Unidad 2: Ejes Programables y Sistemas de Cotas de Herramientas CNC – Dominando las Coordenadas Cartesianas

OBJETIVO

Al completar esta unidad, deberías ser capaz de:

• Entender el sistema de coordenadas cartesianas.
• Entender las coordenadas cartesianas del plano.
• Entender las coordenadas cartesianas del espacio tridimensional.
• Entender los cuatro cuadrantes.
• Explicar la diferencia entre coordenadas polares y rectangulares.
• Identificar los ejes programables en una máquina CNC.

EL SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Las coordenadas cartesianas permiten especificar la ubicación de un punto en el plano o en el espacio tridimensional. Las coordenadas cartesianas o rectangulares de un punto son un par de números (en dos dimensiones) o una terna (en tres dimensiones) que especifican distancias con signo desde los ejes coordenados. Primero debemos entender un sistema de coordenadas para definir nuestras direcciones y posición relativa. Un sistema usado para definir puntos en el espacio estableciendo direcciones (ejes) y una posición de referencia (origen). Un sistema puede ser rectangular o polar.

Así como los puntos en una línea pueden ponerse en correspondencia uno a uno con la recta numérica real, los puntos en un plano pueden ponerse en correspondencia con pares de números reales usando dos líneas coordenadas. Para ello, construimos dos líneas coordenadas perpendiculares que se intersectan en sus orígenes; por conveniencia. Asignamos un conjunto de graduaciones equidistantes a los ejes x e y partiendo del origen en ambas direcciones, izquierda y derecha (eje x) y arriba y abajo (eje y). Hacemos una línea numérica vertical con dirección positiva hacia arriba y negativa hacia abajo. La otra horizontal con positiva a la derecha y negativa a la izquierda. Las dos líneas se llaman ejes coordenados; la horizontal es el eje x, la vertical el eje y, y juntas forman el sistema de coordenadas cartesianas o rectangular. El punto de intersección se denota por O y es el origen. Ver Figura 1.

Figura 1

Básicamente, son dos rectas numéricas reales juntas: una izquierda-derecha, otra arriba-abajo. La horizontal se llama eje x y la vertical eje y.

El Origen

El punto (0,0) se llama "El Origen", a veces denotado con la letra "O".

Recta Numérica Real

La base de este sistema es la recta numérica real marcada a intervalos iguales. El eje se etiqueta (X, Y o Z). Un punto se designa como Origen. Números a un lado se marcan positivos y al otro negativos. Ver Figura 2.

Figura 2. Recta numérica eje X

Coordenadas cartesianas del plano

Un plano con un sistema de coordenadas rectangular es un plano coordenado o plano x-y. Mostraremos cómo establecer correspondencia uno a uno entre puntos en un plano coordenado y pares de números reales. Si A es un punto en un plano coordenado, trazamos dos líneas por A, una perpendicular al eje x y otra al eje y. Si la primera intersecta el eje x en la coordenada x y la segunda el eje y en la coordenada y, asociamos el par (x,y) con A (Ver Figura 2). El número x es la abscisa y y la ordenada; decimos que A es el punto con coordenadas (x,y) y lo denotamos A(x,y). El punto (0,0) es el Origen.

Abscisa y Ordenada:

Las palabras "Abscisa" y "Ordenada" son solo los valores x e y:

• Abscisa: el valor horizontal ("x") en un par de coordenadas: qué tan lejos está el punto a lo largo.
• Ordenada: el valor vertical ("y") en un par de coordenadas: qué tan arriba o abajo está el punto.

Figura 3

Valores Negativos de X e Y:

En la recta numérica real también puedes tener valores negativos. Negativo: parte de cero y va en dirección opuesta; Ver Figura 4.

Figura 4

Así, para un número negativo:

• ve a la izquierda para x
• ve hacia abajo para y

Por ejemplo (-3,5) significa: ve a la izquierda 3 en el eje x, luego sube 5 en el eje y (Cuadrante II: x negativo, y positivo). Y (-3,-5): ve a la izquierda 3 en x, luego baja 5 en y (Cuadrante III: ambos negativos). Usando coordenadas cartesianas, marcas un punto en un gráfico por qué tan lejos y qué tan arriba está; Ver Figura 5. El punto (12,5) está 12 unidades a lo largo del eje x y 5 unidades arriba en el eje y.

Figura 5

Ejes X e Y:

La línea horizontal se llama eje x y la vertical eje y; ambas pasan por el cero (Origen (0,0)).

Ponlos juntos en un gráfico… Ver Figura 6.

Figura 6

Básicamente, es un conjunto de dos rectas numéricas reales.

Eje: La línea de referencia desde la cual se miden distancias.

Ejemplo:

Punto (6,4): ve 6 unidades en dirección x, luego 4 unidades arriba en dirección y, y "marca el punto".

Puedes recordar cuál eje es cuál porque las coordenadas siempre se escriben en cierto orden:

• primero la distancia horizontal,
• luego la vertical.

Par Ordenado:

Los números se separan por coma y se ponen paréntesis alrededor: (7,4).

Ejemplo: (7,4) significa 7 unidades a la derecha (eje x) y 4 unidades arriba (eje y).

Coordenadas cartesianas del espacio tridimensional

En el espacio tridimensional (espacio xyz), orientado en ángulo recto al plano xy. El eje z pasa por el origen del plano xy. Las coordenadas se determinan según desplazamientos este-oeste para x, norte-sur para y, y arriba-abajo para z desde el origen. El sistema cartesiano se basa en tres ejes coordenados mutuamente perpendiculares: x, y, z. Ver Figura 6 abajo. Los tres ejes se intersectan en el punto llamado origen. Imagina el origen como el punto donde las paredes en la esquina de una habitación se encuentran con el suelo. El eje x es la línea horizontal donde la pared izquierda y el suelo se intersectan. El eje y es la horizontal donde la pared derecha y el suelo se intersectan. El eje z es la vertical donde las paredes se intersectan. Las partes de las líneas que ves dentro de la habitación son las porciones positivas de cada eje. Las partes negativas serían las continuaciones fuera de la habitación.

Figura 7. Sistema de Coordenadas Cartesianas 3D

Ejes cartesianos tridimensionales. Una representación de los tres ejes. Los ejes positivos x, y, z son los lados etiquetados. El origen es la intersección de todos. La rama de cada eje en el lado opuesto al origen (lado sin etiqueta) es la parte negativa.

Al tratar movimiento 3D, se establece un sistema de coordenadas adecuado. El tipo más directo es el sistema cartesiano. Consiste en tres ejes mutuamente perpendiculares: X, Y, Z. Por convención, la orientación es tal que cuando el dedo índice, medio y pulgar de la mano derecha se configuran mutuamente perpendiculares, pueden alinearse con X, Y, Z respectivamente. Tal sistema se llama diestro (right-handed). Ver Figura 7. El punto de intersección de los tres ejes se denomina origen.

Figura 8. Sistema Cartesiano Diestro

Las coordenadas cartesianas de un punto en tres dimensiones son una terna (x,y,z). Los tres números especifican la distancia con signo desde el origen a lo largo de los ejes x, y, z respectivamente. Pueden visualizarse formando una caja con aristas paralelas a los ejes y esquinas opuestas en el origen y el punto dado.

Los puntos pueden definirse ahora en un volumen tridimensional. Esto permite definir puntos en tres dimensiones desde el origen. Las coordenadas (x,y,z) especifican la distancia con signo desde el origen a lo largo de x, y, z. El eje z se convierte en la tercera entrada al definir ubicaciones.

Dada la analogía de la esquina de la habitación, podríamos formar las coordenadas del punto en la cima de tu cabeza: imagina que mides 5 metros en el eje z, caminas 2 metros desde el origen a lo largo del eje x, giras a la izquierda y caminas 4 metros paralelos al eje y dentro de la habitación. Las coordenadas cartesianas del punto en la cima de tu cabeza serían (2,4,5).

Por ejemplo, una notación (2,4,5) corresponde a X2, Y4, Z5. Ver Figura 8.

3 Dimensiones

Las coordenadas cartesianas pueden usarse para localizar puntos en 3 dimensiones como en este ejemplo:

Figura 9. El punto (2, 4, 5) en coordenadas cartesianas tridimensionales.

Cuadrantes

Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro partes, llamadas cuadrantes (Ver Figura 9). Los cuadrantes se numeran en sentido antihorario, empezando por el superior derecho, etiquetados I, II, III, IV con designaciones de ejes como se muestra.

Figura 10

Cuatro Cuadrantes:

Al incluir valores negativos, los ejes x e y dividen el espacio en 4 partes: Cuadrantes I, II, III, IV (numerados antihorariamente).

• Cuadrante I: x e y positivos
• Cuadrante II: x negativo (y positivo)
• Cuadrante III: ambos negativos
• Cuadrante IV: x positivo, y negativo

Cuadrante	X (Horizontal)	Y (Vertical)	Ejemplo
I	Positivo	Positivo	(3,2)
II	Negativo	Positivo	(-5, 2)
III	Negativo	Negativo	(-2, -1)
IV	Positivo	Negativo	(2, -5)

Ejemplo: Punto "A" (3,2) está 3 unidades en x y 2 arriba en y. Ambos positivos → Cuadrante I.

Ejemplo: Punto "C" (-2,-1) está 2 unidades en x dirección negativa y 1 abajo en y. Ambos negativos → Cuadrante III.

Dimensiones: 1, 2, 3 y más …

1. La recta numérica real solo va: izquierda-derecha → cualquier posición necesita un número.
2. Coordenadas cartesianas van: izquierda-derecha, arriba-abajo → cualquier posición necesita dos números.
3. 3 dimensiones: izquierda-derecha, arriba-abajo, adelante-atrás.

EXAMEN DE LA UNIDAD

1. ¿Qué es CNC?
2. Describe el sistema de coordenadas cartesianas.
3. ¿Qué es El Origen?
4. La línea horizontal se llama ¿qué?
5. La línea vertical se llama ¿qué?
6. Describe la recta numérica real.
7. Explica Abscisa y Ordenada.
8. ¿Cuál es la representación de los tres ejes del sistema cartesiano tridimensional?
9. Los ejes coordenados dividen el plano en cuatro partes, ¿cómo se llaman?
10. En el Cuadrante IV, los ejes X e Y son ¿qué?