Identidades algebraicas booleanas

En matemáticas, una identidad es una declaración verdadera para todos los valores posibles de su variable o variables.

La identidad algebraica de x + 0 =x nos dice que cualquier cosa (x) añadido a cero es igual al original "cualquier cosa", sin importar el valor que " cualquier cosa ”(X) puede ser.

Como el álgebra ordinaria, el álgebra booleana tiene sus propias identidades únicas basadas en los estados bivalentes de las variables booleanas.

Identidades aditivas

Agregar cero

La primera identidad booleana es que la suma de cualquier cosa y cero es el mismo que el original " cualquier cosa . ”

Esta identidad no es diferente de su equivalente algebraico de números reales:

No importa cuál sea el valor de A , la salida siempre será la misma:cuando A =1 , la salida también será 1 ; cuando A =0 , la salida también será 0 .

Agregar uno

La siguiente identidad es definitivamente diferente de cualquiera que se vea en el álgebra normal.

Aquí descubrimos que la suma de " cualquier cosa "Y uno es uno :

No importa cuál sea el valor de A, la suma de A y 1 siempre será 1.

En cierto sentido, la señal "1" anula el efecto de A en el circuito lógico, dejando la salida fija en un nivel lógico de 1.

Agregar una cantidad a sí misma

A continuación, examinamos el efecto de agregar A y A juntas, lo que equivale a conectar ambas entradas de una puerta OR entre sí y activándolos con la misma señal:

En álgebra de números reales, la suma de dos variables idénticas es el doble del valor de la variable original (x + x =2 x), pero recuerda que no existe el concepto de "2" en el mundo de las matemáticas booleanas, solo 1 y 0, por lo que no podemos decir que A + A =2A .

Por lo tanto, cuando agregamos una cantidad booleana a sí misma, la suma es igual a la cantidad original: 0 + 0 =0 y 1 + 1 =1 .

Agregar una cantidad a su complemento

Al introducir el concepto exclusivamente booleano de complementación en una identidad aditiva, encontramos un efecto interesante.

Dado que debe haber una " 1 ”Entre cualquier variable y su complemento, y dado que la suma de cualquier cantidad booleana y 1 es 1, la suma de una variable y su complemento debe ser 1:

Identidades multiplicativas

Así como hay cuatro identidades aditivas booleanas ( A + 0, A + 1, A + A y A + A ’ ), por lo que también hay cuatro identidades multiplicativas: Ax0, Ax1, AxA y AxA ’ . De estos, los dos primeros no son diferentes de sus expresiones equivalentes en álgebra regular:

Multiplicar por 0 o 1

Multiplicar una cantidad por sí misma

La tercera identidad multiplicativa expresa el resultado de una cantidad booleana multiplicada por sí misma.

En álgebra normal, el producto de una variable y él mismo es el cuadrado de esa variable (3 x 3 =3 ² =9).

Sin embargo, el concepto de cuadrado implica una cantidad de 2, que no tiene significado en álgebra booleana, por lo que no podemos decir que A x A =A ² .

En cambio, encontramos que el producto de una cantidad booleana y él mismo es la cantidad original, ya que 0 x 0 =0 y 1 x 1 =1 :

Multiplicar una cantidad por su complemento

La cuarta identidad multiplicativa no tiene equivalente en álgebra regular porque usa el complemento de una variable, un concepto exclusivo de las matemáticas booleanas.

Dado que debe haber un " 0 ”Entre cualquier variable y su complemento, y dado que el producto de cualquier cantidad booleana y 0 es 0 , el producto de una variable y su complemento debe ser 0 :

Entonces, para resumir, tenemos cuatro identidades booleanas básicas para la suma y cuatro para la multiplicación:

Complemento doble

Otra identidad que tiene que ver con la complementación es la del doble complemento :una variable invertida dos veces.

Complementar una variable dos veces (o cualquier número par de veces) da como resultado el valor booleano original.

Esto es análogo a negar (multiplicar por -1) en el álgebra de números reales:un número par de negaciones se cancela para dejar el valor original:

HOJAS DE TRABAJO RELACIONADAS:

• Hoja de trabajo de álgebra booleana