Teorema de Millman:análisis de circuitos de CA y CC:ejemplos

Teorema de Millman para circuitos de CA y CC:ejemplos resueltos paso a paso

Teorema de Millman

El teorema de Millman se usa en el análisis de circuitos cuando solo tiene ramas en paralelo. Por lo tanto, este teorema es útil para calcular el voltaje al final de un circuito. El teorema de Millman solo es aplicable al circuito que contiene una red paralela.

El teorema de Millman es una combinación del teorema de Thevenin y teorema de Norton . A veces, este teorema también se denomina Teorema del Generador Paralelo . Este teorema es propuesto por el profesor de ingeniería eléctrica Jacob Millman . Y después de su nombre, este teorema se denomina teorema de Millman.

El teorema de Millman establece que;

Significa que podemos encontrar el voltaje a través de las ramas paralelas de la red dada. Este teorema reduce la complejidad de la red cuando se conectan varias fuentes, como se muestra en la siguiente figura.

Según el teorema de Millman; el voltaje a través de la carga es;

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Ecuación matemática

Como se muestra en la figura anterior, el circuito que tiene un número n de fuentes de voltaje (E₁ , E₂ , E₃ , …, E_n ). Y la resistencia interna de las fuentes es R₁ , R₂ , R₃ , …, R_n respectivamente. De acuerdo con el teorema de Millman, cualquier circuito puede ser reemplazado por la siguiente red. La siguiente figura muestra el circuito equivalente de Millman.

Ahora, necesitamos encontrar el valor de la fuente de voltaje (E) y la resistencia equivalente (R). El circuito anterior es similar al circuito equivalente de Thevenin. Por tanto, podemos decir que la fuente de tensión (E) es igual a la tensión equivalente de Thevenin (V_TH ) y la resistencia equivalente es la resistencia equivalente de Thevenin (R_TH ).

Encontramos el circuito equivalente de Norton para hacer un cálculo fácil. Para eso, haremos una transformación de fuente. Y convierta todas las fuentes de voltaje en fuentes de corriente.

Tenemos una resistencia interna conectada en serie con la fuente de voltaje. Después de la transformación de la fuente, la fuente de voltaje se convierte en la fuente de corriente y la resistencia interna se conecta en paralelo con la fuente de corriente. Por lo tanto, el circuito anterior se convierte como se muestra en la siguiente figura.

Según la ley de ohm, el valor de las fuentes de corriente será el E₁ /R₁ , E₂ /R₂ , E₃ /R₃ , …, E_n /R_n . Ahora, para encontrar la corriente equivalente de Norton (I_N ), necesitamos acortar los terminales de carga. Y encuentra la corriente que pasa por esa rama.

En el nodo A₁ , la corriente se divide en dos caminos. Un camino es a través de la resistencia R₁ y el segundo camino es desde la rama cortocircuitada. Como sabemos, la corriente siempre fluye por el camino de baja resistencia. Por tanto, en esta condición, toda la corriente pasa por la rama cortocircuitada. Y la corriente que pasa por la resistencia es cero.

Esto mismo sucede para todas las fuentes en el nodo A₂ , A₃ , …, A_n . Y la corriente que pasa por todas las resistencias es cero.

Ahora, en el nodo A₂ , la corriente proveniente del nodo A₁ está agregado. De manera similar, en el nodo A3, la corriente proveniente del nodo A₂ está agregado. Por lo tanto, en el nodo A_n , actual de todos los nodos agregados. La corriente total es una suma de todas las corrientes y se conoce como corriente de Norton (I_N ).

Entonces, encontramos la corriente equivalente de Norton. Ahora, necesitamos encontrar la resistencia equivalente de Norton. Y para eso, debemos eliminar todas las fuentes de energía presentes en el circuito abriendo el circuito de la fuente de corriente y cortocircuitando la fuente de voltaje.

En la figura anterior, solo tenemos una fuente actual. Eliminaremos estas fuentes de corriente mediante un circuito abierto. Y necesitamos quitar la carga para calcular la resistencia equivalente. Por lo tanto, el circuito restante se parece a la figura de abajo.

Como se muestra en la figura anterior, podemos ver que todas las resistencias están conectadas en paralelo. Y esta combinación en paralelo es igual a la resistencia equivalente.

R_eq =R_N =R ₁ || R ₂ || R ₃ … || R_n

Ahora, coloque estos valores en el circuito equivalente de Norton como se muestra en la figura a continuación.

Si convertimos este circuito equivalente de Norton en el circuito equivalente de Thevenin, podemos calcular el valor de E y R a partir de la corriente de Norton I_N y Norton Resistencia R_N .

Según la ley de Ohm;

E =I_N x R_N

Hagamos la ecuación anterior en forma general para n-número de ramas.

Entonces, tenemos el valor de la fuente de voltaje. Y el valor de la resistencia equivalente es igual a la resistencia equivalente de Norton. Por lo tanto, podemos obtener el circuito equivalente de Millman (fig-2).

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Pasos a Seguir para el Teorema de Millman

Paso-1 El teorema de Milliman es el único aplicable a la red o circuito que tiene un mayor número de ramas paralelas. Entonces, asumimos que necesitamos resolver el circuito con varias ramas paralelas que contienen una fuente de voltaje conectada en serie con la resistencia interna.

Paso 2 Haz una lista de las resistencias internas o resistencias conectadas en serie y las fuentes de tensión.

Paso 3 Encuentre la resistencia equivalente (R) entre los terminales de carga cortocircuitando las fuentes de voltaje.

Paso 4 Aplique el teorema de Millman y encuentre el valor del voltaje (E) a través de las terminales de carga. Para eso usa la ecuación-1. Este voltaje es el voltaje a través de la carga.

Paso 5 Ponga el valor de R y E en el circuito equivalente de Millman (fig-2).

Paso 6 Aplique KVL al bucle para encontrar la corriente que pasa a través de la carga.

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Análisis del circuito de CC utilizando el teorema de Millman

Ejemplo #1

Encuentre la corriente y el voltaje a través de la terminal de carga usando el teorema de Millman.

Paso-1 Al observar la figura anterior, podemos decir que las cuatro ramas están conectadas en paralelo. Y podemos aplicar el teorema de Millman.

Paso 2 Hay tres ramas a excepción de la rama de carga. Entonces, hay tres voltajes y tres resistencias como se indica a continuación.

E ₁ =12V y R ₁ =2Ω

E ₂ =0 V y R ₁ =4Ω

E ₃ =16 V y R ₁ =4Ω

Paso 3 Para encontrar la resistencia equivalente, debemos eliminar las fuentes de voltaje mediante un cortocircuito y abrir los terminales de carga. Por lo tanto, la cifra restante se muestra en la siguiente figura.

R_eq =1Ω

Como se muestra en la figura anterior, todas las resistencias están en paralelo. Entonces, la resistencia equivalente es;

Paso 4 Ahora, aplica el teorema de Millman.

En este ejemplo, tenemos 3 ramas. Por lo tanto, usamos n=3.

Coloque los valores enumerados anteriormente en esta ecuación.

E =10V

Este es el voltaje a través de la terminal de carga.

Paso 5 Ponga estos valores en el circuito equivalente de Millman.

Paso 6 Según la ley de ohm,

I_L =1A

Por lo tanto, el voltaje a través de la carga es de 10 V y la corriente que pasa a través de la carga es de 1 A.

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Análisis de un circuito de CA usando el teorema de Millman

Ejemplo #2

Encuentre la corriente y el voltaje a través de los terminales de carga utilizando el teorema de Millman.

Paso-1 Como se muestra en la figura anterior, cuatro ramas están conectadas en paralelo. Por lo tanto, podemos aplicar el teorema de Millman.

Paso 2 Si no consideramos la rama de carga, hay tres ramas. Para facilitar el cálculo, enumeraremos los voltajes y la impedancia. En el caso de un circuito de CA, necesitamos usar la palabra impedancia en lugar de resistencia.

Los valores de las fuentes de voltaje se dan en forma polar. Pero, los valores de las impedancias se dan en forma rectangular. Entonces, necesitamos convertir los valores de la fuente de voltaje en forma polar.

V ₁ =12∠60° =6 + j 10.392

V ₂ =9∠0° =9 + j 0

V ₃ =6∠30° =5,196 + j 3

Las impedancias se dan en formas rectangulares. Entonces, lo enumeramos tal como está.

Z ₁ =6Ω

Z ₂ =j 6Ω

Z ₃ =–j 6Ω

Paso 3 Encuentre la impedancia equivalente. Como se muestra en el ejemplo anterior, debemos eliminar todas las fuentes de voltaje mediante un cortocircuito. Y el circuito restante es como se muestra en la siguiente figura.

Aquí, todas las impedancias están conectadas en paralelo. Entonces, la impedancia equivalente será;

Z _equivalente =6Ω

Paso 4 Ahora, aplica el teorema de Milliman,

Aquí tenemos tres ramas. Por lo tanto, n es igual a 3.

V =6 + 1j 0,392 – j 9 + j 5.196 – 3

V =3 + j 6.588

Ahora, necesitamos encontrar el valor RMS.

V =7,23 V

Paso 5 Ponga estos valores en el circuito equivalente de Millman.

Paso 6 Según la ley de ohm,

I_L =0.9A

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Limitación del teorema de Millman

El teorema de Millman es muy útil para resolver la red. Pero hay algunas limitaciones que se enumeran a continuación.

• Este teorema no se aplica al circuito que tiene una fuente dependiente entre la fuente independiente.
• Para el circuito que tiene menos de dos fuentes independientes, este teorema no es útil.
• Este teorema no se aplica al circuito que tiene solo elementos en serie.
• Cuando hay un elemento conectado entre la fuente, este teorema no puede ser aplicable.

Aplicaciones del Teorema de Millman

El teorema de Millman es ampliamente utilizado en el análisis de redes para resolver circuitos complejos. La aplicación del teorema de Millman se muestra a continuación.

• El teorema de Millman es más útil para encontrar el voltaje y la corriente de la impedancia de carga en caso de que haya una mayor cantidad de ramas paralelas disponibles con varias fuentes de voltaje.
• El cálculo de este teorema es fácil. No requiere el uso de más ecuaciones.
• Este teorema se usa para resolver el circuito complejo que tiene elementos complejos como Op-Amp.

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