Desbordamiento binario: cómo los bits de signo afectan la suma binaria

Al trabajar con números binarios con signo, una suma o resta puede exceder la magnitud que un número fijo de bits puede representar. Este fenómeno, conocido como desbordamiento, ocurre porque la posición del bit de signo se fija al inicio del cálculo.

En el ejemplo siguiente usamos cinco bits para codificar la magnitud y el bit más a la izquierda (sexto) como bit de signo. Con cinco bits de magnitud podemos representar 2⁵ = 32 valores enteros, desde 0 hasta la magnitud máxima. Consecuentemente, el mayor número positivo representable es +31₁₀ (011111₂), y el menor es −32₁₀ (100000₂).

Restricciones del campo numérico de seis bits

Al sumar dos números binarios que usan el mismo campo de seis bits, el resultado puede quedar fuera del rango −32 a +31. Por ejemplo, sumar +17₁₀ y +19₁₀ produce una suma real de +36₁₀, que no puede representarse con solo cinco bits de magnitud.

La respuesta binaria, 100100₂, se interpreta como −28₁₀ cuando el sexto bit se trata como −32₁₀. Claramente esto es erróneo; el error de desbordamiento ocurre porque la suma real supera los límites del campo de seis bits. Descartar el bit de «acarreo» más a la izquierda produce un resultado incorrecto.

Sumar dos números negativos puede producir un problema similar. Por ejemplo, −17₁₀ + −19₁₀ debería dar −36₁₀, pero con un campo de seis bits el resultado binario es un positivo 28, indicando nuevamente desbordamiento.

Uso del séptimo bit para bit de signo

Al ampliar el campo a siete bits —seis para magnitud y uno para signo— podemos acomodar sumas mayores. Los siguientes diagramas muestran los mismos problemas resueltos cuando el campo es lo suficientemente ancho.

Aunque podemos detectar desbordamiento convirtiendo el resultado binario de nuevo a decimal, este enfoque es engorroso e impráctico para circuitos electrónicos. Un método más eficiente se basa en el signo de la suma. Si dos números con el mismo signo producen un resultado con signo opuesto, ha ocurrido desbordamiento. Dos números positivos no pueden sumar un negativo, y dos negativos no pueden sumar un positivo cuando el campo es adecuado.

Por el contrario, sumar un positivo y un negativo nunca puede desbordar. La suma resultante siempre está más cerca de cero que cualquiera de los operandos, garantizando que permanezca dentro del rango representable.

Estas reglas de detección de desbordamiento se implementan en sumadores digitales y forman un concepto fundamental en aritmética computacional.

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