Ejemplos de simplificación de circuitos

Comencemos con un circuito de compuerta de semiconductores que necesita una simplificación.

Se supone que las señales de entrada "A", "B" y "C" provienen de interruptores, sensores o quizás otros circuitos de puerta.

Dónde se originan estas señales no es un problema en la tarea de reducción de puertas.

Cómo escribir una expresión booleana para simplificar circuitos

Nuestro primer paso en la simplificación debe ser escribir una expresión booleana para este circuito.

Esta tarea se realiza fácilmente paso a paso si comenzamos escribiendo sub-expresiones en la salida de cada puerta, correspondientes a las respectivas señales de entrada para cada puerta.

Recuerde que las puertas OR son equivalentes a la suma booleana, mientras que las puertas AND son equivalentes a la multiplicación booleana.

Por ejemplo, escribiré subexpresiones en las salidas de las tres primeras puertas:

. . . luego otra subexpresión para la siguiente puerta:

Finalmente, la salida ("Q") es igual a la expresión AB + BC (B + C):

Ahora que tenemos una expresión booleana con la que trabajar, necesitamos aplicar las reglas del álgebra booleana para reducir la expresión a su forma más simple (la más simple definida como la que requiere la menor cantidad de puertas para implementar):

La expresión final, B (A + C), es mucho más simple que la original, pero realiza la misma función.

Si desea verificar esto, puede generar una tabla de verdad para ambas expresiones y determinar el estado de Q (la salida de los circuitos) para las ocho combinaciones de estados lógicos de A, B y C, para ambos circuitos. Las dos tablas de verdad deben ser idénticas.

Generación de diagramas esquemáticos a partir de expresiones booleanas

Ahora, debemos generar un diagrama esquemático a partir de esta expresión booleana.

Para hacer esto, evalúe la expresión, siguiendo el orden matemático apropiado de las operaciones (multiplicación antes de la suma, operaciones entre paréntesis antes que cualquier otra cosa) y dibuje puertas para cada paso.

Recuerde nuevamente que las puertas OR son equivalentes a la suma booleana, mientras que las puertas AND son equivalentes a la multiplicación booleana.

En este caso, comenzaríamos con la subexpresión “A + C”, que es una puerta OR:

El siguiente paso para evaluar la expresión "B (A + C)" es multiplicar (puerta AND) la señal B por la salida de la puerta anterior (A + C):

Obviamente, este circuito es mucho más simple que el original, ya que solo tiene dos puertas lógicas en lugar de cinco.

Tal reducción de componentes da como resultado una mayor velocidad de operación (menos tiempo de retardo desde la transición de la señal de entrada a la transición de la señal de salida), menos consumo de energía, menos costo y mayor confiabilidad.

Cómo utilizar la simplificación booleana para circuitos de relés electromecánicos

Los circuitos de relés electromecánicos, que suelen ser más lentos, consumen más energía eléctrica para funcionar, cuestan más y tienen una vida media más corta que sus homólogos semiconductores, se benefician enormemente de la simplificación booleana. Consideremos un circuito de ejemplo:

Como antes, nuestro primer paso para reducir este circuito a su forma más simple debe ser desarrollar una expresión booleana a partir del esquema.

La forma más fácil que he encontrado para hacer esto es seguir los mismos pasos que normalmente seguiría para reducir una red de resistencias en serie en paralelo a una sola resistencia total.

Por ejemplo, examine la siguiente red de resistencias con sus resistencias dispuestas en el mismo patrón de conexión que los contactos de relé en el circuito anterior, y la fórmula de resistencia total correspondiente:

En la figura anterior, se utiliza un símbolo de guión largo (-) para representar la conexión en serie de resistencias.

Recuerde que los contactos en paralelo son equivalentes a la suma booleana, mientras que los contactos en serie son equivalentes a la multiplicación booleana.

Escriba una expresión booleana para este circuito de contacto de relé, siguiendo el mismo orden de precedencia que seguiría al reducir una red de resistencias en serie-paralelo a una resistencia total.

Puede resultar útil escribir una subexpresión booleana a la izquierda de cada "peldaño" de la escalera para ayudar a organizar la escritura de expresiones:

Ahora que tenemos una expresión booleana con la que trabajar, necesitamos aplicar las reglas del álgebra booleana para reducir la expresión a su forma más simple (la más simple definida como la que requiere la menor cantidad de contactos de relé para implementar):

Los más inclinados a las matemáticas deberían poder ver que los dos pasos que emplean la regla “A + AB =A” pueden combinarse en un solo paso, la regla se puede expandir a:“A + AB + AC + AD +. . . =A ”

Como puede ver, el circuito reducido es mucho más simple que el original, pero realiza la misma función lógica:

REVISAR:

• Para convertir un circuito de puerta en una expresión booleana, etiquete cada salida de puerta con una subexpresión booleana correspondiente a las señales de entrada de las puertas, hasta que se alcance una expresión final en la última puerta.
• Para convertir una expresión booleana en un circuito de puerta, evalúe la expresión usando el orden estándar de operaciones:multiplicación antes de la suma y operaciones entre paréntesis antes que cualquier otra cosa.
• Para convertir un circuito de lógica de escalera en una expresión booleana, etiquete cada renglón con una subexpresión booleana correspondiente a las señales de entrada de los contactos, hasta que se alcance una expresión final en la última bobina o luz. Para determinar el orden correcto de evaluación, trate los contactos como si fueran resistencias y como si estuviera determinando la resistencia total de la red serie-paralelo formada por ellos. En otras palabras, busque contactos que sean directamente en serie o directamente en paralelo entre sí primero, luego "colapsar" en sub-expresiones booleanas equivalentes antes de pasar a otros contactos.
• Para convertir una expresión booleana en un circuito de lógica de escalera, evalúe la expresión usando el orden estándar de operaciones:multiplicación antes de la suma y operaciones entre paréntesis antes que cualquier otra cosa.

HOJAS DE TRABAJO RELACIONADAS:

• Hoja de trabajo de expresiones de suma de productos y producto de sumas
• Hoja de trabajo de álgebra booleana