más variables.

En un sistema de tres variables, por ejemplo, la solución se encontraría en la intersección de tres planos en un espacio de coordenadas tridimensional —no es un escenario fácil de visualizar.

Resolviendo ecuaciones simultáneas usando el método de sustitución

Existen varias técnicas algebraicas para resolver ecuaciones simultáneas.

Quizás la más fácil de comprender es el método de sustitución.

Tomemos, por ejemplo, nuestro problema de dos variables:

En el método de sustitución, manipulamos una de las ecuaciones de modo que una variable quede definida en términos de la otra:

Luego, tomamos esta nueva definición de una variable y la sustituimos por la misma variable en la otra ecuación.

En este caso, tomamos la definición de y, que es 24 - x, y la sustituimos por el término y en la otra ecuación:

Ahora que tenemos una ecuación con una sola variable (x), podemos resolverla usando técnicas algebraicas "normales":

Ahora que se conoce x, podemos introducir este valor en cualquiera de las ecuaciones originales y obtener un valor para y.

O, para ahorrar trabajo, podemos introducir este valor (6) en la ecuación que acabamos de generar para definir y en términos de x, ya que ya está en una forma para resolver y:

Aplicar el método de sustitución a sistemas de tres o más variables implica un patrón similar, solo que con más trabajo involucrado.

Esto es generalmente cierto para cualquier método de solución: el número de pasos requeridos para obtener soluciones aumenta rápidamente con cada variable adicional en el sistema.

Para resolver tres incógnitas, necesitamos al menos tres ecuaciones. Consideremos este ejemplo:

Dado que la primera ecuación tiene los coeficientes más simples (1, -1 y 1, para x, y y z, respectivamente), parece lógico usarla para desarrollar una definición de una variable en términos de las otras dos.

Despejamos x en términos de y y z:

Ahora, podemos sustituir esta definición de x donde aparece x en las otras dos ecuaciones:

Reduciendo estas dos ecuaciones a sus formas más simples:

Hasta ahora, nuestros esfuerzos han reducido el sistema de tres variables en tres ecuaciones a dos variables en dos ecuaciones.

Ahora, podemos aplicar la técnica de sustitución nuevamente a las dos ecuaciones 4y - z = 4 y -3y + 4z = 36 para resolver y o z. Primero, manipularé la primera ecuación para definir z en términos de y:

Luego, sustituiremos esta definición de z en términos de y donde vemos z en la otra ecuación:

Ahora que y es un valor conocido, podemos introducirlo en la ecuación que define z en términos de y y obtener un valor para z:

Ahora, con valores para y y z conocidos, podemos introducirlos en la ecuación donde definimos x en términos de y y z, para obtener un valor para x:

En conclusión, hemos encontrado valores para x, y y z de 2, 4 y 12, respectivamente, que satisfacen las tres ecuaciones.

Resolviendo ecuaciones simultáneas usando el método de adición

Aunque el método de sustitución puede ser el más fácil de comprender conceptualmente, existen otros métodos de solución disponibles.

Uno de ellos es el llamado método de adición, mediante el cual se suman ecuaciones entre sí con el propósito de cancelar términos variables.

Tomemos nuestro sistema de dos variables usado para demostrar el método de sustitución:

Una de las reglas más usadas del álgebra es que puedes realizar cualquier operación aritmética que desees en una ecuación, siempre y cuando lo hagas igualmente en ambos lados.

Con referencia a la adición, esto significa que podemos agregar cualquier cantidad que deseemos a ambos lados de una ecuación —siempre que sea la misma cantidad— sin alterar la verdad de la ecuación.

Una opción que tenemos, entonces, es sumar los lados correspondientes de las ecuaciones para formar una nueva ecuación.

Dado que cada ecuación es una expresión de igualdad (la misma cantidad a cada lado del signo =), sumar el lado izquierdo de una ecuación al lado izquierdo de la otra es válido siempre y cuando sumemos también los lados derechos de ambas ecuaciones.

En nuestro conjunto de ecuaciones de ejemplo, por ejemplo, podemos sumar x + y a 2x - y, y sumar 24 y -6 juntos para formar una nueva ecuación.

¿Qué beneficio nos brinda esto? Examinemos qué sucede cuando lo hacemos con nuestro conjunto de ecuaciones de ejemplo:

Debido a que la ecuación superior contenía un término y positivo mientras que la inferior contenía un término y negativo, estos dos términos se cancelaron en el proceso de adición, dejando sin término y en la suma.

Lo que nos queda es una nueva ecuación, pero con una sola variable desconocida, x! Esto nos permite resolver fácilmente el valor de x:

Una vez que tenemos un valor conocido para x, por supuesto, determinar el valor de y es simplemente cuestión de sustitución (reemplazando x con el número 6) en una de las ecuaciones originales.

En este ejemplo, la técnica de sumar las ecuaciones funcionó bien para producir una ecuación con una sola variable desconocida.

¿Qué pasa con un ejemplo donde las cosas no son tan simples? Consideremos el siguiente conjunto de ecuaciones:

Podríamos sumar estas dos ecuaciones —esta es una operación algebraica completamente válida— pero no nos beneficiaría en el objetivo de obtener valores para x e y:

La ecuación resultante aún contiene dos variables desconocidas, al igual que las ecuaciones originales, así que no hemos avanzado en obtener una solución.

Sin embargo, ¿qué pasaría si pudiéramos manipular una de las ecuaciones para tener un término negativo que sí cancelara el término respectivo en la otra ecuación al sumarlas?

Entonces, el sistema se reduciría a una sola ecuación con una sola variable desconocida, igual que en el último ejemplo (afortunado).

Si pudiéramos convertir el término y en la ecuación inferior en un término -2y, de modo que al sumar las dos ecuaciones, ambos términos y se cancelaran, dejándonos solo con un término x, esto nos acercaría a una solución.

Afortunadamente, esto no es difícil de hacer. Si multiplicamos cada término de la ecuación inferior por -2, producirá el resultado que buscamos:

Ahora, podemos sumar esta nueva ecuación a la original, superior:

Resolviendo para x, obtenemos un valor de 3:

Sustituyendo este nuevo valor encontrado para x en una de las ecuaciones originales, el valor de y se determina fácilmente:

Usar esta técnica de solución en un sistema de tres variables es un poco más complejo.

Al igual que con la sustitución, debes usar esta técnica para reducir el sistema de tres ecuaciones con tres variables a dos ecuaciones con dos variables, y luego aplicarla nuevamente para obtener una sola ecuación con una variable desconocida.

Para demostrar, usaré el sistema de ecuaciones de tres variables de la sección de sustitución:

Dado que la ecuación superior tiene valores de coeficiente de 1 para cada variable, será una ecuación fácil de manipular y usar como herramienta de cancelación.

Por ejemplo, si deseamos cancelar el término 3x de la ecuación del medio, todo lo que necesitamos hacer es tomar la ecuación superior, multiplicar cada uno de sus términos por -3, y luego sumarla a la ecuación del medio así:

Podemos eliminar el término -5x de la ecuación inferior de la misma manera: tomamos la ecuación superior original, multiplicamos cada uno de sus términos por 5, luego sumamos esa ecuación modificada a la ecuación inferior, dejando una nueva ecuación con solo términos y y z:

En este punto, tenemos dos ecuaciones con las mismas dos variables desconocidas, y y z:

Por inspección, debería ser evidente que el término -z de la ecuación superior podría aprovecharse para cancelar el término 4z en la ecuación inferior si solo multiplicamos cada término de la ecuación superior por 4 y sumamos las dos ecuaciones:

Tomando la nueva ecuación 13y = 52 y resolviendo para y (dividiendo ambos lados por 13), obtenemos un valor de 4 para y.

Sustituyendo este valor de 4 para y en cualquiera de las ecuaciones de dos variables nos permite resolver z.

Sustituyendo ambos valores de y y z en cualquiera de las ecuaciones originales de tres variables nos permite resolver x.

El resultado final (me ahorraré los pasos algebraicos ya que deberías estar familiarizado con ellos ahora) es que x = 2, y = 4 y z = 12.

HOJAS DE TRABAJO RELACIONADAS:

• Hoja de trabajo de Ecuaciones Simultáneas para Análisis de Circuitos