Método y análisis de la corriente de malla

El método de corriente de malla , también conocido como Método de corriente de bucle , es bastante similar al método de la corriente de rama en que utiliza ecuaciones simultáneas, la ley de voltaje de Kirchhoff y la ley de Ohm para determinar corrientes desconocidas en una red. Se diferencia del método Branch Current en que no usa la Ley de la corriente de Kirchhoff y, por lo general, puede resolver un circuito con menos variables desconocidas y menos ecuaciones simultáneas, lo cual es especialmente bueno si se ve obligado a resolver sin una calculadora.

Corriente de malla, método convencional

Veamos cómo funciona este método en el mismo problema de ejemplo:

Identificar bucles

El primer paso en el método de corriente de malla es identificar "bucles" dentro del circuito que abarca todos los componentes. En nuestro circuito de ejemplo, el bucle formado por B ₁ , R ₁ y R ₂ será el primero mientras que el bucle formado por B ₂ , R ₂ y R ₃ será el segundo. La parte más extraña del método de corriente de malla es imaginar corrientes circulantes en cada uno de los bucles. De hecho, este método recibe su nombre de la idea de que estas corrientes se entrelazan entre bucles como conjuntos de engranajes giratorios:

La elección de la dirección de cada corriente es completamente arbitraria, al igual que en el método de la corriente de ramificación, pero las ecuaciones resultantes son más fáciles de resolver si las corrientes van en la misma dirección a través de componentes que se cruzan (observe cómo las corrientes I ₁ y yo ₂ ambos están subiendo a través de la resistencia R ₂ , donde se "engranan" o se cruzan). Si la dirección supuesta de una corriente de malla es incorrecta, la respuesta para esa corriente tendrá un valor negativo.

Etiquete las polaridades de la caída de voltaje

El siguiente paso es etiquetar todas las polaridades de caída de voltaje a través de las resistencias de acuerdo con las direcciones supuestas de las corrientes de malla. Recuerde que el extremo "corriente arriba" de una resistencia siempre será negativo y el extremo "corriente abajo" de una resistencia positiva entre sí, ya que los electrones están cargados negativamente. Las polaridades de la batería, por supuesto, están dictadas por las orientaciones de los símbolos en el diagrama y pueden o no "coincidir" con las polaridades de la resistencia (direcciones de corriente asumidas):

Usando la Ley del Voltaje de Kirchhoff, ahora podemos dar un paso alrededor de cada uno de estos bucles, generando ecuaciones representativas de las caídas de voltaje y las polaridades de los componentes. Al igual que con el método de la corriente de derivación, denotaremos la caída de voltaje de un resistor como el producto de la resistencia (en ohmios) y su corriente de malla respectiva (esa cantidad se desconoce en este punto). Donde dos corrientes se unen, escribiremos ese término en la ecuación con la corriente de resistencia como la suma de las dos corrientes de malla.

Trazar el bucle izquierdo del circuito con ecuaciones

Trazando el bucle izquierdo del circuito, comenzando desde la esquina superior izquierda y moviéndose en sentido antihorario (la elección de los puntos de partida y las direcciones es en última instancia irrelevante), contando la polaridad como si tuviéramos un voltímetro en la mano, el cable rojo en el punto de adelante. y plomo negro en el punto de atrás, obtenemos esta ecuación:

Observe que el término medio de la ecuación usa la suma de las corrientes de malla I ₁ y yo ₂ como la corriente a través de la resistencia R ₂ . Esto se debe a que las corrientes de malla I ₁ y yo ₂ van en la misma dirección a través de R ₂ , y así complementarse entre sí. Distribuyendo el coeficiente de 2 al I ₁ y yo ₂ términos, y luego combinar I ₁ términos en la ecuación, podemos simplificar como tal:

En este momento tenemos una ecuación con dos incógnitas. Para poder resolver dos corrientes de malla desconocidas, debemos tener dos ecuaciones. Si trazamos el otro bucle del circuito, podemos obtener otra ecuación KVL y tener suficientes datos para resolver las dos corrientes. Como soy una criatura de hábito, comenzaré en la esquina superior izquierda del bucle derecho y trazaré en sentido contrario a las agujas del reloj:

Simplificando la ecuación como antes, terminamos con:

Resolviendo lo desconocido

Ahora, con dos ecuaciones, podemos usar uno de varios métodos para resolver matemáticamente las corrientes desconocidas I ₁ y yo ₂ :

Volver a dibujar circuito

Sabiendo que estas soluciones son valores para mesh corrientes, no rama corrientes, debemos volver a nuestro diagrama para ver cómo encajan entre sí para dar corrientes a través de todos los componentes:

La solución de -1 amperio para I ₂ significa que inicialmente asumimos que la dirección de la corriente era incorrecta. En realidad, yo ₂ fluye en sentido antihorario a un valor de (positivo) 1 amperio:

Este cambio de dirección de la corriente de lo que se asumió inicialmente alterará la polaridad de las caídas de voltaje en R ₂ y R ₃ debido a la corriente I ₂ . A partir de aquí, podemos decir que la corriente a través de R ₁ es de 5 amperios, con la caída de voltaje en R ₁ siendo el producto de corriente y resistencia (E =IR), 20 voltios (positivo a la izquierda y negativo a la derecha).

Además, podemos decir con seguridad que la corriente a través de R ₃ es de 1 amperio, con una caída de voltaje de 1 voltio (E =IR), positivo a la izquierda y negativo a la derecha. Pero, ¿qué está pasando en R ₂ ?

Corriente de malla I ₁ va "hacia abajo" a través de R ₂ , mientras que la corriente de malla I ₂ está subiendo a través de R ₂ . Para determinar la corriente real a través de R ₂ , debemos ver cómo las corrientes de malla I ₁ y yo ₂ interactuar (en este caso están en oposición) y agregarlos algebraicamente para llegar a un valor final. Desde que ₁ está bajando a 5 amperios, y yo ₂ está subiendo a 1 amperio, el real actual a través de R ₂ debe tener un valor de 4 amperios, bajando:

Una corriente de 4 amperios a través de R ₂ La resistencia de 2 Ω nos da una caída de voltaje de 8 voltios (E =IR), positivo en la parte superior y negativo en la parte inferior.

Ventaja del análisis de corriente de malla

La principal ventaja del análisis de corriente de malla es que generalmente permite la solución de una red grande con menos valores desconocidos y menos ecuaciones simultáneas. Nuestro problema de ejemplo tomó tres ecuaciones para resolver el método de corriente de rama y solo dos ecuaciones usando el método de corriente de malla. Esta ventaja es mucho mayor a medida que las redes aumentan en complejidad:

Para resolver esta red usando las corrientes de rama, tendríamos que establecer cinco variables para tener en cuenta todas y cada una de las corrientes únicas en el circuito (I ₁ hasta I ₅ ). Esto requeriría cinco ecuaciones para la solución, en forma de dos ecuaciones KCL y tres ecuaciones KVL (dos ecuaciones para KCL en los nodos y tres ecuaciones para KVL en cada ciclo):

Supongo que si no tiene nada mejor que hacer con su tiempo que resolver cinco variables desconocidas con cinco ecuaciones, es posible que no le importe utilizar el método de análisis de corriente de ramificación para este circuito. Para aquellos de nosotros que tenemos Mejores cosas que hacer con nuestro tiempo, el método Mesh Current es mucho más fácil, ya que solo requiere tres incógnitas y tres ecuaciones para resolver:

Menos ecuaciones para trabajar es una ventaja decidida, especialmente cuando se realiza una solución de ecuación simultánea a mano (sin una calculadora).

Puente de Wheatstone desequilibrado

Otro tipo de circuito que se adapta bien a la corriente de malla es el puente de Wheatstone desequilibrado. Tome este circuito, por ejemplo:

Dado que las proporciones de R ₁ / R ₄ y R ₂ / R ₅ son desiguales, sabemos que habrá voltaje a través de la resistencia R ₃ , y cierta cantidad de corriente a través de él. Como se discutió al comienzo de este capítulo, este tipo de circuito es irreducible por análisis normal en serie-paralelo y solo puede ser analizado por algún otro método.

Podríamos aplicar el método Branch Current a este circuito, pero requeriría seis corrientes (I ₁ hasta I ₆ ), lo que lleva a un gran conjunto de ecuaciones simultáneas para resolver. Sin embargo, utilizando el método de corriente de malla, podemos resolver todas las corrientes y voltajes con muchas menos variables.

Dibujar malla

El primer paso en el método de corriente de malla es dibujar solo las corrientes de malla suficientes para tener en cuenta todos los componentes del circuito. Mirando nuestro circuito de puente, debería ser obvio dónde colocar dos de estas corrientes:

Las direcciones de estas corrientes de malla, por supuesto, son arbitrarias. Sin embargo, dos corrientes de malla no son suficientes en este circuito, porque ni ₁ ni yo ₂ pasa por la batería. Entonces, debemos agregar una tercera corriente de malla, I ₃ :

Aquí, he elegido I ₃ para hacer un bucle desde la parte inferior de la batería, a través de R ₄ , a través de R ₁ y de vuelta a la parte superior de la batería. Este no es el único camino que podría haber elegido para I ₃ , pero parece el más simple.

Etiquete las polaridades de caída de voltaje de la resistencia

Ahora, debemos etiquetar las polaridades de caída de voltaje del resistor, siguiendo cada una de las direcciones de las corrientes asumidas:

Observe algo muy importante aquí:en la resistencia R ₄ , las polaridades para las respectivas corrientes de malla no coinciden. Esto se debe a que esas corrientes de malla (I ₂ y yo ₃ ) están pasando por R ₄ en diferentes direcciones. Esto no excluye el uso del método de análisis Mesh Current, pero lo complica un poco. Aunque más adelante, mostraremos cómo evitar el R ₄ choque actual. (Vea el ejemplo a continuación)

Uso de KVL

Generando una ecuación KVL para el bucle superior del puente, comenzando desde el nodo superior y siguiendo en el sentido de las agujas del reloj:

En esta ecuación, representamos las direcciones comunes de las corrientes por sus sumas a través de resistencias comunes. Por ejemplo, resistencia R ₃ , con un valor de 100 Ω, tiene su caída de voltaje representada en la ecuación de KVL anterior por la expresión 100 (I ₁ + I ₂ ), ya que ambas corrientes I ₁ y yo ₂ pasar por R ₃ de derecha a izquierda. Lo mismo puede decirse de la resistencia R ₁ , con su expresión de caída de voltaje mostrada como 150 (I ₁ + I ₃ ), ya que tanto I ₁ y yo ₃ ir de abajo hacia arriba a través de esa resistencia, y así trabajar juntos para generar su caída de voltaje.

Generar una ecuación KVL para el bucle inferior del puente no será tan fácil ya que tenemos dos corrientes que van una contra la otra a través de la resistencia R ₄ . Así es como lo hago (comenzando en el nodo de la derecha y siguiendo en sentido antihorario):

Observe cómo el segundo término en la forma original de la ecuación tiene una resistencia R ₄ Valor de 300 Ω multiplicado por la diferencia entre I ₂ y yo ₃ (Yo ₂ - Yo ₃ ). Así es como representamos el efecto combinado de dos corrientes de malla que van en direcciones opuestas a través del mismo componente. Elegir los signos matemáticos apropiados es muy importante aquí:300 (I ₂ - Yo ₃ ) no significa lo mismo que 300 (I ₃ - Yo ₂ ). Elegí escribir 300 (I ₂ - Yo ₃ ) porque estaba pensando primero en I ₂ Efecto (creando una caída de voltaje positiva, midiendo con un voltímetro imaginario a través de R ₄ , mina roja en la parte inferior y mina negra en la parte superior), y secundariamente de I ₃ Efecto de 's (creando una caída de voltaje negativa, cable rojo en la parte inferior y cable negro en la parte superior). Si hubiera pensado en términos de I ₃ Primero el efecto y yo ₂ En segundo lugar, manteniendo los cables de mi voltímetro imaginario en las mismas posiciones (rojo en la parte inferior y negro en la parte superior), la expresión habría sido -300 (I ₃ - Yo ₂ ). Tenga en cuenta que esta expresión es matemáticamente equivalente al primero:+300 (I ₂ - Yo ₃ ).

Bueno, eso se ocupa de dos ecuaciones, pero todavía necesito una tercera ecuación para completar mi conjunto de ecuaciones simultáneas de tres variables, tres ecuaciones. Esta tercera ecuación también debe incluir el voltaje de la batería, que hasta este momento no aparece en ninguna de las dos ecuaciones anteriores de KVL. Para generar esta ecuación, trazaré un bucle nuevamente con mi voltímetro imaginario comenzando desde el terminal inferior (negativo) de la batería, avanzando en el sentido de las agujas del reloj (nuevamente, la dirección en la que doy un paso es arbitraria y no necesita ser la misma que la dirección de la corriente de malla en ese bucle):

Resolviendo las corrientes

Resolviendo para I ₁ , Yo ₂ y yo ₃ usando cualquier método de ecuación simultánea que prefiramos:

Ejemplo: Utilice Octave para encontrar la solución para I ₁ , Yo ₂ y yo ₃ de la forma simplificada de ecuaciones anterior.

Solución: En Octave, un clon de Matlab® de código abierto, ingrese los coeficientes en la matriz A entre corchetes con elementos de columna separados por comas y filas separadas por punto y coma. Ingrese los voltajes en el vector de columna:b. Las corrientes desconocidas:I ₁ , ₂ y yo ₃ se calculan mediante el comando:x =A \ b. Estos están contenidos dentro del vector de columna x.

 octava:1> A =[300,100,150; 100,650, -300; -150,300, -450] A =300 100 150 100 650 -300 -150 300 -450 octava:2> b =[0; 0; -24] b =0 0 -24 octava:3> x =A \ b x =-0.093793 0.077241 0.136092 

Se llegó al valor negativo para I ₁ nos dice que la dirección asumida para esa corriente de malla era incorrecta. Por lo tanto, los valores de corriente reales a través de cada resistencia son los siguientes:

Cálculo de caídas de voltaje en cada resistor:

Una simulación SPICE confirma la precisión de nuestros cálculos de voltaje:

 puente de piedra de trigo desequilibrado v1 1 0 r1 1 2150 r2 1 3 50 r3 2 3100 r4 2 0300 r5 3 0250 .dc v1 24 24 1 .impresión dc v (1,2) v (1,3) v (3,2) v (2,0) v (3,0) .fin v1 v (1,2) v (1,3) v (3,2) v (2) v (3) 2.400E + 01 6.345E + 00 4.690E + 00 1.655E + 00 1.766E ​​+ 01 1.931E + 01 

Ejemplo:

(a) Encuentre una nueva ruta para el I ₃ actual que no produce una polaridad conflictiva en ninguna resistencia en comparación con I ₁ o yo ₂ . R ₄ fue el componente ofensivo. (b) Encuentre valores para I ₁ , Yo ₂ y yo ₃ . (c) Encuentre las cinco corrientes de resistencia y compárelas con los valores anteriores.

Solución:

(a) Ruta I ₃ hasta R ₅ , R _3, y R ₁ como se muestra:

Tenga en cuenta que la polaridad en conflicto en R ₄ ha sido removido. Además, ninguna de las otras resistencias tiene polaridades en conflicto.

(b) Octave, un clon de Matlab de código abierto (gratuito), produce un vector de corriente de malla en "x":

 octava:1> A =[300,100,250; 100,650,350; -250, -350, -500] A =300 100 250 100 650 350 -250-350-500 octava:2> b =[0; 0; -24] b =0 0 -24 octava:3> x =A \ b x =-0.093793 -0.058851 0.136092 

No todas las corrientes I ₁ , Yo ₂ y yo ₃ son iguales (I ₂ ) como el puente anterior debido a diferentes rutas de bucle Sin embargo, las corrientes de resistencia se comparan con los valores anteriores:

 IR1 =I1 + I3 =-93.793 ma + 136.092 ma =42.299 ma IR2 =I1 =-93,793 ma IR3 =I1 + I2 + I3 =-93.793 ma -58.851 ma + 136.092 ma =-16.552 ma IR4 =I2 =-58,851 ma IR5 =I2 + I3 =-58.851 ma + 136.092 ma =77.241 ma 

Dado que las corrientes de las resistencias son las mismas que los valores anteriores, las tensiones de las resistencias serán idénticas y no es necesario volver a calcularlas.

REVISAR:

• Pasos a seguir para el método de análisis "Corriente de malla":
• (1) Dibujar corrientes de malla en los bucles del circuito, suficientes para tener en cuenta todos los componentes.
• (2) Etiquete las polaridades de caída de voltaje del resistor según las direcciones supuestas de las corrientes de malla.
• (3) Escriba ecuaciones KVL para cada bucle del circuito, sustituyendo el producto IR por E en cada término de resistencia de la ecuación. Donde dos corrientes de malla se cruzan a través de un componente, exprese la corriente a partir de la suma algebraica de esas dos corrientes de malla (es decir, I ₁ + I ₂ ) si las corrientes van en la misma dirección a través de ese componente. De lo contrario, exprese la corriente a partir de la diferencia (es decir, I ₁ - Yo ₂ ).
• (4) Resuelva para corrientes de malla desconocidas (ecuaciones simultáneas).
• (5) Si alguna solución es negativa, ¡la dirección de la corriente asumida es incorrecta!
• (6) Agregue algebraicamente corrientes de malla para encontrar componentes actuales que compartan múltiples corrientes de malla.
• (7) Resuelva las caídas de voltaje en todas las resistencias (E =IR).

Corriente de malla por inspección

Echamos un segundo vistazo al "método de la corriente de malla" con todas las corrientes en el sentido de las agujas del reloj (cw). La motivación es simplificar la escritura de ecuaciones de malla ignorando la polaridad de caída de voltaje de la resistencia. Sin embargo, debemos prestar atención a la polaridad de las fuentes de voltaje con respecto a la dirección de corriente asumida. El signo de las caídas de voltaje de la resistencia seguirá un patrón fijo.

Si escribimos un conjunto de ecuaciones de corriente de malla convencionales para el circuito a continuación, donde prestamos atención a los signos de la caída de voltaje en las resistencias, podemos reorganizar los coeficientes en un patrón fijo:

Una vez reorganizadas, podemos escribir ecuaciones mediante inspección. Los signos de los coeficientes siguen un patrón fijo en el par de arriba o el conjunto de tres en las reglas de abajo.

Malla de reglas actuales:

• Este método asume fuentes de voltaje de flujo de corriente convencionales. Reemplace cualquier fuente de corriente en paralelo con una resistencia con una fuente de voltaje equivalente en serie con una resistencia equivalente.
• Ignorando la dirección de la corriente o la polaridad del voltaje en las resistencias, dibuje bucles de corriente en sentido antihorario que atraviesen todos los componentes. Evite los bucles anidados.
• Escriba ecuaciones de ley de voltaje en términos de corrientes desconocidas:I ₁ , Yo ₂ y yo ₃ . La ecuación 1, el coeficiente 1, la ecuación 2, el coeficiente 2 y el coeficiente 3 de la ecuación 3 son las sumas positivas de las resistencias alrededor de los bucles respectivos.
• Todos los demás coeficientes son negativos, representativos de la resistencia común a un par de bucles. El coeficiente 2 de la ecuación 1 es el resistor común a los lazos 1 y 2, el coeficiente 3 es el resistor común a los lazos 1 y 3. Repita para otras ecuaciones y coeficientes.
• + (suma del bucle 1 de R) I1 - (bucle R común 1-2) I2 - (bucle R común 1-3) I3 =E1
  - (bucle R común 1-2) I1 + ( suma del lazo R común 2) I2 - (lazo R común 2-3) I3 =E2
  - (lazo R común 1-3) I1 - (lazo R común 2-3) I2 + (suma del lazo R 3 ) I3 =E3
• El lado derecho de las ecuaciones es igual a una fuente de voltaje de flujo de corriente de electrones. Un aumento de voltaje con respecto a la corriente asumida en sentido contrario a las agujas del reloj es positiva y 0 para ninguna fuente de voltaje.
• Resolver ecuaciones para corrientes de malla:I ₁ , Yo ₂ y I3. Resuelva las corrientes a través de resistencias individuales con KCL. Resuelva los voltajes con la ley de Ohm y KVL.

Si bien las reglas anteriores son específicas para un circuito de tres mallas, las reglas pueden extenderse a mallas más pequeñas o más grandes. La siguiente figura ilustra la aplicación de las reglas. Las tres corrientes se dibujan en la misma dirección, en el sentido de las agujas del reloj. Se escribe una ecuación KVL para cada uno de los tres bucles. Tenga en cuenta que no hay polaridad dibujada en las resistencias. No lo necesitamos para determinar los signos de los coeficientes. Aunque debemos prestar atención a la polaridad de la fuente de voltaje con respecto a la dirección de la corriente. El I ₃ la corriente en el sentido de las agujas del reloj fluye desde el terminal positivo (+) de la fuente de l24V y luego regresa al terminal (-). Este es un aumento de voltaje para el flujo de corriente convencional. Por lo tanto, la tercera ecuación del lado derecho es -24V.

En Octave, ingrese los coeficientes en la matriz A con elementos de columna separados por comas y filas separadas por punto y coma. Ingrese los voltajes en el vector de columna b. Resuelve las corrientes desconocidas:I ₁ , Yo ₂ y yo ₃ con el comando:x =A \ b. Estas corrientes están contenidas dentro del vector de columna x. Los valores positivos indican que las tres corrientes de malla fluyen todas en la dirección asumida en el sentido de las agujas del reloj.

 octava:2> A =[300, -100, -150; -100,650, -300; -150, -300,450] A =300-100-150 -100 650-300 -150-300 450 octava:3> b =[0; 0; 24] b =0 0 24 octava:4> x =A \ b x =0.093793 0.077241 0.136092 

Las corrientes de malla coinciden con la solución anterior mediante un método de corriente de malla diferente. El cálculo de las tensiones y corrientes de las resistencias será idéntico al de la solución anterior. No es necesario repetir aquí.

Tenga en cuenta que los textos de ingeniería eléctrica se basan en el flujo de corriente convencional. El método de corriente de bucle, corriente de malla en esos textos ejecutará las corrientes de malla supuestas en el sentido de las agujas del reloj . La corriente convencional sale por el terminal (+) de la batería a través del circuito y regresa al terminal (-). Un aumento de corriente-voltaje convencional corresponde a rastrear la corriente supuesta de (-) a (+) a través de cualquier fuente de voltaje.

A continuación se muestra un ejemplo más de un circuito anterior. La resistencia alrededor del lazo 1 es de 6 Ω, alrededor del lazo 2:3 Ω. La resistencia común a ambos lazos es de 2 Ω. Tenga en cuenta los coeficientes de I ₁ y yo ₂ en el par de ecuaciones. Rastreo de la supuesta corriente del bucle 1 en el sentido de las agujas del reloj a través de B ₁ de (+) a (-) corresponde a un aumento de voltaje de flujo de corriente de electrones.

Por tanto, el signo de los 28 V es positivo. El bucle 2 en sentido antihorario asumió trazas actuales (-) a (+) a través de B ₂ , una caída de voltaje. Por lo tanto, el signo de B ₂ es negativo, -7 en la segunda ecuación de malla. Una vez más, no hay marcas de polaridad en las resistencias. Tampoco figuran en las ecuaciones.

Las corrientes I ₁ =5 A y yo ₂ =1 A son ambos positivos. Ambos fluyen en la dirección de los bucles en el sentido de las agujas del reloj. Esto se compara con los resultados anteriores.

Resumen:

• El método de corriente de malla modificada evita tener que determinar los signos de los coeficientes de la ecuación dibujando todas las corrientes de malla en el sentido de las agujas del reloj para el flujo de corriente convencional.
• Sin embargo, necesitamos determinar el signo de cualquier fuente de voltaje en el bucle. La fuente de voltaje es positiva si la corriente de ccw supuesta fluye con la batería (fuente). El signo es negativo si la corriente de ccw supuesta fluye contra la batería.
• Consulte las reglas anteriores para obtener más detalles.

HOJA DE TRABAJO RELACIONADA:

• Hoja de trabajo de análisis de corriente de malla de CC