Dispersión a Pequeño Ángulo Revela Estructura de Fractales Grasos Deterministas a Nanoescala

Resumen

La dispersión a pequeño ángulo (de neutrones, rayos X o luz; SAS) se considera para describir características estructurales de fractales grasos deterministas a nanoescala. Mostramos que en caso de sistema fractal policdisperso, con probabilidad igual para cualquier orientación, se obtienen las dimensiones fractales y factores de escala en cada nivel estructural. Esto concuerda con resultados generales deducidos en contexto de análisis SAS de sistema de nano/micro-fractales orientados aleatoriamente, no interactuantes. Aplicamos nuestros resultados a un fractal tipo Cantor graso bidimensional, calculando expresiones analíticas para intensidades de dispersión y factores de estructura. Explicamos cómo las propiedades estructurales pueden computarse desde datos experimentales y mostramos su correlación con variación del factor de escala con número de iteración. El modelo puede usarse para interpretar datos SAS experimentales en marco de fractales grasos y revelar propiedades estructurales de materiales caracterizados por ley regular de cambio de dimensiones fractales. Puede describir sucesiones de decaimientos ley de potencia, con valores decrecientes arbitrarios de exponentes de dispersión, e intercalados por regiones de intensidad constante.

Introducción

Muchas estructuras jerárquicas generadas a nano y microescala tienen características geométricas invariantes bajo dilataciones de escala, mostrando auto-similitud, y por tanto propiedades fractales. Aunque avances recientes en ciencia de materiales y nanotecnología permiten preparación de diversos fractales deterministas artificiales nano/microescala, con auto-similitud exacta, la gran mayoría de procesos naturales generan fractales aleatorios, estadísticamente auto-similares. Una buena aproximación en estudios estructurales de formaciones fractales naturales puede hacerse recurriendo a modelos fractales deterministas, con misma dimensión fractal que los aleatorios. Este enfoque se usó exitosamente para mostrar que transferencia a través de superficies fractales aleatorias es muy cercana a respuesta de geometrías de modelos deterministas. Al introducir policdispersidad en algoritmo construcción de fractal determinista, se pueden obtener intensidades SAS similares a las correspondientes a fractales aleatorios. Además, un enfoque "determinista" es computacionalmente más eficiente, permitiendo descripción analítica de diversas propiedades, como forma fractal, factores de estructura y radio de giro.

Uno de los métodos más fiables para determinar propiedades estructurales de fractales deterministas y aleatorios es emplear difracción de ondas en contexto de dispersión a pequeño ángulo en materiales nano/micro-estructurados, usando neutrones u ondas electromagnéticas (rayos X, luz, etc.). Por esto, una de las tareas fundamentales en descripciones teóricas ligadas a determinaciones experimentales en esta área es revelar relación entre estructura de fractales y su correspondiente espectro de difracción o distribución intensidad dispersión vs. vector onda dispersión. Muchos estudios experimentales y teóricos se realizaron en esta dirección.

Usando computaciones teóricas estándar e interpolación, el parámetro determinado de este tipo de mediciones experimentales es la dimensión fractal de masa D_m (ver Apéndice 1), con D_m < d, o dimensión fractal de superficie D_s, con d-1 < D_s < d. Denotamos con d la dimensión euclidiana en que el fractal está embebido. La dimensión fractal de masa describe cómo la masa M(r) varía cuando se embebe en disco de radio r. La relación masa-radio obtenida M(r) ∝ r^D_m conduce a comportamiento intensidad dispersión I(q) ∝ q^-D_m. Evidentemente, D_m puede identificarse con exponente de dependencia ley de potencia de intensidad dispersión como función del vector onda dispersión q. Cuanto mayor D_m, más compacta la estructura. Similarmente, para fractal de superficie, su distribución superficial obedece S(r) ∝ r^2-D_s, y así I(q) ∝ q^-(2d-D_s). Trabajando en espacio euclidiano 3D, D_s se acerca a mínimo dos cuando superficie casi perfectamente lisa. Tiende a máximo tres, si está tan plegada que casi llena el espacio.

Muchas intensidades de difracción experimentales de diversos sistemas químicamente sintetizados y biológicos se caracterizan, en escala log-log doble, por sucesión de decaimientos ley de potencia, intercalados por regiones de intensidad constante. Este comportamiento puede identificarse en algunos geles poliméricos, hidrolasa glicósido para sustrato celobiosa, coacervados complejos polielectrolíticos, o carbono nanoporoso. Aunque modelo clásico Beaucage puede proveer información estructural básica sobre estos sistemas (dimensión fractal masa/superficie y tamaño global de cada nivel estructural), se necesita caracterización más completa por el gran número de configuraciones que corresponden a valor fijo de dimensión fractal. Este problema se abordó parcialmente por Cherny et al. en contexto de modelos SAS. Se mostró que, para fractales de masa deterministas con una sola escala, información adicional puede obtenerse, como número iteración fractal, número de unidades constituyentes básicas, y factor de escala. Este enfoque se usó además para desarrollar nuevos modelos para fractales grasos, si sucesiones de decaimientos ley de potencia están presentes en distribuciones dispersión. Puede aplicarse a estructuras donde tamaño global de unidades componentes básicas es del mismo orden que distancias entre ellas.

El modelo teórico presentado en este artículo combina modelos previos para extender su aplicabilidad. Describe sucesiones de decaimientos ley de potencia, con valores decrecientes arbitrarios de exponentes dispersión, e intercalados por regiones de intensidad constante. Nuestro modelo también provee información más detallada sobre cada nivel estructural en nano/micro-fractal. Para esto, consideramos un fractal graso, representado por fractal de masa determinista bidimensional con factor de escala dependiente del número de iteración, pero con área superficial no nula en límite de gran número de iteraciones, así con medida Lebesgue positiva. Derivamos expresiones analíticas de forma fractal y factores de estructura, y mostramos cómo determinar dimensiones fractales y factores de escala en cada nivel estructural.

Fundamento Teórico

Considerando un array de aberturas de difracción idénticas, orientadas similarmente, denotadas aquí por Σ, conteniendo N regiones transparentes, etiquetadas por j, debe tomarse suma sobre amplitudes obtenidas de cada abertura. Así, la conocida distribución frecuencia de amplitud difracción de una sola abertura (Ec. 37 en Apéndice 2) puede reescribirse como:

A(p,s) = Σ_j=1^N ∬_-∞^+∞ T(x,y) e^{-2iπ(p(x+x_j) + s(y+y_j))} dx dy (1)

Las coordenadas de un punto en marco local de la j-ésima abertura son (x_j, y_j), y T(x,y) representa la función de transmisión individual correspondiente a cada región transparente. Se puede intercambiar suma con integración porque, en nuestro caso, las aberturas se describen por misma función de distribución individual, así Ec. (1) puede reescribirse como:

A(p,s) = ∬_-∞^+∞ T(x,y) e^{-2iπ(px + sy)} dx dy × Σ_j=1^N e^ipx_j e^isy_j (2)

El factor integral de la igualdad previa representa la transformada de Fourier de la función de distribución de cada una de las aberturas idénticas, como se anotó. Esta amplitud es modulada por factor conteniendo la suma, representando la transformada de Fourier de distribuciones delta-Dirac de la forma A_δ = Σ_j=1^N (x - x_j)(y - y_j). Por tanto, la distribución espacial de las aberturas dentro del array también se tiene en cuenta. Así, Ec. (2) puede reescribirse en forma conocida como teorema del array:

A(p,s) = ℱ{T(x,y)} ℱ{A_δ} (3)

La distribución de intensidad de la imagen difractada en el plano de Fourier se vuelve:

I(p,s) ≡ |A(p,s)|² = |ℱ{T(x,y)}|² |ℱ{A_δ}|² (4)

Como se espera, el primer factor en el producto corresponde a intensidad dispersión de un solo orificio, mientras el segundo revela cómo estos orificios se distribuyen dentro de la abertura de difracción Σ. Estas cantidades también se conocen como factor de forma F(p,q) y, respectivamente, factor de estructura S(p,q). Por esto, los resultados obtenidos se expresarán usando la siguiente forma de intensidad dispersión:

I(p,q) ≡ F(p,s) S(p,s) (5)

Modelo y Método de Fractal Graso

El procedimiento detallado para construir un fractal de Cantor delgado (regular) es bien conocido. Solo se resume el procedimiento principal. Se adopta enfoque de arriba a abajo. Partiendo de un cuadrado inicial (u otra forma euclidiana) de lado l₀ (en m = 0), cuyo centro coincide con origen del sistema coordenadas cartesiano y lados paralelos a ejes, cualquier punto en el cuadrado satisface -l₀/2 ≤ x ≤ l₀/2 y -l₀/2 ≤ y ≤ l₀/2. En la primera iteración (m = 1), el cuadrado se divide en otros cuatro cuadrados, con longitud de lado β_s⁽¹⁾l₀. Denotamos con β_s⁽¹⁾ ≡ (1-γ₁)/2, con 0 < β_s⁽¹⁾ < 1/2, el factor de escala de primera iteración, y con γ₁ la fracción de longitud removida en este punto, como se ve en Fig. 1 a, b) para m = 1. El número entre paréntesis (⋯), apareciendo como índice superior, cuantifica el número de iteración. No debe interpretarse como exponente de función potencia. En términos del factor de escala, las posiciones de los cuatro cuadrados dan los vectores a_j = {±β_t⁽¹⁾l₀, ±β_t⁽¹⁾l₀} con todas combinaciones de signos posibles, donde β_t⁽¹⁾ = (1-β_s⁽¹⁾)/2 se usa para simplificar formulaciones. El cuadrado se eligió como forma inicial por simplicidad de cómputos numéricos. Cualquier otra forma geométrica, por ejemplo un círculo, puede considerarse. El efecto de elegir otra forma se observa solo en región Porod del factor de forma, que está fuera del alcance de este artículo.

Los dos primeros pasos descritos también se aplican en construcción de versión clásica de fractal graso, para iteraciones m = 0 y m = 1. Por esto, hasta ahora, estas dos estructuras coinciden. Para obtener fractal graso, debe modificarse el algoritmo usado en iteración m = 1, eligiendo otro factor de escala en m = 2, β_s⁽²⁾ ≡ (1 - γ₂)/2. Aplicando todo el algoritmo en límite de alto número de iteraciones, se re-obtiene la versión clásica de fractal graso. Es claro de la construcción que la versión regular del fractal se recupera cuando los factores de escala, en cada iteración, se eligen iguales β_s⁽¹⁾ = β_s⁽²⁾ = ⋯ = β_s^(m).

Para obtener meseta constante entre dos decaimientos ley de potencia en comportamiento intensidad SAS, debe considerarse que distancias entre unidades dispersoras son mucho mayores que su tamaño global. Tal enfoque se usó primero en contexto de modelos fractales de superficie. Considerando la razón f de la distancia global entre unidades dispersoras l_in y su tamaño global l₀, se tiene: f ≡ l_in/l₀ (6). Para experimentos dispersión mostrando mesetas intensidad constante entre dos regiones fractales, valores f ≫ 1 deben elegirse. En caso fractales superficie, aumentar valor f conduce a mejor concordancia entre intensidad SAS total, por un lado, y aproximación de unidades dispersoras independientes, por otro.

Usando consideraciones anteriores, pueden describirse diferencias entre fractales regulares y grasos. La influencia del factor f, introducido arriba, también puede visualizarse. En Fig. 1, graficamos comparación usando disco de radio r₀ ≡ l₀/2 = l_in/(2f) como forma básica. Resultados de dos primeras iteraciones, mostrados en cada fila de Fig. 1, representan estructuras obtenidas para fractal regular (marcado por discos rojos) y fractal graso (representado como disco negro), que también pueden superponerse totalmente (marcados como discos naranjas). En fila Fig. 1a, factor f se considera igual a unidad para construcciones clásicas y formas fractales. Segunda fila, Fig. 1b, exhibe influencia del factor presentado. En estos cómputos, elegimos valor arbitrario f = 2. Se observa que en iteraciones m = 0 y m = 1, en ambos casos a y b, las estructuras obtenidas de conjuntos Cantor regular y graso son idénticas y completamente superpuestas. Esto es esperable debido al factor de escala común. Sin embargo, como se ve en último par de imágenes de Fig. 1, a partir de m = 2, los radios de discos del fractal graso son mayores porque su factor de escala β_s⁽²⁾ es mayor, por definición, que el del regular. En última imagen de Fig. 2b, el tamaño de los discos es mucho menor que en su contraparte Fig. 2a debido al valor no unitario del factor f.

Para obtener las leyes de potencia mismas, debe generalizarse más el modelo clásico de fractal graso. Esto se hace considerando que cambios del factor de escala no se hacen en cada iteración individual, sino cada segunda, tercera, ⋯, o generalmente cada h-ésima iteración. La fracción de longitudes removidas en la m-ésima iteración es: γ_m = c^p_m (7), con 0 < c < 1. La función p_m se define como: p_m ≡ ⌊1 + (m-1)/h⌋ (8), para cualquier valor entero positivo de m, con h = 1,⋯,m, donde función piso ⌊⋯⌋ se usó. Así, el factor de escala correspondiente a la m-ésima iteración es: β_s^(m) = (1-γ_m)/2 (9). Es claro ahora que el propósito de la función p_m es mantener el factor de escala constante por h iteraciones (h < m).

Los componentes de vectores posición de cada cuadrado pueden escribirse como: β_t^(m) = β_s^(m)/2 + γ_m/2 (10), mientras la longitud de lado de cada cuadrado es: l_m = l₀/2^m ∏_i=1^m (1-γ_i) (11). El factor f se usa en fórmula de longitud l₀ para tener en cuenta que para iteraciones entre la (h+1)-ésima y m-ésima, el tamaño de cuadrados disminuye respecto a distancias entre ellos: l₀ = { l_in, para iteraciones ≤ h; l_in/f, para iteraciones > h } (12), donde h < m. El número de cuadrados en cada iteración es: N_m = 4^m (13). Así, en cada escala, considerada como iteración con factor de escala constante, se tiene una dimensión fractal diferente dada por: D_m = -2 ln 2 / ln β_s^(m) (14). En límite de gran número de iteraciones, la dimensión fractal del conjunto fractal construido será: D ≡ lim_m→∞ ln N_m / ln (l₀/l_m) = 2 (15), que es el valor esperado para fractal graso bidimensional. Finalmente, si a_i es el área relativa removida en i-ésima iteración, entonces ∏_i=1^m (1-a_i) > 0 si Σ_i=1^∞ a_i < ∞, y así el modelo satisface definición y características de fractales grasos.

Resultados y Discusión

Según principio de Babinet, podemos concluir que en m-ésima iteración, las aberturas en la red son los cuadrados restantes en el fractal, mientras las partes removidas se vuelven opacas a la radiación.

Intensidad de Dispersión y Factor de Estructura Monodispersos

Para derivar expresión analítica de intensidad dispersión para fractal Cantor graso, empezamos escribiendo relación recurrencia de transmitancia de red para caso 1D arbitrario iteración. En m = 0, tenemos T₀(l₀, x) ≡ rect(l₀, x) = { 1, |x| < l₀/2; 1/2, |x| = l₀/2; 0, en otro caso } (16). Tomando en cuenta algoritmo construcción fractal, transmitancia tras primera iteración: T₁(l₁, x) = T₀(l₁, x) ∗ δ((x-l₀β_t⁽¹⁾)/l₁) + T₀(l₁, x) ∗ δ((x+l₀β_t⁽¹⁾)/l₁) (17), donde δ(x-a) es distribución delta-Dirac unidimensional en x=a. Símbolo ∗ representa operador convolución. Así, en m-ésima iteración: T_m(l_m, x) = T_m-1(l_m, x) ∗ δ((x-u_m)/l_m) + T_m-1(l_m, x, y) ∗ δ((x+u_m)/l_m) (18), donde u_m = l₀β_t^(m) ∏_j=1^m-1 β_s^(j). Realizando transformada Fourier en Ec. (18), se halla que amplitud dispersada en m-ésima iteración es: A_m(p) = 2^m sin(πpl_m)/(πpl_m) ∏_i=1^m cos(2πpu_i) (19). Como modelo fractal graso 2D es producto directo de dos fractales grasos 1D, su transformada Fourier puede escribirse como producto de dos transformadas Fourier 1D. Por tanto, amplitud dispersión bidimensional: A_m(p,s) ≡ A_m(p) A_m(s) (20), y así: A_m(p,s) = N_m sin(πpl_m)/(πpl_m) sin(πsl_m)/(πsl_m) × ∏_i=1^m cos(2πpu_i) cos(2πsu_i) (21), de modo que intensidad dispersión: I_m(p,s) = (sin(πpl_m)/(πpl_m) sin(πsl_m)/(πsl_m))² × N_m² (∏_i=1^m cos(2πpu_i) cos(2πsu_i))² (22). El primer factor, representando intensidad difracción debida al factor de forma, como en Ec. (5): F_m(p,s) = (sin(πpl_m)/(πpl_m) sin(πsl_m)/(πsl_m))² (23), corresponde a intensidad dispersión obtenida de un solo cuadrado de lado l_m. El segundo factor, representando intensidad difracción debida al factor de estructura, como en Ec. (5): S_m(p,s) = N_m² (∏_i=1^m cos(2πpu_i) cos(2πsu_i))² (24), describe cómo se distribuyen los cuadrados. La intensidad total radiación dispersada es producto de F_m(p,s) y S_m(p,s).

El decaimiento ley de potencia de la intensidad, como formulado en Ec. (22), se obtiene tras promediar sobre todas las orientaciones. Considerando probabilidad igual para cualquier orientación, el promedio puede calcularse en caso fractales 2D integrando sobre todas direcciones del vector dispersión q = (p,s): ⟨f(p,s)⟩ = 1/(2π) ∫₀^2π f(q,φ) dφ (25), donde p = q cos φ y s = q sin φ. Así, intensidad dispersión I(q) se obtiene como función del módulo de transferencia de momento q ≡ |q|.

Porque, de definición factor estructura, se tiene S_m(0) = N_m², donde N_m es número de cuadrados, como en Ec. (13), puede adoptarse procedimiento estándar normalización S_m(0) = 1, como descrito en [11, 29].

Resultados computados para intensidad dispersión monodispersa I_m(q) y factor estructura S_m(q), con m = 6, se muestran en Fig. 2 para fractal graso clásico (f = 1 en Fig. 2a) y, para modelo fractal graso extendido desarrollado en este trabajo (f = 10 en Fig. 2b). Para obtener Fig. 2b, consideramos h = 3 de modo que factor escala β_s⁽¹⁾ de primeras tres iteraciones se mantuvo constante, luego tuvo otro valor constante β_s⁽²⁾ para siguientes tres iteraciones. Como era de esperar, en ambos casos (f = 1 y f = 10), las diferencias entre intensidad dispersión por un lado, y factor estructura por otro, pueden observarse cuando q ≳ 1/l_m. En esta región, intensidad dispersión tiene decaimiento ley de potencia I(q) ∝ q^-3. Factor estructura tiene valor asintótico que tiende a 1/N_m, representado por línea horizontal en Fig. 2a o línea horizontal inferior en Fig. 2b.

Una sucesión de dos decaimientos ley de potencia generalizados, identificables como superposición de máximos y mínimos, sobre un decaimiento ley de potencia simple, puede verse en Fig. 2a. Pero en Fig. 2b, una región de intensidad aproximadamente constante, en dominio 20 ≲ ql₀ ≲ 100, puede distinguirse claramente, abarcada por dos decaimientos ley de potencia generalizados sucesivos. Esto se debe a la disminución en tamaño de cuadrados en un orden de magnitud (f = 10) comparado a distancias entre ellos. Esta región, observable alrededor de línea horizontal superior en Fig. 2b tiene asintota 1/N₃, la misma que la del factor estructura del fractal graso clásico, mostrando comportamiento similar al caso de considerar solo primeras tres iteraciones.

Además, puede verse en Fig. 2 que el número de mínimos en cada escala coincide con número de iteraciones de factor de escala constante. Estos mínimos ocurren cuando radiación pasando a través de diferentes cuadrados dentro del fractal interfiere y están en oposición de fase, y así, las distancias más frecuentes entre centros de cuadrados (2u_m) son iguales a π/q. Por esto, las posiciones aproximadas de los mínimos se obtienen de la relación: q_i ≃ π/(2u_i), i = 1,⋯,m (26), indicadas en Fig. 2 por líneas verticales. Para primeras seis iteraciones, se observa bastante buen acuerdo entre posiciones calculadas usando Ec. (26), y las halladas en intensidad dispersión o factor estructura. Esta aproximación podría ser menos precisa para iteraciones más altas, una vez que número iteración aumenta sobre cierto valor porque en estos casos, más y más distancias son comparables a la más frecuente. No obstante, esta aproximación funcionará bastante bien en práctica, donde difícilmente puede esperarse distinguir más de cuatro o cinco tales mínimos.

Para cada escala individual, en un rango dado 1/(2u_i) ≲ q ≲ 1/(2u_i+1), el patrón difracción es producido por interferencia de solo la i-ésima iteración fractal. Esto puede usarse para mostrar que, dentro de este intervalo, las funciones I_m(q)q^D y S_m(q)q^D son log-periódicas, donde D es la dimensión fractal correspondiente a una escala dada. En particular, para resultados mostrados en Figs. 2 y 3, las funciones I_m(q)q^-1.1 y S_m(q)q^-1.1 son log-periódicas con período 1/β_s⁽¹⁾ para primeras tres iteraciones, mientras I_m(q)q^-1.51 y S_m(q)q^-1.51 son log-periódicas con 1/β_s⁽²⁾ para segundo grupo de tres iteraciones.

De manera similar a fractales de masa deterministas, Ec. (26) puede usarse para obtener varios parámetros estructurales caracterizando fractales grasos. Primero, el número total de mínimos coincide con número total de iteraciones fractales. Fig. 2 muestra que el fractal consiste de tres iteraciones con factor escala β_s⁽¹⁾ y tres iteraciones con factor escala β_s⁽²⁾. Segundo, desde la periodicidad de estos mínimos (o desde la periodicidad de I_m(q)q^D y S_m(q)q^D), los factores de escala pueden recuperarse. En Fig. 2b, el factor escala β_s⁽¹⁾ puede obtenerse desde periodicidad mínimos en ql₀ ≃ 7, 25, y 90, mientras factor escala β_s⁽²⁾ puede obtenerse desde periodicidad mínimos en ql₀ ≃ 400, 1000 y 2500. Además, la longitud de la meseta intermedia entre regiones fractales puede usarse como indicación de la razón (f) de distancias entre unidades dispersoras, y su tamaño global. En Fig. 2b, este rango corresponde a 13 ≲ ql₀ ≲ 130.

Intensidad de Dispersión y Factor de Estructura Policdispersos

En esta parte de nuestro trabajo, podemos considerar ahora que los tamaños de la red obedecen una función de distribución D_N(l₀), definida de modo que D_N(l₀)dl₀ da la probabilidad de que el tamaño de la red fractal esté en el intervalo (l₀, l₀+dl₀). Este paso introduce policdispersidad en nuestro modelo fractal graso. Ejemplificamos esto eligiendo una distribución log-normal: D_N(l₀) = 1/(σl₀(2π)^1/2) e^{-(log(l₀/μ)+σ²/2)²/(2σ²)} (27), con varianza relativa σ_r = (⟨l₀²⟩_D - μ²)^1/2/μ, valor medio μ = ⟨l₀⟩_D, y varianza σ = (log(1+σ_r²))^1/2. Usando Ecs. (21) y (27) se obtiene intensidad policdispersa promediada sobre la función de distribución: [ecuación integral] donde [término de área] es el área correspondiente en m-ésima iteración. El factor de estructura se calcula de manera similar, pero sin el término [término de área].

Los resultados computados en caso policdisperso (curvas rojas) y monodisperso (curvas negras) intensidades dispersión (etiquetadas a) y factores estructura (etiquetadas b) pueden verse en Figs. 3 y 4. La diferencia entre ellos viene dada por valor del factor f. En Fig. 3, se usó construcción clásica de fractal graso así f = 1, mientras considerando tamaños menores de unidades básicas lleva a elección f = 10 en Fig. 4. Policdispersidad calculada para varianza relativa σ_r = 0,4. Puede verse que las oscilaciones se suavizan, la amplitud global disminuye, de modo que curvas dispersión se vuelven más suaves. Sin embargo, para este valor particular de σ_r, las posiciones de principales mínimos y máximos aún son observables.

Más generalmente, para valores pequeños de σ_r (suficientemente pequeños que las oscilaciones sean observables), la estimación dada por Ec. (26) aún puede usarse. Por tanto, el número de iteraciones fractales, el factor de escala en cada nivel estructural, la razón de distancias entre unidades dispersoras y su tamaño global pueden recuperarse. Cuando σ_r aumenta a valores lo suficientemente altos que las oscilaciones se suavizan completamente, las curvas dispersión se convierten en decaimientos ley de potencia simples. Como usamos una distribución campana estrecha, el exponente dispersión se preserva. Además, da, para cada decaimiento ley de potencia, la dimensión fractal de ese nivel estructural particular. Esto concuerda bien con estimación teórica Ec. (14). Esto también concuerda con configuraciones experimentales, donde casi toda curva dispersión tiene cierto grado de policdispersidad. Así, nuestro modelo fractal graso desarrollado, con región intercalada de intensidad constante, recupera la dimensión fractal en cada nivel estructural desde datos experimentales policdispersos.

Conclusiones

En este artículo, sugerimos un modelo teórico que generaliza el estándar para fractales grasos a nanoescala. Se caracteriza por el hecho que el tamaño de lado inicial de la forma unitaria elemental se toma mucho menor que el tamaño global del fractal, y así, mucho menor que las distancias entre las unidades elementales dentro del fractal. Fig. 1b ilustra el modelo básico, cuando se considera un cociente de 1/2 entre estas cantidades, respectivamente.

Basado en este modelo, una fórmula analítica se calcula y presenta, en Ec. (22) para intensidad dispersión y en Ec. (24) para factor estructura. El promedio sobre todas las orientaciones posibles se hace según Ec. (25). Estas cantidades promediadas se caracterizan, en escala log-log doble, por la presencia de dos niveles estructurales, y así por dos decaimientos ley de potencia intercalados por una región de intensidad constante, representada por una meseta, como se ve en Figs. 2b y 4. Esta meseta coincide con la región asintótica del factor estructura del fractal graso, como si hubiéramos considerado solo la contribución del primer nivel estructural, cuando el factor de escala se mantuvo constante. Los valores asintóticos de las mesetas pueden usarse para obtener el número de unidades dispersoras para cada nivel estructural. La longitud de la meseta es controlada por el valor de f. Los decaimientos ley de potencia que abarcan la meseta se obtienen manteniendo constante los factores de escala para un número finito de iteraciones, en nuestro caso, como ejemplo, para tres de un total de seis. La pendiente del segundo decaimiento ley de potencia es mayor porque los valores de factores de escala, por definición, aumentan en cada nivel estructural, y esto es confirmado por nuestros cómputos numéricos, como puede verse en Figs. 2, 3 y 4.

También describimos el caso policdisperso del modelo fractal graso. Aquí, los tamaños de las unidades componentes obedecen, como ejemplo, una función de distribución log-normal. Obtuvimos curvas suavizadas para intensidades dispersión y factores estructura. Las curvas dispersión monodispersas así como las policdispersas, con valores lo suficientemente pequeños de la varianza relativa, permiten obtener los factores de escala en cada nivel estructural, mientras los exponentes dispersión en la curva policdispersa dan las dimensiones fractales en cada nivel estructural. El valor elegido de 0,4 para la varianza relativa pretende ilustrar el caso en que aún se pueden observar algunos mínimos en las características dispersión, y las curvas aún retienen forma cercana a decaimientos ley de potencia.

Los resultados obtenidos en marco del modelo sugerido pueden usarse para revelar propiedades estructurales de materiales fractales caracterizados por ley regular de cambio de las dimensiones fractales. El modelo propuesto también es muy versátil porque puede extenderse para incluir otras características como diferentes formas de la unidad elemental, más de dos niveles estructurales, o adaptarse para trabajar en otras dimensiones euclidianas. Estos resultados son útiles para descripción detallada de datos de difracción experimentales en contexto de dispersión a pequeño ángulo obtenidos de diversas estructuras jerárquicas complejas nano y microescaladas.

Apéndice

Dimensión Fractal

Las dimensiones fractales de masa y, respectivamente, de superficie son probablemente las cantidades más importantes que caracterizan un fractal. Trataremos solo con fractales de masa deterministas, y nos referiremos a dimensión fractal de masa, simplemente como dimensión fractal (D_m).

En términos generales, la relación masa-radio puede reescribirse como: M(r) = A(r) r^D_m (29), donde la corrección ley de escala A(r) tiende a valor constante si r→∞.

Si se sabe a priori que la estructura es un fractal en límite de alto número, la dimensión fractal puede hallarse directamente desde la primera iteración. Para ilustrar este procedimiento, consideremos un fractal de tamaño l₀, compuesto de k unidades elementales en primera iteración, cada una de tamaño β_sl₀, donde β_s es un factor de escala. Como la relación masa-radio, dada por Ec. (29), es equivalente con la relación de invariancia de escala: M(β_sl₀) = β_s^D_m M(l₀) (30), se puede escribir M(l₀) = k M(β_sl₀). Usando Ec. (29), se obtiene método directo para computar dimensión fractal, vía: k β_s^D_m = 1 (31).

Difracción Fraunhofer y Teorema del Array

Consideremos una abertura de difracción bidimensional Σ, situada en plano (x,y), iluminada en dirección z positiva. En un plano de observación (u,v), paralelo a Σ, la amplitud compleja de la imagen de difracción obtenida, computada usando marco de teoría escalar de difracción, según principio Huygens-Fresnel, puede escribirse como: A(u,v) = z/(iλ) ∬_Σ A(x,y) e^ikr/r² dx dy (32), donde r = √(z²+(u-x)²+(v-y)²) es distancia entre dos puntos arbitrarios tomados, respectivamente, del plano conteniendo Σ y del plano observación. Para que modelo difracción Fraunhofer sea aplicable, esta distancia debe satisfacer condición de ser mucho mayor que longitud de onda λ.

Realizando expansión binomial de la raíz cuadrada en Ec. (32) y reteniendo solo dos primeros términos, se obtiene: r ≈ z(1 + (u-x)²/(2z²) + (v-y)²/(2z²)) (33). Esta aproximación conduce a integral difracción Fresnel: A(u,v)/P(u,v) = ∬_-∞^+∞ {A(x,y) e^{ik(x²+y²)/(2z)}} e^{-i2π(ux+vy)/λz} dx dy (34), donde prefactor P(u,v) = e^ikze^{ik(u²+v²)/(2z)}/(iλz) (35), y k = 2π/λ. Considerando, además, que condición z ≫ k Max(x²+y²)/2 se satisface, se tiene Exp(k(x²+y²)/(2z)) ≃ 1. Reescribiendo Ec. (34), la aproximación Fraunhofer se vuelve: A(u,v) = P(u,v) ∬_-∞^+∞ A(x,y) e^{-i2π(ux+vy)/λz} dx dy (36). Denotando frecuencias espaciales con p = u/(λz) y s = v/(λz) e ignorando factor de fase multiplicativo P(u,v) precediendo la integral en Ec. (36), la amplitud se vuelve simplemente la transformada de Fourier de la distribución de la abertura Σ. Considerando que la iluminación se hace usando onda plana monocromática de amplitud unitaria, incidencia normal, y que la distribución de campo a través de la abertura es igual a su función de transmisión T(x,y), se obtiene la distribución de frecuencia de la amplitud de difracción en el espacio de fases: A(p,s) = ∬_-∞^+∞ T(x,y) e^-2iπ(px+sy) dx dy (37).