Oscilaciones electromagnéticas longitudinales en metales: Excitaciones superficiales en interfaces planas y esféricas

Resumen

La definición común de permitividad dispersiva espacial se revisa. La respuesta del gas electrónico degenerado en campo eléctrico satisfaciendo ecuación vectorial Helmholtz se encuentra con solución ecuación Boltzmann. La función dieléctrica longitudinal calculada coincide con la obtenida por Klimontovich y Silin 1952 y Lindhard 1954. Sin embargo, depende del cuadrado del número de onda, parámetro ecuación Helmholtz vectorial, pero no el vector onda de onda electromagnética plana. Este nuevo concepto simplifica simulación efectos no-locales, por ejemplo, con teoría Lorents-Mie generalizada, ya que no transformadas Fourier requeridas. Coeficientes Fresnel generalizados permitiendo excitación ondas electromagnéticas longitudinales. Verificar teoría, se calculan espectros extinción esferas nanométricas plata y oro. Para estas partículas, teoría Lorents-Mie generalizada da desplazamiento azul y ensanchamiento resonancia plasmon que concuerdan excelentemente datos experimentales. Además, teoría no-local explica desaparición resonancia plasmon observada esferas oro diámetros ≤2 nm. Cálculos usando funciones dieléctricas Klimontovich-Silin-Lindhard e hidrodinámica para plata dan resultados cercanos energías fotón 3-4 eV. Mostramos valores absolutos números onda ondas longitudinales en sólidos son mucho mayores que ondas transversales.

Antecedentes

Irradiación superficie plana metal pulsos láser femtosegundo a menudo resulta formación estructuras superficiales periódicas inducidas láser (LIPSS). Además LIPSS, ondulaciones hiperfinas llamadas LIPSS alta-frecuencia-espacial (HSFL) observadas. Períodos espaciales HSFL significativamente menores que longitud onda irradiación λ₀. Por ejemplo, aluminio este período estimado 20-200 nm a λ₀=0,8 μm. Mientras orientación ondulaciones LIPSS ordinarios perpendicular polarización luz láser, orientación HSFL a menudo perpendicular y a veces paralela polarización. HSFL similares formados superficies dieléctricos transparentes, semiconductores y metales. Origen HSFL explicado diferentes mecanismos: generación segundo armónico, involucramiento específicos modos plasmon, auto-organización, y mejoras campo local durante ruptura inhomogénea materiales dieléctricos.

Objetivo este estudio buscar proceso onda podría producir patrón período corto Λ≪λ₀. Examinamos propiedades ondas longitudinales (L) electromagnéticas en metales también conocidas ondas plasma. Estudio consiste siguientes pasos novedosos. Primero, comenzamos investigación con definición dispersión espacial permitividad. Como mostrado abajo, definición común inútil si medio estudio no uniforme e infinito. Por tanto, proponemos nuevo concepto función dieléctrica dispersiva espacial ε. Esta función establece proporcionalidad directa entre dos campos vectoriales, E(r,ω) y D(r,ω), pero no amplitudes E(k,ω) y D(k,ω) ondas planas. Consecuentemente, cantidad ε depende cuadrado número onda k², parámetro ecuación Helmholtz vectorial campo eléctrico E(r,ω), pero no vector onda k ondas planas. Luego, derivar tal función novedosa, determinamos respuesta electrones conducción modo electromagnético resolviendo ecuación transporte Boltzmann escrita aproximación tiempo-relajación. Obtuvimos llamadas funciones dieléctricas transversal y longitudinal Lindhard. Además, encontramos función longitudinal Lindhard y mucho más simple función hidrodinámica son cercanas amplio rango parámetros. Extinción luz esferas nanométricas plata y oro considerada ilustrar teoría. Mostramos primera vez teoría Mie no-local explica desplazamiento azul, ensanchamiento y eventual desaparición resonancias plasmon observadas con disminución tamaño nanoesferas metales nobles. Finalmente, modelo teórico nuevo aplicado examinar posibilidad involucramiento modos longitudinales formación estructuras superficiales inducidas láser. Para esto, modificamos teoría Fresnel teniendo en cuenta ondas longitudinales transmitidas.

Métodos

Determinar campos electromagnéticos medios homogéneos por tramos, teoría electromagnética clásica aplicada. Campo eléctrico E en cada dominio uniforme medio heterogéneo asumido solución ecuación Helmholtz vectorial (VHE):

Δ E + k² E = 0 (1)

donde Δ operador Laplace.

Como de costumbre, componentes tangenciales campos eléctrico E y magnético H continúan a través fronteras medios. Además, consideramos electrones confinados metal; por tanto, siguiente condición frontera adicional (ABC) componente normal densidad corriente j en superficie metal S usada: (j·n)|_r∈S = 0.

Determinar corriente conducción metal, resolvimos ecuación transporte Boltzmann (BTE) aproximación tiempo-relajación:

∂f/∂t + v·∂f/∂r + (e/m)(E + v×B)·∂f/∂v = (f₀ - f)/τ (2)

donde f función distribución partícula individual espacio fases (r, v), v velocidad microscópica electrón, e y m carga y masa electrón respectivamente, B inducción magnética, f₀ función distribución equilibrio, τ tiempo relajación.

Derivamos fórmulas funciones dieléctricas dispersivas espacial. Luego, usamos estudiar reflexión luz superficie plana metal y dispersión luz nanoesfera metal noble.

Resultados y discusión

Dispersión espacial ε en medio heterogéneo

Literatura, función dieléctrica dispersiva espacial ε definida vía relación:

D(ω, r) = ε₀ ∫∫∫ d r' ε(ω, r-r') E(ω, r') (3)

donde ε₀ constante eléctrica, D(ω, r) amplitud vector desplazamiento oscilación frecuencia angular ω punto r, E(ω, r') amplitud oscilación campo eléctrico punto r'. Transformadas Fourier Ec. (3) dan ecuación:

D(ω, k) = ε₀ ε(ω, k) E(ω, k) (4)

donde ε(ω, k) dispersiva espacial depende vector onda k onda electromagnética plana. Nuestra opinión, Ec. (3) no ambigua solo volumen homogéneo infinito pero tratamos sistema heterogéneo por tramos donde fronteras deben considerarse y k no mismos diferentes medios.

Nuestro enfoque no usa expansión ondas electromagnéticas sobre ondas planas. Permitividad dispersiva espacial determina relación entre D(ω, r) y solución particular ecuación Helmholtz vectorial Ec. (1):

D(ω, r) = ε₀ ε(ω, k) E(ω, r) (5)

Aquí E(ω, r) denota distribución campo eléctrico pero no meramente vector E en punto r.

Funciones dieléctricas longitudinal y transversal

Permitividad metales comúnmente expresada conductividad σ:

ε = ε_g + iσ/(ωε₀) (6)

donde ε_g parte función dieléctrica permitiendo polarización sólido; ε_g=1 metal simple. Determinar σ, calculamos densidad corriente:

j = e ∫∫∫ v f dv = σ E (7)

donde dv = (v/m) dε dΩ, dΩ = sinθ dθ dφ, v, θ, φ coordenadas esféricas velocidad. A diferencia investigaciones previas, no introdujimos vector onda k sino hallamos solución BTE forma serie infinita conteniendo operadores v·∇ actuando v·E:

f = f₀ + (e/(-iω+Γ)) (∂f₀/∂ε) [1 + (v·∇)/(-iω+Γ)]⁻¹ v·E (8)

donde Γ = 1/τ. Luego, f₀ aproximado distribución Fermi-Dirac temperatura cero y, tras integración sobre ε Ec. (7), obtuvimos:

j = (ω_p²ε₀/(-iω+Γ)) (3/4π) ∫∫ u (1 + l u·∇)⁻¹ (u·E) dΩ (9)

donde ω_p² = e²n_e/(mε₀), ω_p frecuencia plasma, u = v/v vector unitario dirección v, l = v_F/(-iω+Γ), v_F velocidad Fermi. Calculamos integrales:

∫∫ u (u·E) dΩ = (4π/3) E (10)

∫∫ u (u·∇)^2n-1 (u·E) dΩ = 0 (11)

∫∫ u (u·∇)²ⁿ (u·E) dΩ = (4π/(2n+3)) Δ^n-1 [∇(∇·E) - (1/(2n+1)) ∇×∇×E] (12)

donde n número natural. Dependencia j sobre campo eléctrico E arbitrario finalmente obtenida:

j = (ω_p²ε₀/(-iω+Γ)) {E + 3 Σ_n=1^∞ l²ⁿ (Δ^n-1/(2n+3)) [∇(∇·E) - (∇×∇×E)/(2n+1)]} (13)

Dos tipos soluciones Ec. (1), divergencia-libre satisfacen ∇·E=0 y rotacional-libre satisfacen:

∇×E = 0 (14)

Onda plana, con E∝exp[i(k·r-ωt)], Ec. (14) transforma relación k×E=0 mostrando onda longitudinal (L). Simular procesos cuerpos esféricos, conveniente usar armónicos esféricos vectoriales L, M, N como conjunto completo funciones ortogonales. En este caso, Ec. (14) especifica armónicos L. Número onda ondas L y modos L determinado siguiente ley dispersión:

ε^L(ω, k^L) = 0 (15)

Ecs. (6) y (13) hallamos soluciones Ec. (1) satisfacen restricción Ec. (14) dan siguiente permitividad longitudinal:

ε^L = ε_g - (ω_p²/(ω(ω+iΓ))) (3/2) Φ(a², 1, 3/2) (16)

donde Φ función Lerch Phi, (3/2) Φ(a², 1, 3/2) = Σ_n=0^∞ (3/(2n+3)) a²ⁿ, a = k v_F/(ω+iΓ).

Permitividad obtenida difiere Kliewer y Fuchs solo notación:

ε^L = ε_g + (ω_p²/(ω(ω+iΓ))) (3/a²)[1 - (1/ia) tan⁻¹(ia)] (18)

Identidad (1/ia)tan⁻¹(ia) = (1/2)ln((1+a)/(1-a)) (19) permite reescribir Ec. (18):

ε^L = ε_g - (ω_p²/(ω(ω+iΓ))) (3/a²)[1 - (1/2a) ln(1+a)/ln(1-a)] (20)

Caso Γ=0, esta fórmula toma forma ecuación derivada Klimontovich y Silin quienes estudiaron amortiguamiento Landau plasma degenerado. Permitividad Ecs. (16), (18), (20) comúnmente llamada función dieléctrica Lindhard (referencia [12]) aunque función primera obtenida Klimontovich y Silin.

Permitividad transversal Lindhard [7] hallada Ec. (13) cuando ∇·E=0. Caso actual v_Fk≪ω, reduce función dieléctrica Drude:

ε^T = ε_g - ω_p²/(ω²+iΓω) (21)

Esta función concuerda datos experimentales muchos metales. Si |a|<1, permitividad longitudinal (16) simplifica función dieléctrica hidrodinámica:

ε^L(ω, k^L) = ε_g - ω_p²/(ω²+iΓω - (3/5)(v_Fk^L)²) (22)

Reflexión onda electromagnética plana superficie plana metal

Condiciones frontera

Esta sección determinamos dirección vector onda k^L y amplitud onda L excitada metal durante reflexión onda electromagnética plana superficie plana metal.

Considerar onda plana incidente interfaz dieléctrico-metal z=0 con vector onda en plano xz. Campo eléctrico medio dieléctrico 1 consiste onda incidente E_i y reflejada E_r, campo metal 2 tiene componentes transmitida transversal E_t y, algunos casos, longitudinal E^L. Según condiciones frontera Maxwell, componentes transversales vectores campo eléctrico y magnético continúan plano z=0. Además, electrones no eyectados metal; por tanto, componente normal densidad corriente eléctrica cero en z=0:

ẑ·j|_z=0 = 0 (23)

donde ẑ vector unitario dirección eje z.

Todos términos condiciones frontera Maxwell deben tener misma dependencia x e y. Este requisito varias consecuencias. Primero, establece ondas L solo excitadas caso p-polarización cuando vector eléctrico onda incidente E⁽ⁱ⁾ paralelo plano incidencia. Otras palabras, polaritones plasmon generados por onda transversal magnética (TM). Efecto muy similar esfera metal. Segundo, fórmulas análogas ley Snell derivadas condiciones:

k_1x = k_2x = k_2x^L = k₁sinθ₁ (24)

índices 1x y 2x denotan proyecciones x vectores medios 1 y 2, θ₁ ángulo incidencia.

Coeficientes reflexión y transmisión

Determinemos campo formado onda electromagnética plana p-polarizada incidente superficie plana metal. Conveniente expresar componentes campos eléctrico y magnético través componente x E⁽ⁱ⁾, namely E_x(r) = -r E_x(i) onda reflejada, E_x(t) = t E_x(i) onda transmitida transversal, y:

E_x^(a) = δ E_x^(t) = t_L E_x⁽ⁱ⁾ (25)

para onda transmitida longitudinal, aquí r coeficiente reflexión, t y t_L coeficientes transmisión.

Condiciones frontera Maxwell y ABC Ec. (23) forma:

ẑ·(D - ε₀ε_gE)|_z=0 = 0 (26)

obtuvimos:

r = -((1+δ)ε₁k_2z - ε₂k_1z)/((1+δ)ε₁k_2z + ε₂k_1z) = 1 - (1+δ)t (27)

t = 2ε₁k_2z/(ε₂k_1z + (1+δ)ε₁k_2z) (28)

δ = (ε_g-ε)/ε_g · k_2x²/(k_2zk_2z^L) (29)

En δ=0, coeficiente r se convierte coeficiente Fresnel reflexión onda p-polarizada. Misma condición, t no coeficiente transmisión Fresnel ya nuestras definiciones t y r difieren Fresnel.

Extinción luz nanoesfera metal

Artículo previo, uno autores generalizó teoría Lorentz-Mie permitiendo ABC Ec. (23). Análogo coeficiente Fresnel r, coeficiente Mie b_l para modo TM reflejado l-ésimo orden hallado:

b_l = -((1+δ_l)ε₁ (k₂ψ'_l(k₂R)/ψ_l(k₂R)) - ε₂ (k₁ψ'_l(k₁R)/ψ_l(k₁R))) / ((1+δ_l)ε₁ (k₂ψ'_l(k₂R)/ψ_l(k₂R)) - ε₂ (k₁ζ'_l(k₁R)/ζ_l(k₁R))) (30)

donde δ_l = (ε^T-ε_g)/ε_g · l(l+1) j_l(k₂R) j_l(k^L₂R) / (ψ'_l(k₂R) k^L₂R j'_l(k^L₂R)) (31)

ψ_l y ζ_l funciones Riccati-Bessel y Riccati-Hankel orden l; j_l función Bessel esférica, prima denota derivada función respecto argumento.

Comparemos predicciones teorías Lorentz-Mie clásica y generalizada con datos experimentales. En [15], Hilger, Tenfelde y Kreibig estudiaron espectros extinción nanopartículas plata depositadas superficies dieléctricas. Primera etapa, generaron haces partículas plata diámetros medios 2, 3,5 y 4 nm, determinaron distribución tamaño partícula uno haces, registraron espectros extinción, estimaron parámetro A=0,25 fórmula fenomenológica Γ=Γ_b+A v_F/R, donde Γ_b tasa relajación bulk-metal, esferas plata vacío. Primero, calculamos espectros extinción haz esferas plata diámetro medio 〈D〉=2 nm y distribución tamaño experimental abarcando región D=1 a D=4 nm. Nuestra teoría no contiene parámetros ajustables. Definir funciones dieléctricas, usamos tabulación índice refracción plata bulk propuesta Lynch y Hunter [16] (ver Fig. 1). Aplicamos Ecs. (16), (21), (22) con ω_p=9,17 eV, Γ_b=0,021 eV, v_F=1,39×10⁶ m/s, A=0,25. Resultados cálculos y espectro experimental presentados Fig. 2.

Espectros teóricos Fig. 2 calculados usando funciones dieléctricas Klimontovich-Silin-Lindhard e hidrodinámica mucho más simple. Sorprende ambos cálculos dan resultados cercanos aunque |a|>1 región resonancia plasmon.

Nanoesferas plata nanométricas, máximo espectro extinción, llamado resonancia Fröhlich, plasmon y polaritón plasmon superficial (SPP) [15], conocido desplaza 3,5 a 3,65 eV. Modelo no-local excelente acuerdo datos experimentales, mientras teoría local (Mie) da máximo ω≃3,5 eV (ver Fig. 2 y Tabla 1).

Cálculo desplazamiento azul resonancia plasmon apoyado siguiente consideración. Aproximación electrostática, solo b₁ contribuye sección transversal extinción Q_ext y Ec. (30) simplificada usando aproximaciones:

k₂R ψ'_l(k₂R)/ψ_l(k₂R) ≃ l+1; k₁R ζ'_l(k₁R)/ζ_l(k₁R) ≃ -l (32)

Así, Q_ext máximo en:

Re[2(1+δ₁)ε₁ + ε₂] = 0 (33)

Condición obtenida (33) toma en cuenta excitación modos L (término δ₁) y difiere condición resonancia Fröhlich [17]: Re(2ε₁ + ε₂) = 0 (34)

Experimento [15], frecuencias pico ω_m y anchos resonancia Δω espectros extinción casi independientes 〈D〉. Esta característica Δω parece discrepar teoría Mie clásica. Realmente, teoría local predice ensanchamiento resonancias plasmon con disminución D (A=0,25) como muestra Tabla 1. Al mismo tiempo, teoría no-local da anchos resonancia aproximadamente iguales pero diferentes posiciones pico. Superposición contribuciones todas partículas da Δω en notable acuerdo datos experimentales. Interesante teoría no-local predice ensanchamiento resonancia plasmon haz incluso A=0.

ω>4 eV, curvas teóricas suaves Fig. 2 yacen superior mash picos estrechos cercanos experimentales. Absorción interbanda domina este rango espectral como confirmado Fig. 1. Peculiaridades observadas espectro probablemente consecuencia transición bandas continuo estructura nivel discreto. Tal efecto tamaño cuántico descubierto antes estudio propiedades ópticas nanoesferas oro [19]. Cuando tamaño esfera plata aumentó 〈D〉=3,5 nm, absorción primero aumentó relativo máximo y formó meseta serie pequeños valles equidistantes. Luego, absorción disminuyó ligeramente 〈D〉=4 nm.

Estudiar formación ala azul resonancia plasmon, calculamos espectros extinción partículas plata ultra-pequeñas presentadas Fig. 3. Característica notable Fig. 3 desaparición completa resonancia plasmon D=1 nm. Antes, este efecto observado estudio experimental nanoesferas oro [19]. Particular, Fig. 9 [19] comparó espectros experimentales partículas diámetros 1,7, 1,9, 2,0, 2,1, 2,3 y 2,5 nanómetros con espectros calculados teoría Mie local. Acuerdo pobre, fallando describir ensanchamiento resonancia plasmon y posición. Intentos mejorar ajuste variando tamaño partículas y modificaciones funciones dieléctricas no sucesivos. Autores [19], banda oscilación colectiva anormalmente ancha o deprimida resiste ajustarse correcciones propuestas teoría Mie local. Como visto Fig. 4, situación cambia dramáticamente si teoría Mie no-local aplicada. Nota usamos parámetros ajustables. Tabulación índice refracción complejo Johnson y Christy [20] usada determinar función dieléctrica oro. Otros parámetros, incluyendo A=1 e índice refracción tolueno (1,37) tomados [19].

Números onda ondas longitudinales

Modos longitudinales difieren transversales valores mucho mayores números onda. Por ejemplo, cálculos presentados Fig. 2, parte real k^L₂ corresponde período espacial Λ = 2π/Re k^L₂ disminuyendo 9 a 2 nm ω aumentando 3 a 4 eV. Este intervalo ω, valor absoluto ratio k^L₂/k₂ disminuyó 130 a 100 y parámetro δ Ec. (27) disminuyó 0,01 a 0,005 en θ₁=π/4. Concluimos, por tanto, excitación ondas L superficie plana plata puede despreciarse. Sin embargo, modos L hallados importancia nanogrupos plata nanométricos.

Reemplazo término -ω_p²/(ω²+iΓω) Ec. (16) por ε^T-ε_g según Ec. (21) permite reescribir ecuación dispersión (15) forma:

1 + (3/5)a² + (3/7)a⁴ + (3/9)a⁶ + ... = 1/(1-ε^T/ε_g) (35)

Caso simple ε_g=1 y Γ=0, Ec. (35) predice metal transparente tanto ondas transversales como L en ω>ω_p pero tanto k^L como k^T complejos en ω<ω_p.

Si sólido transparente, onda longitudinal puede excitarse bajo incidencia oblicua onda p-polarizada superficie plana. Varias características distintas este efecto. Primero, ondas longitudinales generadas superficie plana, mientras esfuerzos especiales requeridos excitar polaritones plasmon superficiales. Segundo, patrón interferencia, intensidad campo electromagnético modulada no junto sino perpendicular interfaz. Por tanto, vacíos aparecen planos paralelos superficie debido desprendimiento sólido. Según definición ω_p, condición ω>ω_p puede cumplirse sólidos (ej. semiconductores) baja densidad portadores corriente. No examinamos este caso aquí porque fórmula ε^L derivada gas electrónico degenerado.

Conclusiones

Definir función dieléctrica dispersiva espacial, todos investigadores previos consideraron interacción materia con onda electromagnética plana. Este enfoque no constructivo ni riguroso nano-óptica cuando campo localizado cavidad y condiciones frontera deben considerarse de algún modo. Hemos resuelto este problema calculando respuesta medio campo eléctrico satisface ecuación Helmholtz vectorial. Función dieléctrica dispersiva espacial derivada depende cuadrado número onda, parámetro ecuación Helmholtz, pero no vector onda onda plana.

Reportamos coeficientes reflexión Fresnel modificados debido excitación ondas longitudinales metales. Generalización similar hecha antes coeficientes Mie. Aquí, teoría verificada simulación extinción luz nanogrupos plata y oro nanométricos. Desplazamiento calculado 3,5 a 3,65 eV y ancho resonancia plasmon superficies partículas plata en excelente acuerdo datos experimentales. Además, modelo no-local explica desaparición resonancia plasmon esferas oro diámetros ~2 nm. Importante onda L puede excitarse superficie plana por onda incidente plana. Esta principal diferencia polaritones plasmon polaritones plasmon superficiales.

Propiedades oscilaciones electromagnéticas metales examinadas. Hallado valores absolutos números onda ondas longitudinales mucho mayores que transversales. Por ejemplo, plata energía fotón 3,5 eV, ratio valores absolutos números onda igual 130. Allí, parte real número onda onda longitudinal corresponde longitud onda 7 nm. Gran diferencia números onda previene excitación ondas L superficie planar. Sin embargo, modos L demostrados excitados partículas plata y oro nanométricas.