Comprender Señales de Onda Cuadrada: Fundamentos y Aplicaciones

Se ha encontrado que cualquier forma de onda no sinusoidal repetitiva puede equipararse a una combinación de voltaje CC, ondas senoidales y/o cosenoidales (ondas senoidales con un desfase de 90 grados) a varias amplitudes y frecuencias.

Esto es cierto sin importar cuán extraña o convoluta sea la forma de onda en cuestión. Mientras se repita regularmente en el tiempo, es reducible a esta serie de ondas sinusoidales.

En particular, se ha encontrado que las ondas cuadradas son matemáticamente equivalentes a la suma de una onda seno a esa misma frecuencia, más una serie infinita de ondas seno de frecuencia múltiplo impar a amplitud decreciente:

 

 

Esta verdad sobre formas de onda al principio puede parecer demasiado extraña para creer. Sin embargo, si una onda cuadrada es en realidad una serie infinita de armónicos de onda seno sumados, razonablemente deberíamos poder probar esto sumando varios armónicos de onda seno para producir una aproximación cercana de una onda cuadrada.

Este razonamiento no solo es sólido, sino fácilmente demostrable con SPICE.

El circuito que simularemos no es más que varias fuentes de voltaje CA de onda seno de las amplitudes y frecuencias apropiadas conectadas en serie. Usaremos SPICE para trazar las formas de onda de voltaje a través de adiciones sucesivas de fuentes de voltaje, así:

 

Una onda cuadrada se aproxima por la suma de armónicos.

 

En esta simulación SPICE particular, he sumado las fuentes de voltaje de armónicos 1ro, 3ro, 5to, 7mo y 9no en serie para un total de cinco fuentes de voltaje CA. La frecuencia fundamental es 50 Hz y cada armónico es, por supuesto, un múltiplo entero de esa frecuencia.

Las cifras de amplitud (voltaje) no son números aleatorios; más bien, se han llegado a través de las ecuaciones mostradas en la serie de frecuencias (la fracción 4/π multiplicada por 1, 1/3, 1/5, 1/7, etc. para cada uno de los armónicos impares crecientes).

 

building a squarewave
v1 1 0 sin (0 1.27324 50 0 0) 1st harmonic (50 Hz)
v3 2 1 sin (0 424.413m 150 0 0) 3rd harmonic
v5 3 2 sin (0 254.648m 250 0 0) 5th harmonic
v7 4 3 sin (0 181.891m 350 0 0) 7th harmonic
v9 5 4 sin (0 141.471m 450 0 0) 9th harmonic
r1 5 0 10k
.tran 1m 20m
.plot tran v(1,0) Plot 1st harmonic
.plot tran v(2,0) Plot 1st + 3rd harmonics
.plot tran v(3,0) Plot 1st + 3rd + 5th harmonics
.plot tran v(4,0) Plot 1st + 3rd + 5th + 7th harmonics
.plot tran v(5,0) Plot 1st + . . . + 9th harmonics
.end

 

Narraré el análisis paso a paso desde aquí, explicando qué es lo que estamos viendo. En este primer gráfico, vemos la onda seno de frecuencia fundamental de 50 Hz por sí sola. No es más que una forma de seno pura, sin contenido armónico adicional. Este es el tipo de forma de onda producida por una fuente de CA ideal:

 

Onda seno pura de 50 Hz.

 

Luego, vemos qué sucede cuando esta forma de onda limpia y simple se combina con el tercer armónico (tres veces 50 Hz, o 150 Hz). De repente, ya no se ve como una onda seno limpia:

 

Suma del 1ro (50 Hz) y 3ro (150 Hz) armónicos aproxima una onda cuadrada de 50 Hz.

 

Los tiempos de subida y bajada entre ciclos positivos y negativos son mucho más pronunciados ahora, y las crestas de la onda están más cerca de volverse planas como una onda cuadrada. Observe qué sucede cuando agregamos la siguiente frecuencia armónica impar:

 

Suma del 1ro, 3ro y 5to armónicos aproxima onda cuadrada.

 

El cambio más notable aquí es cómo las crestas de la onda se han aplanado aún más. Hay varios valles y crestas en cada extremo de la onda, pero esos valles y crestas son menores en amplitud que antes. Observe nuevamente al agregar la siguiente forma de onda armónica impar a la mezcla:

 

Suma del 1ro, 3ro, 5to y 7mo armónicos aproxima onda cuadrada.

 

Aquí podemos ver la onda volviéndose más plana en cada pico. Finalmente, agregando el 9no armónico, la quinta fuente de voltaje seno en nuestro circuito, obtenemos este resultado:

 

Suma del 1ro, 3ro, 5to, 7mo y 9no armónicos aproxima onda cuadrada.

 

El resultado final de sumar las primeras cinco formas de onda armónicas impares juntas (todas en las amplitudes apropiadas, por supuesto) es una aproximación cercana de una onda cuadrada. El punto de hacer esto es ilustrar cómo podemos construir una onda cuadrada a partir de múltiples ondas seno a diferentes frecuencias, para probar que una onda cuadrada pura es en realidad equivalente a una serie de ondas seno.

Cuando un voltaje de CA de onda cuadrada se aplica a un circuito con componentes reactivos (capacitores e inductores), esos componentes reaccionan como si estuvieran expuestos a varios voltajes de onda seno de diferentes frecuencias, lo cual de hecho están.

El hecho de que ondas repetitivas no sinusoidales sean equivalentes a una serie definida de voltaje CC aditivo, ondas seno y/o coseno es una consecuencia de cómo funcionan las ondas: una propiedad fundamental de todos los fenómenos relacionados con ondas, eléctricos o de otro tipo.

El proceso matemático de reducir una onda no sinusoidal en estas frecuencias constituyentes se llama análisis de Fourier, cuyos detalles están mucho más allá del alcance de este texto. Sin embargo, se han creado algoritmos informáticos para realizar este análisis a altas velocidades en formas de onda reales, y su aplicación en calidad de potencia de CA y análisis de señales es amplia.

SPICE tiene la capacidad de muestrear una forma de onda y reducirla en sus armónicos de onda seno constituyentes mediante un algoritmo de Transformada de Fourier, produciendo el análisis de frecuencia como una tabla de números. Probemos esto en una onda cuadrada, que ya sabemos está compuesta de ondas seno armónicas impares:

 

squarewave analysis netlist
v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m)
r1 1 0 10k
.tran 1m 40m
.plot tran v(1,0)
.four 50 v(1,0)
.end

 

La opción pulse en la línea de netlist describiendo la fuente de voltaje v1 instruye a SPICE a simular una forma de onda "pulso" cuadrada, en este caso una que es simétrica (tiempo igual para cada semiciclo) y tiene amplitud pico de 1 voltio. Primero graficaremos la onda cuadrada a analizar:

 

Onda cuadrada para análisis Fourier SPICE

 

Luego, imprimiremos el análisis Fourier generado por SPICE para esta onda cuadrada:

 

fourier components of transient response v(1)
dc component = -2.439E-02
harmonic frequency fourier normalized phase normalized
no (hz) component component (deg) phase (deg)
1 5.000E+01 1.274E+00 1.000000 -2.195 0.000
2 1.000E+02 4.892E-02 0.038415 -94.390 -92.195
3 1.500E+02 4.253E-01 0.333987 -6.585 -4.390
4 2.000E+02 4.936E-02 0.038757 -98.780 -96.585
5 2.500E+02 2.562E-01 0.201179 -10.976 -8.780
6 3.000E+02 5.010E-02 0.039337 -103.171 -100.976
7 3.500E+02 1.841E-01 0.144549 -15.366 -13.171
8 4.000E+02 5.116E-02 0.040175 -107.561 -105.366
9 4.500E+02 1.443E-01 0.113316 -19.756 -17.561
total harmonic distortion = 43.805747 percent

 

Gráfico de resultados de análisis Fourier.

 

Aquí, (Figura anterior) SPICE ha descompuesto la forma de onda en un espectro de frecuencias sinusoidales hasta el noveno armónico, más un pequeño voltaje CC etiquetado componente CC.

Tuve que informar a SPICE de la frecuencia fundamental (para una onda cuadrada con período de 20 milisegundos, esta frecuencia es 50 Hz), para que supiera cómo clasificar los armónicos. Observe cuán pequeñas son las cifras para todos los armónicos pares (2do, 4to, 6to, 8vo), y cómo las amplitudes de los armónicos impares disminuyen (1ro es el mayor, 9no es el menor).

Esta misma técnica de "Transformada de Fourier" se usa a menudo en instrumentación de potencia computarizada, muestreando la(s) forma(s) de onda de CA y determinando su contenido armónico. Un algoritmo computacional común (secuencia de pasos de programa para realizar una tarea) para esto es la Transformada Rápida de Fourier o función FFT.

No necesita preocuparse exactamente cómo funcionan estas rutinas computacionales, pero sea consciente de su existencia y aplicación.

Esta misma técnica matemática usada en SPICE para analizar el contenido armónico de ondas puede aplicarse al análisis técnico de música: descomponer cualquier sonido particular en sus frecuencias constituyentes de onda seno.

De hecho, es posible que ya haya visto un dispositivo diseñado para hacer precisamente eso sin darse cuenta de lo que era. Un ecualizador gráfico es un equipo de estéreo de alta fidelidad que controla (y a veces muestra) la naturaleza del contenido armónico de la música.

Equipado con varias perillas o palancas deslizantes, el ecualizador puede atenuar selectivamente (reducir) la amplitud de ciertas frecuencias presentes en la música, para "personalizar" el sonido para el beneficio del oyente. Típicamente, habrá una pantalla de "gráfico de barras" junto a cada palanca de control, mostrando la amplitud de cada frecuencia particular.

 

Ecualizador gráfico de audio Hi-Fi.

 

Un dispositivo construido estrictamente para mostrar —no controlar— las amplitudes de cada rango de frecuencia para una señal de frecuencia mixta se llama típicamente analizador de espectro.

El diseño de analizadores de espectro puede ser tan simple como un conjunto de circuitos "filtro" (vea el próximo capítulo para detalles) diseñados para separar las diferentes frecuencias entre sí, o tan complejo como una computadora digital de propósito especial ejecutando un algoritmo FFT para dividir matemáticamente la señal en sus componentes armónicos.

Los analizadores de espectro a menudo están diseñados para analizar señales de frecuencia extremadamente alta, como las producidas por transmisores de radio y hardware de redes informáticas. En esa forma, a menudo tienen una apariencia como la de un osciloscopio:

Analizador de espectro muestra amplitud como función de frecuencia.

 

Como un osciloscopio, el analizador de espectro usa un CRT (o una pantalla de computadora imitando un CRT) para mostrar un gráfico de la señal.

A diferencia de un osciloscopio, este gráfico es amplitud sobre frecuencia en lugar de amplitud sobre tiempo. En esencia, un analizador de frecuencia da al operador un diagrama de Bode de la señal: algo que un ingeniero podría llamar análisis de dominio de frecuencia en lugar de dominio de tiempo.

El término "dominio" es matemático: una palabra sofisticada para describir el eje horizontal de un gráfico. Así, el gráfico de un osciloscopio de amplitud (vertical) sobre tiempo (horizontal) es un análisis de "dominio de tiempo", mientras que el gráfico de un analizador de espectro de amplitud (vertical) sobre frecuencia (horizontal) es un análisis de "dominio de frecuencia".

Cuando usamos SPICE para graficar amplitud de señal (ya sea voltaje o corriente) sobre un rango de frecuencias, estamos realizando análisis de dominio de frecuencia.

Tome nota de cómo el análisis Fourier de la última simulación SPICE no es "perfecto". Idealmente, las amplitudes de todos los armónicos pares deberían ser absolutamente cero, y también el componente CC. De nuevo, esto no es tanto una rareza de SPICE como una propiedad de las formas de onda en general.

Una forma de onda de duración infinita (número infinito de ciclos) puede analizarse con precisión absoluta, pero mientras menos ciclos estén disponibles para la computadora para análisis, menos preciso será el análisis. Solo cuando tenemos una ecuación que describe una forma de onda en su totalidad, el análisis de Fourier puede reducirla a una serie definida de formas de onda sinusoidales.

Cuantas menos veces cicla una onda, menos cierta es su frecuencia. Llevando este concepto a su extremo lógico, un pulso corto —una forma de onda que ni siquiera completa un ciclo— en realidad no tiene frecuencia, sino que actúa como un rango infinito de frecuencias. Este principio es común a todos fenómenos basados en ondas, no solo voltajes y corrientes de CA.

Basta decir que el número de ciclos y la certeza del componente(s) de frecuencia de una forma de onda están directamente relacionados.

Podríamos mejorar la precisión de nuestro análisis aquí dejando que la onda oscile por muchos ciclos, y el resultado sería un análisis de espectro más consistente con lo ideal. En el siguiente análisis, he omitido el gráfico de forma de onda por brevedad —es solo una onda cuadrada muy larga:

 

square wave
v1 1 0 pulse (-1 1 0 .1m .1m 10m 20m)
r1 1 0 10k
.option limpts=1001
.tran 1m 1
.plot tran v(1,0)
.four 50 v(1,0)
.end
fourier components of transient response v(1)
dc component = 9.999E-03
harmonic frequency fourier normalized phase normalized
no (hz) component component (deg) phase (deg)
1 5.000E+01 1.273E+00 1.000000 -1.800 0.000
2 1.000E+02 1.999E-02 0.015704 86.382 88.182
3 1.500E+02 4.238E-01 0.332897 -5.400 -3.600
4 2.000E+02 1.997E-02 0.015688 82.764 84.564
5 2.500E+02 2.536E-01 0.199215 -9.000 -7.200
6 3.000E+02 1.994E-02 0.015663 79.146 80.946
7 3.500E+02 1.804E-01 0.141737 -12.600 -10.800
8 4.000E+02 1.989E-02 0.015627 75.529 77.329
9 4.500E+02 1.396E-01 0.109662 -16.199 -14.399

 

Análisis Fourier mejorado.

 

Observe cómo este análisis (Figura anterior) muestra menos componente de voltaje CC y amplitudes menores para cada una de las ondas seno de frecuencia armónica par, todo porque dejamos que la computadora muestre más ciclos de la onda. De nuevo, la imprecisión del primer análisis no es tanto un fallo de SPICE como una propiedad fundamental de las ondas y del análisis de señales.

 

REPASO:

• Las ondas cuadradas son equivalentes a una onda seno en la misma frecuencia (fundamental) sumada a una serie infinita de armónicos de onda seno de múltiplos impares a amplitudes decrecientes.
• Existen algoritmos computacionales capaces de muestrear formas de onda y determinar sus componentes sinusoidales constituyentes. El algoritmo Transformada de Fourier (particularmente la Transformada Rápida de Fourier, o FFT) se usa comúnmente en programas de simulación de circuitos como SPICE y en equipos de medición electrónica para determinar calidad de potencia.

HOJAS DE TRABAJO RELACIONADAS:

• Hoja de trabajo de señales de onda cuadrada