Señales de ondas cuadradas

Se ha encontrado que cualquier La forma de onda repetitiva no sinusoidal se puede equiparar a una combinación de voltaje de CC, ondas sinusoidales y / o ondas coseno (ondas sinusoidales con un cambio de fase de 90 grados) en varias amplitudes y frecuencias.

Esto es cierto sin importar cuán extraña o complicada sea la forma de onda en cuestión. Siempre que se repita regularmente a lo largo del tiempo, es reducible a esta serie de ondas sinusoidales.

En particular, se ha encontrado que las ondas cuadradas son matemáticamente equivalentes a la suma de una onda sinusoidal a esa misma frecuencia, más una serie infinita de ondas sinusoidales de frecuencia múltiple impar en amplitud decreciente:

Esta verdad sobre las formas de onda al principio puede parecer demasiado extraña para creer. Sin embargo, si una onda cuadrada es en realidad una serie infinita de armónicos de onda sinusoidal sumados, es lógico que podamos probar esto sumando varios armónicos de onda sinusoidal para producir una aproximación cercana de una onda cuadrada.

Este razonamiento no solo es sólido, sino que se demuestra fácilmente con SPICE.

El circuito que vamos a simular no es más que varias fuentes de voltaje de CA de onda sinusoidal de las amplitudes y frecuencias adecuadas conectadas en serie. Usaremos SPICE para trazar las formas de onda de voltaje a través de adiciones sucesivas de fuentes de voltaje, como este:

Una onda cuadrada se aproxima por la suma de armónicos.

En esta simulación SPICE en particular, he sumado las fuentes de voltaje armónico primero, tercero, quinto, séptimo y noveno en serie para un total de cinco fuentes de voltaje CA. La frecuencia fundamental es 50 Hz y cada armónico es, por supuesto, un múltiplo entero de esa frecuencia.

Las cifras de amplitud (voltaje) no son números aleatorios; más bien, se ha llegado a ellos a través de las ecuaciones que se muestran en la serie de frecuencias (la fracción 4 / π multiplicada por 1, 1/3, 1/5, 1/7, etc. para cada uno de los armónicos impares crecientes).

 construyendo una onda cuadrada v1 1 0 sin (0 1.27324 50 0 0) 1er armónico (50 Hz) v3 2 1 sin (0 424.413m 150 0 0) 3er armónico v5 3 2 sin (0 254.648m 250 0 0) 5o armónico v7 4 3 sin (0 181.891m 350 0 0) 7mo armónico v9 5 4 sin (0141.471m 450 0 0) Noveno armónico r1 5 0 10k .tran 1m 20m .plot tran v (1,0) Trazar 1er armónico .plot tran v (2,0) Traza 1er + 3er armónico .plot tran v (3,0) Traza 1er + 3er + 5to armónico .plot tran v (4,0) Trazar 1er + 3er + 5to + 7mo armónicos .plot tran v (5,0) Grafica primero +. . . + Noveno armónico .fin 

Narraré el análisis paso a paso desde aquí, explicando qué es lo que estamos viendo. En este primer gráfico, vemos la onda sinusoidal de frecuencia fundamental de 50 Hz por sí misma. No es más que una forma de seno puro, sin contenido armónico adicional. Este es el tipo de forma de onda que produce una fuente de alimentación de CA ideal:

Onda sinusoidal pura de 50 Hz.

A continuación, vemos qué sucede cuando esta forma de onda limpia y simple se combina con el tercer armónico (tres veces 50 Hz o 150 Hz). De repente, ya no parece una onda sinusoidal limpia:

La suma de los armónicos primero (50 Hz) y tercero (150 Hz) se aproxima a una onda cuadrada de 50 Hz.

Los tiempos de subida y bajada entre los ciclos positivos y negativos son mucho más pronunciados ahora, y las crestas de la onda están más cerca de volverse planas como una onda cuadrada. Observe lo que sucede cuando agregamos la siguiente frecuencia armónica impar:

La suma de los armónicos 1º, 3º y 5º se aproxima a la onda cuadrada.

El cambio más notable aquí es cómo las crestas de la ola se han aplanado aún más. Hay más caídas y crestas en cada extremo de la onda, pero esas caídas y crestas son más pequeñas en amplitud que antes. Mire de nuevo mientras agregamos la siguiente forma de onda armónica impar a la mezcla:

La suma de los armónicos 1º, 3º, 5º y 7º se aproxima a la onda cuadrada.

Aquí podemos ver que la ola se vuelve más plana en cada pico. Finalmente, agregando el noveno armónico, la quinta fuente de voltaje de onda sinusoidal en nuestro circuito, obtenemos este resultado:

La suma de los armónicos 1º, 3º, 5º, 7º y 9º se aproxima a la onda cuadrada.

El resultado final de sumar las primeras cinco formas de onda armónicas impares (todas con las amplitudes adecuadas, por supuesto) es una aproximación cercana a una onda cuadrada. El objetivo de hacer esto es ilustrar cómo podemos construir una onda cuadrada a partir de múltiples ondas sinusoidales a diferentes frecuencias, para demostrar que una onda cuadrada pura es en realidad equivalente a una serie de ondas sinusoidales.

Cuando se aplica un voltaje de CA de onda cuadrada a un circuito con componentes reactivos (capacitores e inductores), esos componentes reaccionan como si estuvieran expuestos a varios voltajes de onda sinusoidal de diferentes frecuencias, que de hecho lo están.

El hecho de que las ondas repetidas no sinusoidales sean equivalentes a una serie definida de voltaje de CC aditivo, ondas sinusoidales y / o ondas cosenoides es una consecuencia de cómo funcionan las ondas:una propiedad fundamental de todos los fenómenos relacionados con las ondas, eléctricos o de otro tipo.

El proceso matemático de reducir una onda no sinusoidal en estas frecuencias constituyentes se denomina análisis de Fourier , cuyos detalles están mucho más allá del alcance de este texto. Sin embargo, se han creado algoritmos informáticos para realizar este análisis a altas velocidades en formas de onda reales, y su aplicación en la calidad de la alimentación de CA y el análisis de señales está muy extendida.

SPICE tiene la capacidad de muestrear una forma de onda y reducirla a sus armónicos de onda sinusoidal constituyentes mediante una Transformada de Fourier algoritmo, generando el análisis de frecuencia como una tabla de números. Intentemos esto en una onda cuadrada, que ya sabemos que está compuesta de ondas sinusoidales armónicas impares:

 netlist de análisis de ondas cuadradas v1 1 0 pulso (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m) r1 1 0 10k .tran 1m 40m .plot tran v (1,0) .cuatro 50 v (1,0) .fin 

El pulso opción en la línea netlist que describe la fuente de voltaje v1 indica a SPICE que simule una forma de onda de "pulso" de forma cuadrada, en este caso una que sea simétrica (el mismo tiempo para cada medio ciclo) y que tenga una amplitud máxima de 1 voltio. Primero, trazaremos la onda cuadrada que se analizará:

Squarewave para el análisis de SPICE Fourier

A continuación, imprimiremos el análisis de Fourier generado por SPICE para esta onda cuadrada:

 componentes de Fourier de la respuesta transitoria v (1) componente dc =-2.439E-02 frecuencia armónica normalizada de Fourier fase normalizada sin (hz) componente componente (grados) fase (grados) 1 5.000E + 01 1.274E + 00 1.000000 -2.195 0.000 2 1.000E + 02 4.892E-02 0.038415 -94.390 -92.195 3 1.500E + 02 4.253E-01 0.333987 -6.585 -4.390 4 2.000E + 02 4.936E-02 0.038757 -98.780 -96.585 5 2.500E + 02 2.562E-01 0.201179 -10.976 -8.780 6 3.000E + 02 5.010E-02 0.039337 -103.171 -100.976 7 3.500E + 02 1.841E-01 0.144549 -15.366 -13.171 8 4.000E + 02 5.116E-02 0.040175 -107.561 -105.366 9 4.500E + 02 1.443E-01 0.113316 -19.756 -17.561 distorsión armónica total =43.805747 por ciento 

Gráfico de los resultados del análisis de Fourier.

Aquí, (Figura anterior) SPICE ha dividido la forma de onda en un espectro de frecuencias sinusoidales hasta el noveno armónico, más un pequeño voltaje de CC etiquetado como componente de CC .

Tuve que informar a SPICE de la frecuencia fundamental (para una onda cuadrada con un período de 20 milisegundos, esta frecuencia es de 50 Hz), para que supiera cómo clasificar los armónicos. Observe cuán pequeñas son las cifras para todos los armónicos pares (segundo, cuarto, sexto, octavo) y cómo disminuyen las amplitudes de los armónicos impares (el primero es el más grande, el noveno es el más pequeño).

Esta misma técnica de "Transformación de Fourier" se utiliza a menudo en la instrumentación de potencia computarizada, muestreando las formas de onda de CA y determinando el contenido armónico de las mismas. Un algoritmo informático común (secuencia de pasos del programa para realizar una tarea) para esto es la Transformada rápida de Fourier o FFT función.

No es necesario que se preocupe por cómo funcionan exactamente estas rutinas informáticas, pero tenga en cuenta su existencia y aplicación.

Esta misma técnica matemática utilizada en SPICE para analizar el contenido armónico de las ondas se puede aplicar al análisis técnico de la música:dividiendo cualquier sonido en particular en sus frecuencias sinusoidales constituyentes.

De hecho, es posible que ya haya visto un dispositivo diseñado para hacer precisamente eso sin darse cuenta de lo que era. Un ecualizador gráfico es una pieza de equipo estéreo de alta fidelidad que controla (y en ocasiones muestra) la naturaleza del contenido armónico de la música.

Equipado con varias perillas o palancas deslizantes, el ecualizador puede atenuar (reducir) selectivamente la amplitud de ciertas frecuencias presentes en la música, para "personalizar" el sonido en beneficio del oyente. Por lo general, habrá una pantalla de "gráfico de barras" junto a cada palanca de control, que muestra la amplitud de cada frecuencia en particular.

Ecualizador gráfico de audio de alta fidelidad.

Un dispositivo construido estrictamente para mostrar, no controlar, las amplitudes de cada rango de frecuencia para una señal de frecuencia mixta generalmente se denomina analizador de espectro .

El diseño de los analizadores de espectro puede ser tan simple como un conjunto de circuitos de "filtro" (consulte el capítulo siguiente para obtener más detalles) diseñados para separar las diferentes frecuencias entre sí, o tan complejo como una computadora digital de propósito especial que ejecuta un algoritmo FFT para divide matemáticamente la señal en sus componentes armónicos.

Los analizadores de espectro a menudo están diseñados para analizar señales de frecuencia extremadamente alta, como las producidas por transmisores de radio y hardware de redes informáticas. De esa forma, a menudo tienen la apariencia de un osciloscopio:

El analizador de espectro muestra la amplitud en función de la frecuencia.

Como un osciloscopio, el analizador de espectro usa un CRT (o una pantalla de computadora que imita un CRT) para mostrar un gráfico de la señal.

A diferencia de un osciloscopio, este gráfico es amplitud sobre frecuencia en lugar de amplitud en tiempo . En esencia, un analizador de frecuencia le da al operador un diagrama de Bode de la señal:algo que un ingeniero podría llamar dominio de frecuencia en lugar de un dominio de tiempo análisis.

El término "dominio" es matemático:una palabra sofisticada para describir el eje horizontal de un gráfico. Por lo tanto, el gráfico de amplitud (vertical) en el tiempo (horizontal) de un osciloscopio es un análisis de "dominio del tiempo", mientras que el gráfico de amplitud (vertical) sobre frecuencia (horizontal) de un analizador de espectro es un análisis de "dominio de frecuencia".

Cuando usamos SPICE para trazar la amplitud de la señal (ya sea voltaje o amplitud de corriente) en un rango de frecuencias, estamos realizando dominio de frecuencia análisis.

Tenga en cuenta que el análisis de Fourier de la última simulación de SPICE no es "perfecto". Idealmente, las amplitudes de todos los armónicos pares deberían ser absolutamente cero, al igual que el componente de CC. Nuevamente, esto no es tanto una rareza de SPICE como una propiedad de las formas de onda en general.

Una forma de onda de duración infinita (número infinito de ciclos) se puede analizar con absoluta precisión, pero cuantos menos ciclos tenga la computadora para el análisis, menos preciso será el análisis. Solo cuando tenemos una ecuación que describe una forma de onda en su totalidad, el análisis de Fourier puede reducirla a una serie definida de formas de onda sinusoidales.

Cuantas menos veces circule una onda, menos segura es su frecuencia. Llevando este concepto a su extremo lógico, un pulso corto, una forma de onda que ni siquiera completa un ciclo, en realidad no tiene frecuencia , sino que actúa como un rango infinito de frecuencias. Este principio es común a todos fenómenos basados ​​en ondas, no solo voltajes y corrientes de CA.

Baste decir que el número de ciclos y la certeza de los componentes de frecuencia de una forma de onda están directamente relacionados.

Podríamos mejorar la precisión de nuestro análisis aquí dejando que la onda oscile una y otra vez durante muchos ciclos, y el resultado sería un análisis de espectro más consistente con el ideal. En el siguiente análisis, omití el gráfico de forma de onda por brevedad; es solo una onda cuadrada realmente larga:

 onda cuadrada v1 1 0 pulso (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m) r1 1 0 10k .opción limpts =1001 .tran 1m 1 .plot tran v (1,0) .cuatro 50 v (1,0) .fin Componentes de Fourier de la respuesta transitoria v (1) componente dc =9.999E-03 frecuencia armónica normalizada de Fourier fase normalizada sin (hz) componente componente (grados) fase (grados) 1 5.000E + 01 1.273E + 00 1.000000 -1.800 0.000 2 1.000E + 02 1.999E-02 0.015704 86.382 88.182 3 1.500E + 02 4.238E-01 0.332897 -5.400 -3.600 4 2.000E + 02 1.997E-02 0.015688 82.764 84.564 5 2.500E + 02 2.536E-01 0.199215 -9.000 -7.200 6 3.000E + 02 1.994E-02 0.015663 79.146 80.946 7 3.500E + 02 1.804E-01 0.141737 -12.600 -10.800 8 4.000E + 02 1.989E-02 0.015627 75.529 77.329 9 4.500E + 02 1.396E-01 0.109662 -16.199 -14.399 

Análisis de Fourier mejorado.

Observe cómo este análisis (Figura anterior) muestra menos voltaje de componente de CC y amplitudes más bajas para cada una de las ondas sinusoidales de frecuencia armónica uniforme, todo porque dejamos que la computadora muestre más ciclos de la onda. Nuevamente, la imprecisión del primer análisis no es tanto una falla en SPICE como una propiedad fundamental de las ondas y del análisis de señales.

REVISAR:

• Las ondas cuadradas son equivalentes a una onda sinusoidal a la misma frecuencia (fundamental) agregada a una serie infinita de armónicos de ondas sinusoidales múltiples impares en amplitudes decrecientes.
• Existen algoritmos informáticos que pueden muestrear formas de onda y determinar sus componentes sinusoidales constituyentes. La Transformada de Fourier algoritmo (en particular, la Transformada rápida de Fourier o FFT ) se usa comúnmente en programas de simulación de circuitos de computadora como SPICE y en equipos de medición electrónica para determinar la calidad de la energía.

HOJAS DE TRABAJO RELACIONADAS:

• Hoja de trabajo de señales de onda cuadrada