Dominando el Método de Voltaje de Nodo para Análisis Preciso de Circuitos

El método de voltaje de nodo resuelve voltajes desconocidos en nodos de circuito en términos de un sistema de ecuaciones LCK. Este análisis parece extraño porque implica reemplazar fuentes de voltaje con fuentes de corriente equivalentes. Además, los valores de resistencia en ohmios se reemplazan por conductancias equivalentes en siemens, G = 1/R. El siemens (S) es la unidad de conductancia, habiendo reemplazado la unidad mho. En cualquier caso S = Ω⁻¹. Y S = mho (obsoleto).

Método para Cálculo de Voltaje de Nodo

Comenzamos con un circuito teniendo fuentes de voltaje convencionales. Un nodo común E₀ se elige como punto de referencia. Los voltajes de nodo E₁ y E₂ se calculan con respecto a este punto.

Reemplazando fuentes de voltaje y resistencias serie asociadas con fuentes de corriente equivalentes y resistencias en paralelo se obtiene el circuito modificado. Sustituya conductancias de resistencias en siemens por resistencias en ohmios.

 
 I1 = E1/R1 = 10/2 = 5 A
 I2 = E2/R5 = 4/1 = 4 A
 G1 = 1/R1 = 1/2 Ω = 0.5 S
 G2 = 1/R2 = 1/4 Ω = 0.25 S
 G3 = 1/R3 = 1/2.5 Ω = 0.4 S
 G4 = 1/R4 = 1/5 Ω = 0.2 S
 G5 = 1/R5 = 1/1 Ω = 1.0 S

Las conductancias en paralelo (resistencias) pueden combinarse por adición de conductancias. Aunque no redibujaremos el circuito. El circuito está listo para la aplicación del método de voltaje de nodo.

 
 GA = G1 + G2 = 0.5 S + 0.25 S = 0.75 S
 GB = G4 + G5 = 0.2 S + 1 S = 1.2 S
 

Derivando un método general de voltaje de nodo, escribimos un par de ecuaciones LCK en términos de voltajes de nodo desconocidos V₁ y V₂ esta vez. Lo hacemos para ilustrar un patrón para escribir ecuaciones por inspección.

 
 GAE1 + G3(E1 - E2) = I1 (1)
 GBE2 - G3(E1 - E2) = I2 (2)
 (GA + G3 )E1 -G3E2 = I1 (1)
 -G3E1 + (GB + G3)E2 = I2 (2)
 

Los coeficientes del último par de ecuaciones arriba han sido reordenados para mostrar un patrón. La suma de conductancias conectadas al primer nodo es el coeficiente positivo del primer voltaje en la ecuación (1). La suma de conductancias conectadas al segundo nodo es el coeficiente positivo del segundo voltaje en la ecuación (2). Los otros coeficientes son negativos, representando conductancias entre nodos. Para ambas ecuaciones, el lado derecho es igual a la respectiva fuente de corriente conectada al nodo. Este patrón nos permite escribir rápidamente las ecuaciones por inspección. Esto conduce a un conjunto de reglas para el método de voltaje de nodo.

Reglas del Método de Voltaje de Nodo:

• Convierta fuentes de voltaje en serie con una resistencia a una fuente de corriente equivalente con la resistencia en paralelo.
• Cambie valores de resistencia a conductancias.
• Seleccione un nodo de referencia (E₀)
• Asigne voltajes desconocidos (E₁)(E₂) ... (E_N) a los nodos restantes.
• Escriba una ecuación LCK para cada nodo 1,2, ... N. El coeficiente positivo del primer voltaje en la primera ecuación es la suma de conductancias conectadas al nodo. El coeficiente para el segundo voltaje en la segunda ecuación es la suma de conductancias conectadas a ese nodo. Repita para el coeficiente del tercer voltaje, tercera ecuación, y otras ecuaciones. Estos coeficientes caen en una diagonal.
• Todos los otros coeficientes para todas las ecuaciones son negativos, representando conductancias entre nodos. La primera ecuación, el segundo coeficiente es la conductancia del nodo 1 al nodo 2, el tercer coeficiente es la conductancia del nodo 1 al nodo 3. Complete coeficientes negativos para otras ecuaciones.
• El lado derecho de las ecuaciones es la fuente de corriente conectada a los respectivos nodos.
• Resuelva el sistema de ecuaciones para los voltajes de nodo desconocidos.

Ejemplo del Método de Voltaje de Nodo

Ejemplo: Configure las ecuaciones y resuelva los voltajes de nodo usando los valores numéricos en la figura anterior.

Solución:

 
 (0.5+0.25+0.4)E1 -(0.4)E2= 5
 -(0.4)E1 +(0.4+0.2+1.0)E2 = -4
 (1.15)E1 -(0.4)E2= 5
 -(0.4)E1 +(1.6)E2 = -4
 E1 = 3.8095
 E2 = -1.5476
 

La solución de dos ecuaciones puede realizarse con una calculadora, o con octave (no mostrado). La solución se verifica con SPICE basado en el diagrama esquemático original con fuentes de voltaje. Aunque, el circuito con fuentes de corriente podría haberse simulado.

 
 V1 11 0 DC 10
 V2 22 0 DC -4
 r1 11 1 2
 r2 1 0 4
 r3 1 2 2.5
 r4 2 0 5
 r5 2 22 1
 .DC V1 10 10 1 V2 -4 -4 1
 .print DC V(1) V(2)
 .end

 v(1) v(2)
 3.809524e+00 -1.547619e+00
 

Un ejemplo más. Este tiene tres nodos. No listamos las conductancias en el diagrama esquemático. Sin embargo, G₁ = 1/R₁, etc.

Hay tres nodos para escribir ecuaciones por inspección. Note que los coeficientes son positivos para la ecuación (1) E₁, ecuación (2) E₂ y ecuación (3) E₃. Estas son las sumas de todas las conductancias conectadas a los nodos. Todos los otros coeficientes son negativos, representando una conductancia entre nodos. El lado derecho de las ecuaciones es la fuente de corriente asociada, 0.136092 A para la única fuente de corriente en nodo 1. Las otras ecuaciones son cero en el lado derecho por falta de fuentes de corriente. Somos demasiado perezosos para calcular las conductancias para las resistencias en el diagrama. Así, las G subscriptadas son los coeficientes.

 (G1 + G2)E1 -G1E2 -G2E3 = 0.136092
 -G1E1 +(G1 + G3 + G4)E2 -G3E3 = 0
 -G2E1 -G3E2 +(G2 + G3 + G5)E3 = 0
 

Somos tan perezosos que entramos resistencias recíprocas y sumas de resistencias recíprocas en la matriz "A" de octave, dejando que octave calcule la matriz de conductancias después de "A=". La línea de entrada inicial fue tan larga que se dividió en tres filas. Esto es diferente a ejemplos previos. La matriz "A" ingresada está delimitada por corchetes de inicio y fin. Los elementos de columna están separados por espacios. Las filas están separadas por "nueva línea". Comas y punto y coma no son necesarios como separadores. Aunque, el vector de corriente en "b" está separado por punto y coma para producir un vector columna de corrientes.

 
octave:12> A = [1/150+1/50 -1/150 -1/50
> -1/150 1/150+1/100+1/300 -1/100
> -1/50 -1/100 1/50+1/100+1/250]
A =
0.0266667 -0.0066667 -0.0200000
-0.0066667 0.0200000 -0.0100000
-0.0200000 -0.0100000 0.0340000

octave:13> b = [0.136092;0;0]
b =
0.13609
0.00000
0.00000

octave:14> x=A\b
x =
24.000
17.655
19.310

Note que los coeficientes diagonales de la matriz "A" son positivos, que todos los otros coeficientes son negativos.

La solución como vector de voltaje está en "x". E₁ = 24.000 V, E₂ = 17.655 V, E₃ = 19.310 V. Estos tres voltajes se comparan a las soluciones previas de corriente de malla y SPICE para el problema del puente desbalanceado. No es coincidencia, pues la fuente de corriente de 0.13609 A fue elegida deliberadamente para producir los 24 V usados como fuente de voltaje en ese problema.

Resumen

• Dada una red de conductancias y fuentes de corriente, el método de voltaje de nodo resuelve voltajes de nodo desconocidos desde ecuaciones LCK.
• Vea las reglas arriba para detalles en escritura de ecuaciones por inspección.
• La unidad de conductancia G es el siemens S. La conductancia es el recíproco de la resistencia: G = 1/R

HOJAS DE TRABAJO RELACIONADAS:

• Hoja de Trabajo: Circuitos de Diodo Precisos
•  Hoja de Trabajo: Leyes de Kirchhoff