Entendiendo Celdas Don't-Care en Mapas de Karnaugh

Hasta ahora, hemos abordado problemas de reducción lógica donde cada combinación de entrada está completamente especificada. Una tabla de verdad de 3 variables, por ejemplo, contiene 2^3 = 8 entradas y el mapa de Karnaugh correspondiente está completamente poblado.

En muchas aplicaciones reales, sin embargo, no necesitamos definir cada entrada posible. Algunas combinaciones nunca ocurrirán, y la salida para esos estados "imposibles" es irrelevante. Estas se llaman condiciones don't-care (no importa).

Por ejemplo, al trabajar con números Decimal Codificado en Binario (BCD) codificados en cuatro bits, los códigos válidos son 0000 a 1001 (decimal 0–9). Los seis patrones binarios 1010 a 1111 corresponden a dígitos hexadecimales A a F y nunca se usan. Consecuentemente, podemos marcar esos seis patrones como don't-cares y dejarlos en blanco en una tabla de verdad o mapa de Karnaugh.

Celdas Don't-Care

En un mapa de Karnaugh, las celdas don't-care se representan con un asterisco (*) y pueden tratarse como 0 o 1 al agrupar, o simplemente ignorarse. Usarlas puede permitir agrupamientos mayores, que a menudo conducen a una expresión booleana más simple.

Incluya un don't-care en un grupo solo si reduce la complejidad general de la lógica. No hay obligación de usar cada celda don't-care.

Considere una función que debe emitir 1 para la entrada ABC = 101 mientras que todas las demás entradas entre 000 y 101 son irrelevantes. Las dos combinaciones 110 y 111 se marcan como don't-cares. Podemos derivar tres expresiones simplificadas diferentes:

• Sin usar don't-cares: Out = AB'C.
• Incluyendo un don't-care para formar un par: Out = AC.
• Usando un don't-care para formar un grupo de cuatro celdas de ceros: también Out = AC.

Estos ejemplos ilustran que las celdas don't-care pueden tratarse como 1s o 0s, según qué elección produzca la expresión más simple.

Ahora pasamos a una aplicación práctica: diseñar lógica de lámparas para una exhibición de bicicleta estática en un museo de ciencias local.

Mientras el ciclista pedalea más rápido, un pequeño generador DC produce voltaje proporcional a la velocidad. Este voltaje alimenta una placa tacómetro que limita la señal para que el convertidor Analógico-a-Digital (A/D) posterior nunca genere los dos códigos 3-bit más altos (110 y 111). El convertidor produce por tanto uno de los siguientes códigos: 000 (sin movimiento), 001, 010, 011, 100, o 101.

Cinco lámparas (L1 a L5) forman una visualización de barra. El patrón de encendido es:

• 000 – ninguna lámpara enciende.
• 001 – L1 enciende.
• 010 – L1 y L2 encienden.
• 011 – L1, L2 y L3 encienden.
• 100 – L1, L2, L3 y L4 encienden.
• 101 – todas las cinco lámparas encienden.

Como los códigos 110 y 111 nunca pueden ocurrir, los tratamos como don't-cares. Los siguientes mapas de Karnaugh se construyen para cada lámpara, con 0s para el estado 000, 1s para los estados de encendido apropiados, y *s para 110 y 111.

Por ejemplo, la lámpara L5 solo está encendida para ABC = 101. Su mapa contiene un solo 1 en esa celda y ceros en las demás. La lámpara L4 está encendida para ABC = 100 y 101, así que su mapa tiene 1s en esas dos celdas. La lámpara L3 enciende para 011, 100 y 101; L2 para 010, 011, 100 y 101; L1 para todo código excepto 000.

Agrupando los 1s y explotando don't-cares donde sea beneficioso, la expresión booleana de cada lámpara se simplifica dramáticamente. En particular, la expresión de L4 se reduce simplemente a A (el bit más significativo), eliminando la necesidad de cualquier compuerta lógica. Las otras lámparas también se benefician de complejidad reducida.

El diagrama de compuertas resultante (mostrado arriba) conecta las cinco expresiones minimizadas a inversores de colector abierto (serie 74 7406) que controlan los LEDs. La salida L1 usa una compuerta OR de 2 entradas combinando (A + B) con C, produciendo la suma lógica A + B + C.

Las salidas de colector abierto son ideales para controladores LED porque permiten corriente a través de carga externa. Un nivel alto activo en cualquier inversor baja su salida, drenando corriente a través del LED y su resistor limitador. Aunque los LEDs en esta exhibición podrían ser parte de un relé de estado sólido controlando lámparas de 120 VAC, esa circuitería está fuera del alcance de este diseño lógico.

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