Método de voltaje de nodo

El método de análisis de voltaje de nodo resuelve voltajes desconocidos en los nodos del circuito en términos de un sistema de ecuaciones KCL. Este análisis parece extraño porque implica reemplazar fuentes de voltaje con fuentes de corriente equivalentes. Además, los valores de resistencia en ohmios se reemplazan por conductancias equivalentes en siemens, G =1 / R. El siemens (S) es la unidad de conductancia, habiendo reemplazado a la unidad mho. En cualquier caso, S =Ω-1. Y S =mho (obsoleto).

Método para calcular el voltaje del nodo

Comenzamos con un circuito que tiene fuentes de voltaje convencionales. Un nodo común E ₀ se elige como punto de referencia. Los voltajes de nodo E ₁ y E ₂ se calculan con respecto a este punto.

Reemplazar las fuentes de voltaje y las resistencias en serie asociadas con fuentes de corriente equivalentes y resistencias en paralelo produce el circuito modificado. Sustituya la resistencia en ohmios por conductancias de resistencia en siemens.

 I1 =E1 / R1 =10/2 =5 A I2 =E2 / R5 =4/1 =4 A G1 =1 / R1 =1/2 Ω =0,5 S G2 =1 / R2 =1/4 Ω =0,25 S G3 =1 / R3 =1 / 2.5 Ω =0.4 S G4 =1 / R4 =1/5 Ω =0,2 S G5 =1 / R5 =1/1 Ω =1.0 S 

Las conductancias paralelas (resistencias) se pueden combinar mediante la suma de las conductancias. Sin embargo, no volveremos a dibujar el circuito. El circuito está listo para la aplicación del método de voltaje de nodo.

 GA =G1 + G2 =0.5 S + 0.25 S =0.75 S GB =G4 + G5 =0,2 S + 1 S =1,2 S 

Derivando un método de voltaje de nodo general, escribimos un par de ecuaciones de KCL en términos de voltajes de nodo desconocidos V ₁ y V ₂ Esta única vez. Hacemos esto para ilustrar un patrón para escribir ecuaciones mediante inspección.

 GAE1 + G3 (E1 - E2) =I1 (1) GBE2 - G3 (E1 - E2) =I2 (2) (GA + G3) E1 -G3E2 =I1 (1) -G3E1 + (GB + G3) E2 =I2 (2) 

Los coeficientes del último par de ecuaciones anteriores se han reorganizado para mostrar un patrón. La suma de conductancias conectadas al primer nodo es el coeficiente positivo del primer voltaje en la ecuación (1). La suma de conductancias conectadas al segundo nodo es el coeficiente positivo del segundo voltaje en la ecuación (2). Los otros coeficientes son negativos y representan conductancias entre nodos. Para ambas ecuaciones, el lado derecho es igual a la fuente de corriente respectiva conectada al nodo. Este patrón nos permite escribir rápidamente las ecuaciones mediante inspección. Esto conduce a un conjunto de reglas para el método de análisis de voltaje de nodo.

Reglas de voltaje de nodo:

• Convierta fuentes de voltaje en serie con una resistencia en una fuente de corriente equivalente con la resistencia en paralelo.
• Cambie los valores de la resistencia a conductancias.
• Seleccione un nodo de referencia (E ₀ )
• Asignar voltajes desconocidos (E ₁ ) (E ₂ ) ... (E _N ) a los nodos restantes.
• Escriba una ecuación KCL para cada nodo 1,2, ... N. El coeficiente positivo del primer voltaje en la primera ecuación es la suma de conductancias conectadas al nodo. El coeficiente para el segundo voltaje en la segunda ecuación es la suma de conductancias conectadas a ese nodo. Repita para el coeficiente del tercer voltaje, la tercera ecuación y otras ecuaciones. Estos coeficientes caen en diagonal.
• Todos los demás coeficientes de todas las ecuaciones son negativos y representan conductancias entre nodos. La primera ecuación, el segundo coeficiente es la conductancia del nodo 1 al nodo 2, el tercer coeficiente es la conductancia del nodo 1 al nodo 3. Complete los coeficientes negativos para otras ecuaciones.
• El lado derecho de las ecuaciones es la fuente actual conectada a los nodos respectivos.
• Resuelva el sistema de ecuaciones para voltajes de nodo desconocidos.

Ejemplo de método de voltaje de nodo

Ejemplo: Configure las ecuaciones y resuelva los voltajes de los nodos utilizando los valores numéricos de la figura anterior.

Solución:

 (0.5 + 0.25 + 0.4) E1 - (0.4) E2 =5 - (0,4) E1 + (0,4 + 0,2 + 1,0) E2 =-4 (1,15) E1 - (0,4) E2 =5 - (0,4) E1 + (1,6) E2 =-4 E1 =3.8095 E2 =-1,5476 

La solución de dos ecuaciones se puede realizar con una calculadora o con una octava (no se muestra). La solución se verifica con SPICE en base al diagrama esquemático original con fuentes de voltaje. Sin embargo, el circuito con las fuentes de corriente podría haberse simulado.

 V1 11 0 CC 10 V2 22 0 CC -4 r1 11 1 2 r2 1 0 4 r3 1 2 2,5 r4 2 0 5 r5 2 22 1 .DC V1 10 10 1 V2 -4 -4 1 .print DC V (1) V (2) .fin v (1) v (2) 3.809524e + 00 -1.547619e + 00 

Un ejemplo más. Éste tiene tres nodos. No enumeramos las conductancias en el diagrama esquemático. Sin embargo, G ₁ =1 / R ₁ , etc.

Hay tres nodos para escribir ecuaciones mediante inspección. Tenga en cuenta que los coeficientes son positivos para la ecuación (1) E ₁ , ecuación (2) E ₂ y ecuación (3) E ₃ . Estas son las sumas de todas las conductancias conectadas a los nodos. Todos los demás coeficientes son negativos, lo que representa una conductancia entre nodos. El lado derecho de las ecuaciones es la fuente de corriente asociada, 0.136092 A para la única fuente de corriente en el nodo 1. Las otras ecuaciones son cero en el lado derecho por falta de fuentes de corriente. Somos demasiado perezosos para calcular las conductancias de las resistencias en el diagrama. Por lo tanto, las G subindicadas son los coeficientes.

 (G1 + G2) E1 -G1E2 -G2E3 =0.136092 -G1E1 + (G1 + G3 + G4) E2 -G3E3 =0 -G2E1 -G3E2 + (G2 + G3 + G5) E3 =0 

Somos tan perezosos que ingresamos resistencias recíprocas y sumas de resistencias recíprocas en la matriz de octava "A", dejando que la octava calcule la matriz de conductancias después de "A =". La línea de entrada inicial era tan larga que se dividió en tres filas. Esto es diferente a los ejemplos anteriores. La matriz "A" ingresada se delimita comenzando y terminando con corchetes. Los elementos de columna están separados por espacios. Las filas están separadas por "nueva línea". Las comas y los puntos y comas no son necesarios como separadores. Sin embargo, el vector actual en "b" está separado por punto y coma para producir un vector columna de corrientes.

 octava:12> A =[1/150 + 1/50 -1/150 -1/50> -1/150 1/150 + 1/100 + 1/300 -1/100> -1/50 -1/100 1/50 + 1/100 + 1/250] A =0,0266667 -0,0066667 -0,0200000 -0,0066667 0,0200000 -0,0100000 -0.0200000 -0.0100000 0.0340000 octava:13> b =[0.136092; 0; 0] b =0.13609 0,00000 0,00000 octava:14> x =A \ b x =24.000 17.655 19.310 

Tenga en cuenta que los coeficientes diagonales de la matriz "A" son positivos, que todos los demás coeficientes son negativos.

La solución como vector de voltaje está en "x". E ₁ =24.000 V, E ₂ =17,655 V, E ₃ =19,310 V. Estos tres voltajes se comparan con la corriente de malla anterior y las soluciones SPICE para el problema del puente desequilibrado. Esto no es una coincidencia, ya que la fuente de corriente de 0.13609 A se eligió intencionalmente para producir los 24 V utilizados como fuente de voltaje en ese problema.

Resumen

• Dada una red de conductancias y fuentes de corriente, el método de análisis de circuitos de voltaje de nodo resuelve voltajes de nodo desconocidos a partir de ecuaciones de KCL.
• Consulte las reglas anteriores para obtener detalles sobre cómo escribir las ecuaciones mediante inspección.
• La unidad de conductancia G es el siemens S. La conductancia es el recíproco de la resistencia:G =1 / R

HOJAS DE TRABAJO RELACIONADAS:

• Hoja de trabajo de circuitos de diodos precisos
• Hoja de trabajo de las leyes de Kirchhoff