Relaciones matemáticas mágicas para nanoagrupaciones:erratas y apéndice

Resumen

Corregimos fórmulas mágicas para estructuras cúbicas centradas en el cuerpo (bcc). La lógica lógica de esto se corrobora aún más mediante cálculos de la función de distribución radial (RDF) para varias estructuras cristalinas. Agregamos resultados para cubos truncados que se pueden encontrar en la naturaleza.

Introducción

Recientemente presentamos fórmulas mágicas para varios nanoclusters de cristales [1]. Sin embargo, los cristalógrafos saben que las estructuras bcc tienen una coordinación global de ocho. El RDF determina los picos vecinos más cercanos desde un punto central, y la intensidad máxima integrada refleja la coordinación correspondiente para esos vecinos. Usamos un método establecido [2] para calcular el RDF para varios cristales. Dado que los cubos bcc ideales tienen coordinación cn =1, proporcionamos resultados para clústeres bcc truncados y cúbicos centrados en caras (fcc).

Texto principal

Al revisar las muchas fórmulas mágicas que aparecen en [1], se nos ocurrió que la ecuación (1), que define la matriz de adyacencia, depende de la estructura cristalina.

$$ \ mathbf {A} (i, j) =\ left \ {\ begin {array} {ll} 1 &\ text {if} \ r_ {ij} Aquí, r _ij es la distancia euclidiana entre el átomo i y atom j . Si bien es cierto que r _c =1,32 · r _min es necesario para las diferentes longitudes de enlace en la estructura dodecaédrica, para la estructura bcc, este no es el caso. Hemos calculado [2] el RDF para estructuras seleccionadas, y algunos de los vecinos más cercanos se tabulan a continuación (Tabla 1). El RDF tiene ubicaciones de picos en sitios vecinos, y la intensidad integrada del pico correspondiente proporciona la coordinación. Normalizamos los picos en R ( r ) dividiendo por el primer pico, por lo tanto, las ubicaciones de los picos se vuelven adimensionales. Como indica la tabla, las estructuras bcc tienen \ (r_ {c} =2 / \ sqrt {3} \ cdot r _ {\ text {min}} \ approx 1.15 \ cdot r _ {\ text {min}} \), lo que significa hay que cambiar la matriz de adyacencia y, por tanto, las fórmulas mágicas. Tenga en cuenta que los picos vecinos no son lo mismo que las conchas, que dan lugar a los "números mágicos". El dodecaedro es un caso complicado, donde los terceros vecinos aparecen en r ₂ =1,31 · r _min . Este caso es desafiante y requiere más análisis, que está en curso. Los resultados de bcc corregidos se muestran a continuación (Tablas 2, 3, 4, 5 y 6). Estos resultados concuerdan con los de van Hardeveld y Hartog [3] si uno desplaza el índice en uno, es decir, usamos la secuencia 0, 1, 2 ... y ellos usan 1, 2, 3 ... como su secuencia. Si bien los cubos perfectos pueden ser de interés matemático, es poco probable que aparezcan en la naturaleza debido a los enlaces simples en las esquinas. Por lo tanto, hemos generado cubos bcc y fcc truncados con las esquinas eliminadas y sus resultados se incluyen en (Tablas 7 y 8). Las fórmulas mágicas de los índices para grupos seleccionados se resumen en la Tabla 9.

Conclusiones

Hemos corregido fórmulas mágicas para estructuras bcc y hemos agregado resultados del RDF y para cubos bcc y fcc truncados.

Disponibilidad de datos y materiales

Los conjuntos de datos que respaldan las conclusiones de este artículo pueden obtenerse del autor correspondiente.

Abreviaturas

bcc:: Cúbico centrado en el cuerpo
fcc:: Cúbico centrado en la cara
RDF:: Función de distribución radial

Micro y nanoensamblaje de partículas compuestas por adsorción electrostática Predicción y análisis eficientes del atrapamiento óptico a nanoescala mediante el método de interconexión y desgarro de elementos finitos

Nanomateriales

Materiales poliméricos

Biologicos

Teñir

Especias