Análisis de Circuitos RC y RL Serie-Paralelo con Impedancia Compleja

Ahora que hemos visto cómo el análisis de circuitos de CA en serie y paralelo no es fundamentalmente diferente al análisis de circuitos de CC, no debería sorprender que el análisis serie-paralelo sea igual, solo usando números complejos en lugar de escalares para representar voltaje, corriente e impedancia. Tome este circuito serie-paralelo como ejemplo:

 

Ejemplo de circuito serie-paralelo R, L y C.

 

El primer paso, como de costumbre, es determinar valores de impedancia (Z) para todos los componentes basados en la frecuencia de la fuente de CA. Para esto, primero necesitamos determinar valores de reactancia (X) para todos los inductores y capacitores, luego convertir reactancia (X) y resistencia (R) en forma de impedancia (Z) apropiada:

 

 

 

Ahora podemos configurar los valores iniciales en nuestra tabla:

 

 

Al ser un circuito de combinación serie-paralelo, debemos reducirlo a una impedancia total en más de un paso. El primer paso es combinar L y C₂ como combinación serie de impedancias, sumando sus impedancias.

Luego, esa impedancia se combinará en paralelo con la impedancia del resistor, para llegar a otra combinación de impedancias. Finalmente, esa cantidad se sumará a la impedancia de C₁ para llegar a la impedancia total.

Para que nuestra tabla siga todos estos pasos, será necesario agregar columnas adicionales para que cada paso pueda representarse.

Agregar más columnas horizontalmente a la tabla mostrada sería impráctico por razones de formato, así que colocaré una nueva fila de columnas debajo, cada una designada por su respectiva combinación de componentes:

 

 

Calcular estas nuevas impedancias (de combinación) requerirá adición compleja para combinaciones serie y la fórmula "recíproca" para impedancias complejas en paralelo. Esta vez, no hay forma de evitar la fórmula recíproca: ¡las cifras requeridas no pueden llegar de otra manera!

 

 

Viendo que nuestra segunda tabla contiene una columna para "Total", podemos descartar esa columna de la primera tabla. Esto nos da una tabla con cuatro columnas y otra con tres columnas.

Ahora que conocemos la impedancia total (818,34 Ω ∠ -58,371°) y el voltaje total (120 voltios ∠ 0°), podemos aplicar la Ley de Ohm (I=E/Z) verticalmente en la columna "Total" para llegar a una cifra de corriente total:

 

 

En este punto nos preguntamos: ¿hay algún componente o combinación que comparta el voltaje total o la corriente total? En este caso, tanto C₁ como la combinación paralela R//(L—C₂) comparten la misma corriente (total), ya que la impedancia total está compuesta por los dos conjuntos de impedancias en serie.

Así, podemos transferir la cifra de corriente total a ambas columnas:

 

 

 

Ahora, podemos calcular caídas de voltaje a través de C₁ y la combinación serie-paralelo de R//(L—C₂) usando la Ley de Ohm (E=IZ) verticalmente en esas columnas de tabla:

 

 

 

Una verificación rápida en este punto sería ver si las caídas de voltaje a través de C₁ y la combinación serie-paralelo de R//(L—C₂) suman al total. Según la Ley de Voltaje de Kirchhoff, ¡deberían!

 

 

Ese último paso fue solo una precaución. En un problema con tantos pasos, hay mucha oportunidad para error. Verificaciones cruzadas ocasionales como esa pueden ahorrar mucho trabajo y frustración innecesaria al identificar problemas antes del paso final.

Habiendo resuelto las caídas de voltaje a través de C₁ y la combinación R//(L—C₂), volvemos a preguntar: ¿qué otros componentes comparten el mismo voltaje o corriente?

En este caso, el resistor (R) y la combinación del inductor y segundo capacitor (L—C₂) comparten el mismo voltaje, porque esos conjuntos de impedancias están en paralelo entre sí. Por tanto, podemos transferir la cifra de voltaje recién resuelta a las columnas para R y L—C₂:

 

 

 

Ahora estamos listos para calcular la corriente a través del resistor y la combinación serie L—C₂. Todo lo que necesitamos es aplicar la Ley de Ohm (I=E/Z) verticalmente en ambas columnas:

 

 

 

Otra verificación rápida: ¿las cifras de corriente para L—C₂ y R suman a la corriente total? Según la Ley de Corriente de Kirchhoff, deberían:

 

 

Como L y C₂ están conectados en serie, y conocemos la corriente a través de su impedancia de combinación serie, podemos distribuir esa cifra de corriente a las columnas de L y C₂ siguiendo la regla de circuitos serie donde componentes en serie comparten la misma corriente:

 

 

Con un último paso (en realidad, dos cálculos), podemos completar nuestra tabla de análisis para este circuito. Con cifras de impedancia y corriente en su lugar para L y C₂, todo lo que tenemos que hacer es aplicar la Ley de Ohm (E=IZ) verticalmente en esas dos columnas para calcular caídas de voltaje.

 

 

Ahora, recurramos a SPICE para una verificación por computadora de nuestro trabajo:

 

Ejemplo de circuito SPICE serie-paralelo R, L, C.

 

ac series-parallel r-l-c circuit
v1 1 0 ac 120 sin
vit 1 2 ac 0
vilc 3 4 ac 0
vir 3 6 ac 0
c1 2 3 4.7u
l 4 5 650m
c2 5 0 1.5u
r 6 0 470
.ac lin 1 60 60
.print ac v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit)
.print ac v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc)
.print ac v(5,0) vp(5,0) i(vilc) ip(vilc)
.print ac v(6,0) vp(6,0) i(vir) ip(vir)
.end

freq v(2,3) vp(2,3) i(vit) ip(vit) C1
6.000E+01 8.276E+01 -3.163E+01 1.466E-01 5.837E+01

freq v(4,5) vp(4,5) i(vilc) ip(vilc) L
6.000E+01 1.059E+01 -1.388E+02 4.323E-02 1.312E+02

freq v(5) vp(5) i(vilc) ip(vilc) C2
6.000E+01 7.645E+01 4.122E+01 4.323E-02 1.312E+02

freq v(6) vp(6) i(vir) ip(vir) R
6.000E+01 6.586E+01 4.122E+01 1.401E-01 4.122E+01

 

Cada línea de la salida SPICE da el voltaje, ángulo de fase de voltaje, corriente y ángulo de fase de corriente para C₁, L, C₂ y R, en ese orden. Como puede ver, estas cifras concuerdan con nuestras cifras calculadas a mano en la tabla de análisis del circuito.

Por desalentadora que pueda parecer la tarea de análisis de circuitos de CA serie-paralelo, debe enfatizarse que no hay nada realmente nuevo aquí además del uso de números complejos. La Ley de Ohm (en su nueva forma E=IZ) sigue siendo verdadera, al igual que las Leyes de Voltaje y Corriente de Kirchhoff.

Aunque hay más potencial para error humano al realizar los cálculos complejos necesarios, los principios y técnicas básicos de reducción de circuitos serie-paralelo son exactamente los mismos.

 

REPASO:

• El análisis de circuitos de CA serie-paralelo es muy similar al de CC serie-paralelo. La única diferencia sustantiva es que todas las cifras y cálculos están en forma compleja (no escalar).
• Es importante recordar que antes de que la reducción serie-paralelo (simplificación) pueda comenzar, debe determinar la impedancia (Z) de cada resistor, inductor y capacitor. Así, todos los valores de componentes se expresarán en términos comunes (Z) en lugar de una mezcla incompatible de resistencia (R), inductancia (L) y capacitancia (C).

HOJA DE TRABAJO RELACIONADA:

• Hoja de trabajo de circuitos de CA combinados serie-paralelo