Exploración de efectos de fase geométrica en resonadores de nanohilos basados en nanotubos de carbono

Resumen

La fase geométrica es una evolución de fase adicional en la función de onda de vibraciones potencialmente aplicable en amplia gama de ciencia y tecnología. Se han investigado las características de la fase geométrica en el estado comprimido para un resonador de nanohilo basado en nanotubos de carbono mediante el método del operador invariante. La introducción de un operador invariante lineal, útil para tratar un sistema hamiltoniano complicado dependiente del tiempo, permitió derivar la fórmula analítica de la fase geométrica. Utilizando esto, analizamos el comportamiento temporal de la fase geométrica basándonos en ilustraciones relevantes. Se investigó la influencia de parámetros de compresión en la evolución de la fase geométrica. La fase geométrica, en gran medida, oscila, y el envoltorio de tal oscilación aumenta con el tiempo. La tasa de aumento de la fase geométrica es grande cuando parámetros como la amplitud clásica de oscilación, el factor de amortiguamiento y la amplitud de la fuerza impulsora son grandes. Confirmamos un aumento muy pronunciado de la fase geométrica con el tiempo cuando la frecuencia angular del sistema se acerca a la frecuencia angular de resonancia. Nuestro desarrollo sobre las características de la fase geométrica es crucial para comprender los rasgos topológicos en oscilaciones de nanohilos.

Introducción

Las vibraciones mecánicas de los resonadores más pequeños, como nanohilos basados en nanotubos de carbono (CNT) [1-3], nanohilos semiconductores [4], grafeno [5] y partículas levitadas [6], han sido tema principal de investigación en nanociencia por más de una década. Investigaciones activas sobre oscilaciones electromecánicas de resonadores de nanohilos impulsados por fuerza periódica externa se han realizado en esferas teóricas y experimentales. En particular, los resonadores de nanohilos basados en CNT han atraído interés considerable como dispositivos mecánicos a nanoescala debido a sus sensibilidades extraordinarias con factores de calidad altos ante pequeñas perturbaciones del entorno. Los resonadores de nanohilos basados en CNT suspendidos son candidatos prometedores para aparatos que miden amplia gama de magnitudes físicas, como ondas EM [2], fuerzas pequeñas [7], masas [8], temperaturas [9] y ruidos [10].

Los análisis de la evolución de fase cuántica en oscilaciones de nanohilos son necesarios para elucidar características subyacentes del sistema teóricamente. Respecto a estados vibracionales cuánticos de resonadores de nanohilos basados en CNT [11], la fase geométrica [12] así como la fase dinámica usual emergen como evolución suplementaria de la fase. La fase geométrica [12] es un anholonómico de un estado cuántico aplicable en diversos campos de la física. Los análisis de la fase geométrica pueden adoptarse potencialmente en caracterizar propiedades nano de nanohilos, como perfiles de resonancia [13, 14], vibraciones cuánticas fuertes [15, 16], mecanismos de relajación de deformación [17, 18], emergencia de magnetoplasmones de Dirac [19] y topología de oscilaciones Aharonov-Bohm [20].

El estudio de la fase geométrica asociada con dinámica no adiabática puede proporcionar una visión para sistemas nanomecánicos, necesaria para el avance de técnicas de simulación precisas [21]. La preparación, manipulación y detección de estados cuánticos son factores importantes en tecnologías cuánticas. El objetivo de la presente investigación es arrojar luz sobre comportamientos temporales de la fase geométrica que ocurre en estados cuánticos de oscilaciones de nanohilos. Para entender el mecanismo de vibraciones de nanohilos basados en CNT, investigaremos la evolución temporal de la fase geométrica en el estado comprimido, que es un estado cuántico similar al clásico como el estado coherente. El mérito del estado comprimido es que la incertidumbre de un cuadratura en ese estado puede reducirse sustancialmente a expensas de aumentar la incertidumbre de la otra cuadratura, mientras tal modulación de incertidumbre es imposible en el estado coherente. En particular, analizaremos los efectos de resonancia en la fase geométrica. Dado que la energía resonante es significativamente diferente de la energía del estado no resonante [22, 23], el comportamiento topológico de la función de onda es no trivial y puede desviarse considerablemente del de situaciones normales. La influencia del cambio de parámetros físicos y parámetros de compresión en la evolución de la fase geométrica también se analizará rigurosamente. Las fases geométricas son ubicuas en sistemas dinámicos [24] y pueden aplicarse a diversas tecnologías modernas, como computación cuántica [25], interferometrías de intensidad [26], multitarea fotónica [27], protocolos de sensado cuántico [28] y mediciones de estabilidad de onda [29].

El hamiltoniano del sistema involucra funciones de tiempo asociadas con el amortiguamiento del sistema y la fuerza impulsora externa. Por tanto, el sistema es un tipo de sistemas hamiltonianos dependientes del tiempo (TDHS) cuyos problemas mecánico-cuánticos se han estudiado extensamente hasta recientemente. La función de tiempo en el hamiltoniano de un TDHS no puede separarse de la función de variables canónicas en la mayoría de casos, volviendo inutilizable el método convencional de separación de variables para resolver la ecuación de Schrödinger. Un método alternativo poderoso desarrollado para superar esta dificultad es el método del operador invariante introducido por Lewis y Riesenfeld [30, 31]. Este método es una herramienta matemática muy útil cuando derivamos soluciones cuánticas de un TDHS. Muchos problemas mecánico-cuánticos descritos por TDHS se investigan basándose en este método. Por ejemplo, incluyen dispersión caótica de partículas [32], propagación de luz en medios variables en tiempo [33], control de electrones atrapados impulsados [34] y no classicidad de circuitos nanoelectrónicos cuánticos [35]. Existe una variedad de otros métodos para tratamientos mecánico-cuánticos de TDHS, que incluyen método de transformación unitaria [36], método algebraico de Lie [37] y método de estimación de hamiltoniano [38].

Dado que el sistema es un TDHS, usamos el método del operador invariante para obtener soluciones cuánticas del sistema. Se introducirá un operador invariante lineal representado en términos del operador de aniquilación. Mientras los operadores de aniquilación y creación se representan en términos de tiempo debido a la dependencia temporal del sistema, tanto los estados coherentes como comprimidos pueden obtenerse usando estos operadores escalera. La fase geométrica del sistema se evaluará analíticamente utilizando la función de onda en el estado comprimido. La evolución temporal de la fase geométrica se analizará en detalle basándose en sus ilustraciones representadas con diversas elecciones de parámetros.

Métodos

Para investigar la fase geométrica, primero necesitamos establecer la ecuación clásica de movimiento de la punta del nanohilo. Como la fase geométrica aparece en la evolución cuántica de la onda de un TDHS, es necesario derivar funciones de onda en un estado cuántico específico que manejemos. Consideraremos el estado comprimido como se mencionó en la parte introductoria. Las funciones de onda en los diversos estados cuánticos de un TDHS, incluyendo el estado comprimido, pueden obtenerse del método del operador invariante.

La ecuación de movimiento para la amplitud dependiente del tiempo x para un modo de flexión de un nanotubo de carbono suspendido con masa efectiva m está dada por [1]

$$ \ddot{x}+\left(\frac{\omega_{0}}{Q} +\eta x^{2}\right) \dot{x}+\left(\omega_{0}^{2}+\beta x^{2}\right) x = f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t), $$ (1)

donde ω₀ es la frecuencia angular de resonancia, Q el factor de calidad, f_d la fuerza impulsora electrostática dividida por m, η el coeficiente de amortiguamiento no lineal, y β el parámetro de Duffing. Asumamos por conveniencia que el desplazamiento de la punta es lo suficientemente pequeño relativo a la longitud del nanohilo CNT. Entonces, podemos despreciar los términos no lineales en la Ec. (1), llevando a [2]

$$ \ddot{x}+\frac{\omega_{0}}{Q} \dot{x}+\omega_{0}^{2} x = f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t). $$ (2)
El hamiltoniano del sistema que produce la Ec. (2) es dado por
$$ \hat{H}= e^{-\gamma t} \frac{\hat{p}^{2}}{2m} +\frac{1}{2}me^{\gamma t} \left[\omega_{0}^{2} \hat{x}^{2} - 2f_{\mathrm{d}}\cos (\omega t)\hat{x}\right], $$ (3)
donde γ=ω₀/Q. La solución clásica de la Ec. (2) se compone de una función complementaria X_c(t) y una solución particular X_p(t), dadas por
$$\begin{array}{@{}rcl@{}} & &X_{c}(t)=X_{c,0}e^{-\gamma t/2}\cos(\Omega t+\varphi), \end{array} $$ (4) $$\begin{array}{@{}rcl@{}} & &X_{p}(t) =X_{p,0}\cos (\omega t - \delta), \end{array} $$ (5)
donde X_c,0 es una constante, $\Omega = \sqrt {\omega _{0}^{2} - \gamma ^{2}/4}$, φ es una fase arbitraria, y
$$\begin{array}{@{}rcl@{}} X_{p,0}&=&\frac{f_{\mathrm{d}}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2} -\omega^{2}\right)^{2} + \gamma^{2} \omega^{2}}}, \end{array} $$ (6) $$\begin{array}{@{}rcl@{}} \delta &=& \tan^{-1} \frac{\gamma \omega}{ \omega_{0}^{2} -\omega^{2}}. \end{array} $$ (7)
La solución clásica en el espacio de momento se da de forma similar, donde la función complementaria es $P_{c} (t) = m e^{\gamma t} \dot {X}_{c}(t)$ y la solución particular es $P_{p} (t) = m e^{\gamma t} \dot {X}_{p}(t)$. Para investigar la fase geométrica del sistema, primero necesitamos derivar soluciones cuánticas. Observemos que el hamiltoniano del sistema dado en la Ec. (3) es explícitamente dependiente del tiempo. Para derivar soluciones cuánticas del sistema, usamos el método del operador invariante [30, 31], útil cuando tratamos tal sistema variable en el tiempo. Un operador invariante $\hat {I}$ del sistema puede derivarse de la ecuación de Liouville-von Neumann, dada por ${d \hat {I}}/{d t} = {\partial \hat {I}}/{\partial t} + \left [\hat {I},\hat {H}\right ]/\left (i\hbar \right) = 0$. Por tanto, de una evaluación rigurosa tras insertar la Ec. (3) en esta ecuación, tenemos un operador invariante lineal [34] de la forma
$$ \hat{I} = \hat{A} e^{i\Omega t}, $$ (8)
donde $\hat {A}$ es el operador de aniquilación dado por
$$ \begin{aligned} \hat{A} =& \left(2\hbar m\Omega\right)^{-1/2} \left[ m \left(\Omega+ i\frac{\gamma}{2} \right) e^{\gamma t/2}\left[\hat{x}-X_{p}(t)\right]\right.\\ & \left.+ie^{-\gamma t/2} \left[\hat{p}-P_{p}(t)\right]\! {\vphantom{\left(\Omega+ i\frac{\gamma}{2} \right)}}\right]. \end{aligned} $$ (9)
El adjunto hermítico de la Ec. (9), $\hat {A}^{\dagger }$, es el operador de creación.
Podemos expresar la ecuación de autovalores de $\hat {A}$ como
$$ \hat{A} |A \rangle = A |A \rangle. $$ (10)
Al evaluar la ecuación anterior, tenemos la expresión del autovalor tal que
$$ A(t) = A(0) e^{-i\Omega t}, $$ (11)
donde A(0)=A₀e^−iφ con
$$ A_{0} = \left[m\Omega/(2\hbar)\right]^{1/2}X_{c,0}. $$ (12)
Mientras el estado coherente |A〉 es el autoestado de $\hat {A}$, el estado comprimido es el autoestado de un operador $\hat {B}$ dado por
$$ \hat{B} = \mu \hat{A} + \nu \hat{A}^{\dagger}, $$ (13)
donde μ y ν son variables complejas que satisfacen la ecuación
$$ |\mu|^{2} - |\nu|^{2} =1. $$ (14)
Si escribimos la ecuación de autovalores de $\hat {B}$ en la forma
$$ \hat{B} |B \rangle = B |B \rangle, $$ (15)
|B〉 es el estado comprimido. Al resolver esta ecuación en el espacio de configuración, tenemos
$$ {\begin{aligned} \langle {x}|B\rangle =&^{4}\!\!\!\sqrt{\frac{m \Omega e^{\gamma t}}{\hbar\pi(\mu-\nu)(\mu^{*}-\nu^{*})}} \exp \left\{- \frac{1}{\hbar (\mu-\nu)} \left[\frac{1}{2} m e^{\gamma t}\left({\vphantom{\frac{1}{2}}}(\mu+\nu)\Omega \right.\right.\right.\\ & \left. +\frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu)\right)\left[x-X_{p}(t)\right]^{2} -[iP_{p}(t)(\mu-\nu)+ \left(2\hbar m \Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \\ & \left. \left.\times(\mu A+\nu A^{*}) ]\left[x-X_{p}(t)\right] {\vphantom{\frac{1}{2} m e^{\gamma t}}}\right]-\frac{|A|^{2}+A^{2}}{2(\mu-\nu)(\mu^{*}-\nu^{*})} \right\}. \end{aligned}} $$ (16)
Así, la función de onda en el estado comprimido ha sido derivada como se da en la Ec. (16). Las características cuánticas del sistema pueden aclararse basándose en tal descripción analítica de la función de onda. Para μ=1 y ν=0, la Ec. (16) se reduce a la función de onda en el estado coherente, que es el autoestado de la Ec. (10) en el espacio de configuración. La función de onda, Ec. (16), se usará en la siguiente sección para derivar la fase geométrica en el estado comprimido.
Resultados y Discusión
Es bien sabido que la fase en la evolución cuántica de la onda involucra la fase geométrica así como la fase dinámica. La fase geométrica fue descubierta primero por Berry en 1984 [12] para un sistema que evoluciona cíclicamente con cambio adiabático. Según el teorema adiabático en mecánica cuántica, un autoestado instantáneo de un estado cuántico en una evolución cíclica en el espacio de parámetros permanecerá en el mismo estado después, mientras hay una acumulación adicional de la fase cuántica que es la fase de Berry. Una generalización de la fase de Berry de modo que incluya evolución no adiabática, no cíclica y/o no unitaria del sistema cuántico es la fase geométrica.
La fase geométrica en el estado comprimido está dada por
$$ \gamma_{G}(t) = \int_{0}^{t} \langle B(t') |i\frac{\partial}{\partial t'}| B(t') \rangle dt' +\gamma_{G}(0). $$ (17)
La diferenciación de la función de onda respecto al tiempo en el espacio de configuración se convierte en
$$ \frac{\partial \langle {x}|B\rangle}{\partial t} \,=\, \left\{ f_{1}(t) \!\left[x-X_{p}(t)\right]^{2}\,+\,f_{2}(t) \left[x\,-\,X_{p}(t)\right]\,+\,f_{3}(t) \right\}\! \!\langle {x}|B\rangle, $$ (18)
donde
$$ f_{1}(t) = - \frac{m\gamma e^{\gamma t}}{2\hbar (\mu-\nu)} \left((\mu+\nu)\Omega + \frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu) \right), $$ (19) $$ {\begin{aligned} f_{2}(t) &= \frac{1}{\hbar (\mu-\nu)}\left[ \left((\mu+\nu)\Omega + \frac{i\gamma}{2}(\mu-\nu) \right) P_{p}(t) -i m e^{\gamma t} \right.\\ & \quad\times\left[\omega_{0}^{2} X_{p}(t) - f_{\mathrm{d}} \cos(\omega t)\right](\mu-\nu) +\left(2\hbar m \Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \\ & \quad \left.\times\left(\frac{\gamma}{2}\left(\mu A + \nu A^{*}\right)-i\Omega \left(\mu A - \nu A^{*}\right) \right) \right], \\ \end{aligned}} $$ (20) $$ {\begin{aligned} f_{3}(t) &\!= \frac{\gamma}{4}-\frac{1}{\hbar m e^{\gamma t}(\mu-\nu)} \left[iP_{p}(t)(\mu-\nu) + \left(2\hbar m\Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2} \right.\\ & \quad\left.\times\left(\mu A+\nu A^{*}\right){\vphantom{\left(2\hbar m\Omega e^{\gamma t}\right)^{1/2}}}\right] P_{p}(t)+ \frac{i\Omega A^{2}}{(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}. \end{aligned}} $$ (21)
Una evaluación adicional tras insertar la Ec. (18) en la Ec. (17) da
$$ {\begin{aligned} \gamma_{G}(t) =& \int_{0}^{t} dt' \left[ A_{0}^{2}\left(\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega + g_{1} \sin\left[2\left(\Omega t'+\varphi\right)\right] +g_{2} \cos\left[2\left(\Omega t'+\varphi\right)\right] \right) \right.\\ &\left.-A_{0}\left[ g_{3}(t') \sin\left(\Omega t'+\varphi\right) +g_{4}(t') \cos\left(\Omega t'+\varphi\right) \right]+ g_{5}(t') {\vphantom{\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}}}\right] +\gamma_{G}(0), \end{aligned}} $$ (22)
donde
$$\begin{array}{*{20}l} g_{1}~ &= \frac{\gamma}{2} + \frac{i\Omega \left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right)}{(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}, \end{array} $$ (23) $$\begin{array}{*{20}l} g_{2}~ &= \frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega\frac{2|\nu|^{2}- \left(\mu\nu^{*}+\mu^{*}\nu\right)}{(\mu-\nu) \left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)}, \end{array} $$ (24) $$\begin{array}{*{20}l} g_{3}(t) &= \left(\frac{2\Omega}{m\hbar e^{\gamma t}} \right)^{1/2}P_{p}(t), \end{array} $$ (25) $$ {\begin{aligned} g_{4}(t) = \frac{1}{\sqrt{2\hbar\Omega}}\left(\frac{\gamma }{\sqrt{m e^{\gamma t}}}P_{p}(t) - 2\sqrt{m e^{\gamma t}}\left[\omega_{0}^{2} X_{p}(t) - f_{\mathrm{d}} \cos(\omega t)\right]\right), \end{aligned}} $$ (26) $$ {\begin{aligned} g_{5}(t) &= \frac{P_{p}^{2}(t)}{\hbar m e^{\gamma t}}+\frac{\gamma^{2}}{8\Omega}\left[2|\nu|^{2}-\left(\mu\nu+\mu^{*}\nu^{*}\right)+1\right] \\ & \quad +\frac{i\gamma}{4(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)} \left[|\mu|^{2}\left(\nu^{2}-\nu^{*2}\right)-|\nu|^{2}\left(\mu^{2}-\mu^{*2}\right)\right.\\ & \quad\left.+ (2|\nu|^{2}+1)\left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right) +(\mu-\mu^{*})(\nu-\nu^{*})\right]. \end{aligned}} $$ (27)
El último término en g₅ que contiene (μ−μ^∗)(ν−ν^∗) es inadecuado como fase porque es un número puramente imaginario. Por tanto, ahora eliminamos este término eligiendo al menos uno de μ y ν como valor real. Este remedio siempre puede hacerse sin pérdida de generalidad, porque solo la fase relativa entre μ y ν tiene significado físico en lugar de sus fases absolutas.
De la ejecución de la integración en la Ec. (22), tenemos
$$ {\begin{aligned} \gamma_{G}(t) &= A_{0}^{2}\left[\left(\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}+\Omega\right)t + \frac{g_{1}}{\Omega}\sin(\Omega t+2\varphi) \sin(\Omega t) +\frac{g_{2}}{\Omega} \cos(\Omega t+2\varphi) \right.\\ & \quad\left.\times\sin(\Omega t) {\vphantom{\frac{\gamma^{2}}{4\Omega}}}\right]\!-A_{0}\left[ \left(\frac{2m\Omega}{\hbar} \right)^{1/2}\omega X_{p,0} \bar{g}_{3}(t) +\sqrt{\frac{2m}{\hbar\Omega}}\frac{1}{4\omega^{2}+\gamma^{2}}\bar{g}_{4}(t) \right]\\ &\quad+ \bar{g}_{5}(t) +\gamma_{G}(0), \end{aligned}} $$ (28)
donde $\bar {g}_{i}(t)~(i=3,4,5)$ están dadas por
$$ \bar{g}_{i}(t) = G_{i}(t) -G_{i}(0), $$ (29)
con
$$ {\begin{aligned} G_{3}(\tau) &= e^{\gamma \tau/2}\left(\frac{1}{4(\Omega+\omega)^{2}+\gamma^{2}} \left\{2(\Omega+\omega)\sin[(\Omega+\omega)\tau+\varphi-\delta] \right.\right.\\ & \quad\left.+\gamma \cos[(\Omega+\omega)\tau+\varphi-\delta] \right\}- \frac{1}{4(\Omega-\omega)^{2}+\gamma^{2}} \{ 2(\Omega-\omega) \\ & \quad\left.\left.\times\sin[(\Omega-\omega)\tau\,+\,\varphi\,+\,\delta]\!+\gamma \cos[(\Omega-\omega)\tau\,+\,\varphi\,+\,\delta]\right\} {\vphantom{\frac{1}{4(\Omega+\omega)^{2}+\gamma^{2}}}}\right),\\ \end{aligned}} $$ (30) $$ {\begin{aligned} G_{4}(\tau) &= e^{\gamma \tau/2} \left\{X_{p,0} \left\{ \gamma\omega[ 2\omega\cos(\omega \tau-\delta)-\gamma \sin(\omega \tau-\delta)] -2\omega_{0}^{2} \right.\right.\\ &\quad\left.\times[2\omega\sin(\omega \tau-\delta)+\gamma \cos(\omega \tau-\delta)] {\vphantom{X_{p,0}}}\right\}+2f_{\mathrm{d}} [ 2\omega\sin(\omega \tau) \\ & \left.\left.\quad+\gamma \cos(\omega \tau)\right]{\vphantom{X_{p,0}}}\right\}, \\ \end{aligned}} $$ (31) $$ {\begin{aligned} G_{5}(\tau) &= \frac{m\omega^{2}}{2\hbar}X_{p,0}^{2} \frac{e^{\gamma \tau}}{\gamma \left(4\omega^{2}+\gamma^{2}\right)} \left\{ \gamma^{2}+4\omega^{2} -\gamma^{2} \cos[2(\omega\tau -\delta)]\right.\\ & \quad\left.-2\gamma\omega \sin[2(\omega \tau -\delta)] {\vphantom{\gamma^{2}+4\omega^{2} -\gamma^{2}}}\right\} +\frac{\gamma^{2} \tau}{8\Omega}\left[2|\nu|^{2}-\left(\mu\nu+\mu^{*}\nu^{*}\right)+1\right] \\ & \quad+\frac{i\gamma \tau}{4(\mu-\nu)\left(\mu^{*}-\nu^{*}\right)} \left[|\mu|^{2}\left(\nu^{2}-\nu^{*2}\right)-|\nu|^{2}\left(\mu^{2}-\mu^{*2}\right)\right.\\ & \quad\left.+\left(2|\nu|^{2}+1\right)\left(\mu\nu^{*}-\mu^{*}\nu\right)\right]. \end{aligned}} $$ (32)
Así, hemos evaluado la fase geométrica completa en el estado comprimido, dada por la Ec. (28) con Ecs. (23), (24) y (29)–(32).
La evolución temporal de la fase geométrica se ha ilustrado en Figs. 1, 2, 3 y 4. De la Fig. 1, vemos que la fase geométrica oscila y el envoltorio de tal oscilación aumenta con el tiempo. El aumento del envoltorio es mayor cuando A₀ es grande. El patrón de oscilación se vuelve gradualmente irregular a medida que aumentan los valores de μ y ν. Además, la amplitud de la oscilación se hace grande a medida que pasa el tiempo.
Evolución temporal de la fase geométrica para varios valores de A₀. Los valores de (μ, ν) usados en los gráficos son (1, 0) para a, ($\sqrt {2}$, 1) para b, y ($\sqrt {3}$, $\sqrt {2}$) para c. Hemos usado m=1, ω₀=1, ω=5, γ=0,35, f_d=1, $\hbar =1$, φ=0, y γ_G(0)=0. La fase y todos los parámetros se toman adimensionales por conveniencia, y esta convención también se aplicará a las figuras subsiguientes. Porque A₀ se da en términos de la amplitud clásica X_c,0 de la función complementaria [ver Ec. (12)], podemos confirmar desde los gráficos que la fase geométrica es grande cuando la amplitud de oscilación es alta. También vemos que la fluctuación de γ_G(t) se hace grande a medida que aumentan los valores μ y ν bajo la condición dada en la Ec. (14)

Evolución temporal de la fase geométrica para varios valores de γ. El valor de ω usado en los gráficos es 0,3 para a, 0,99 para b, y 5 para c. Los parámetros de compresión elegidos aquí son $\mu =\sqrt {2}$ y ν=1; esta elección da estado q-comprimido en tiempo inicial. Otras cantidades que hemos usado son m=1, ω₀=1, A₀=1, f_d=1, $\hbar =1$, φ=0, y γ_G(0)=0. Confirmamos que la fase geométrica es grande cuando el factor de amortiguamiento γ es grande en la mayoría de casos, pero no todos. La frecuencia del caso b está cerca de la frecuencia resonante, mientras que las de a y c están lejos de la resonante. La fase geométrica para el caso resonante (b) aumenta muy rápidamente con el tiempo

a–c Este gráfico es el mismo que la Fig. 2, pero para el caso que los parámetros de compresión elegidos son $\mu =\sqrt {2}$ y ν=−1 que dan un estado p-comprimido en tiempo inicial. Del hecho que los gráficos globales en este caso no son tan diferentes de los correspondientes de la Fig. 2, podemos confirmar que la evolución de γ_G(t) es casi irrelevante a los tipos de compresión siempre que los valores absolutos de μ y ν no cambien

Evolución temporal de la fase geométrica para varios valores de f_d. El valor de ω usado en los gráficos es 0,3 para a y 5 para b. Hemos usado $\mu =\sqrt {2}$, ν=1, m=1, ω₀=1, γ=0,3, A₀=1, $\hbar =1$, φ=0, y γ_G(0)=0. A medida que la amplitud (f_d) de la fuerza impulsora aumenta, la fase geométrica se hace grande
Los efectos de compresión en el estado comprimido dependiendo del parámetro de compresión c donde c=μ/ν se han investigado en ref. [39]. Según el análisis dado en ref. [39] (ver Fig. 1(a) en ref. [39]), el estado comprimido ilustrado en la Fig. 2, que corresponde a $c=\sqrt {2}$, es el estado q-comprimido en tiempo inicial, mientras que el de la Fig. 3, que corresponde a $c=-\sqrt {2}$, es el estado p-comprimido en la misma situación. Al comparar las Figs. 2 y 3 entre sí, podemos concluir que la fase geométrica en el estado q-comprimido es casi la misma que en el estado p-comprimido.
Los efectos de γ en la evolución de la fase geométrica pueden confirmarse en las Figs. 2 y 3. La fase geométrica aumenta más rápidamente cuando γ es grande. Al comparar Figs. 2a y 3a con Figs. 2c y 3c, podemos confirmar que la fase geométrica varía algo rápidamente cuando ω es mayor que la frecuencia angular de resonancia.
El comportamiento temporal de la fase geométrica en o cerca del estado resonante del sistema puede ser de gran interés [22, 23]. Las Figs. 2b y 3b muestran que la fase geométrica aumenta muy rápidamente cuando ω está cerca de la frecuencia angular de resonancia. Esto significa que la función de onda en esta situación varía significativamente con el tiempo, porque la magnitud de la fase geométrica está relacionada con la variación temporal de la función de onda. De hecho, la amplitud de la oscilación del nanohilo aumenta notablemente en el estado de resonancia. Por cierto, las frecuencias angulares de resonancia de resonadores de nanohilos basados en CNT suspendidos no solo son altas sino también ampliamente ajustables con factores de calidad muy altos [3]. Por esta razón, los modos vibracionales del sistema se mantendrán por mucho tiempo hasta que se amortigüen completamente [11].
La Fig. 4 muestra que la fase geométrica también se ve afectada por la amplitud de la fuerza impulsora f_d. A medida que f_d aumenta, el incremento de la fase geométrica en el tiempo es rápido.
Conclusión
Hemos investigado la fase geométrica en el estado comprimido para el sistema basándonos en dinámica cuántica con la ecuación de Schrödinger. Respecto a la dependencia temporal del hamiltoniano que describe el sistema, se ha introducido el método del operador invariante, que es una herramienta potencial para derivar soluciones cuánticas en el caso donde el hamiltoniano se describe en términos de tiempo. Mediante este método, se ha obtenido la fórmula analítica de la fase geométrica para la oscilación de nanohilos basados en CNT.
Un análisis detallado de los efectos de fase, necesario para una comprensión teórica de las vibraciones mecánicas, se ha llevado a cabo. Nuestro desarrollo de la fase geométrica es completamente basado en cuántica con evaluaciones matemáticas rigurosas. La fase geométrica es sensible al cambio de parámetros mecánicos y exhibe oscilación en gran número de casos. La influencia de los parámetros de compresión en la evolución de la fase geométrica también se ha analizado. Hemos confirmado un fuerte aumento de la acumulación de fase geométrica con el tiempo cerca de la frecuencia angular de resonancia.
Nuestros resultados ilustran el comportamiento temporal de la fase geométrica que aparece en la vibración de un nanohilo basado en CNT. El análisis de la fase geométrica dado en este trabajo es importante para entender no solo rasgos topológicos del sistema sino vibraciones dinámicas de otros osciladores mecánicos basados en nanohilos. En particular, hemos desarrollado propiedades de fase del estado resonante, cuya clarificación es necesaria en la aplicación del sistema en tecnologías de información cuántica e industrias basadas en cuántica [40]. El método y marco similar usado en esta investigación también pueden extenderse a otros sistemas nano, como resonadores Fabry-Perot superconductores [41], nanocantilevers [42] y sistemas híbridos qubit-resonador-átomo [43].
Abreviaturas
CNT:
Nanotubo de carbono
Ondas EM:
Ondas electromagnéticas
TDHS:
Sistema hamiltoniano dependiente del tiempo

Crecimiento directo sin catalizador de nanohilos de GaN de alta calidad sobre sílice fundida recubierta con óxido de indio y estaño mediante MBE asistida por plasma FETs de 2 nm fuente-drenaje: Diseño de canal en U con puerta rectangular de alto rendimiento

Nanomateriales

Metal

Resina

fibra

Material compuesto

Nanomateriales

Materiales poliméricos

Biologicos

Teñir

Especias

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