Condensadores y cálculo

Los condensadores no tienen una "resistencia" estable como la tienen los conductores. Sin embargo, existe una relación matemática definida entre el voltaje y la corriente para un capacitor, como sigue:

La letra minúscula "i" simboliza instantáneo actual, que significa la cantidad de corriente en un punto específico en el tiempo. Esto contrasta con la corriente constante o corriente media (letra “I” mayúscula) durante un período de tiempo no especificado. La expresión "dv / dt" es una tomada del cálculo, es decir, la tasa instantánea de cambio de voltaje a lo largo del tiempo, o la tasa de cambio de voltaje (aumento o disminución de voltios por segundo) en un punto específico en el tiempo, el mismo punto específico en tiempo al que se hace referencia a la corriente instantánea. Por el motivo que sea, la letra v se usa generalmente para representar voltaje instantáneo en lugar de la letra e . Sin embargo, no sería incorrecto expresar la tasa de cambio de voltaje instantáneo como "de / dt" en su lugar.

En esta ecuación, vemos algo novedoso en nuestra experiencia hasta ahora con los circuitos eléctricos:la variable de tiempo . Al relacionar las cantidades de voltaje, corriente y resistencia a una resistencia, no importa si se trata de medidas tomadas durante un período de tiempo no especificado (E =IR; V =IR), o en un momento específico en tiempo (e =ir; v =ir). La misma fórmula básica es cierta, porque el tiempo es irrelevante para el voltaje, la corriente y la resistencia en un componente como una resistencia.

En un capacitor, sin embargo, el tiempo es una variable esencial, porque la corriente está relacionada con la rapidez el voltaje cambia con el tiempo. Para comprender completamente esto, pueden ser necesarias algunas ilustraciones. Supongamos que conectamos un capacitor a una fuente de voltaje variable, construida con un potenciómetro y una batería:

Si el mecanismo del potenciómetro permanece en una sola posición (el limpiaparabrisas está estacionario), el voltímetro conectado a través del capacitor registrará un voltaje constante (invariable) y el amperímetro registrará 0 amperios. En este escenario, la tasa instantánea de cambio de voltaje (dv / dt) es igual a cero, porque el voltaje no cambia. La ecuación nos dice que con un cambio de 0 voltios por segundo para un dv / dt, debe haber cero corrientes instantáneas (i). Desde una perspectiva física, sin cambios en el voltaje, no hay necesidad de ningún movimiento de electrones para sumar o restar carga de las placas del capacitor y, por lo tanto, no habrá corriente.

Ahora, si el limpiaparabrisas del potenciómetro se mueve lenta y constantemente en la dirección "hacia arriba", se impondrá gradualmente un voltaje mayor a través del capacitor. Por lo tanto, la indicación del voltímetro aumentará a un ritmo lento:

Si asumimos que el limpiaparabrisas del potenciómetro se mueve de manera que la tasa Si el aumento de voltaje en el capacitor es constante (por ejemplo, el voltaje aumenta a una tasa constante de 2 voltios por segundo), el término dv / dt de la fórmula será un valor fijo. Según la ecuación, este valor fijo de dv / dt, multiplicado por la capacitancia del condensador en Faradios (también fija), da como resultado una corriente fija de cierta magnitud. Desde una perspectiva física, un voltaje creciente a través del capacitor exige que haya un diferencial de carga creciente entre las placas. Por lo tanto, para una tasa de aumento de voltaje lenta y constante, debe haber una tasa de carga lenta y constante en el capacitor, lo que equivale a un flujo de corriente lento y constante. En este escenario, el condensador se está cargando y actúa como una carga , con corriente entrando en la placa positiva y saliendo de la placa negativa a medida que el capacitor acumula energía en un campo eléctrico.

Si el potenciómetro se mueve en la misma dirección, pero a una tasa más rápida, la tasa de cambio de voltaje (dv / dt) será mayor y también lo será la corriente del capacitor:

Cuando los estudiantes de matemáticas estudian cálculo por primera vez, comienzan por explorar el concepto de tasas de cambio para varias funciones matemáticas. El derivado , que es el primer y más elemental principio de cálculo, es una expresión de la tasa de cambio de una variable en términos de otra. Los estudiantes de cálculo deben aprender este principio mientras estudian ecuaciones abstractas. Puedes aprender este principio mientras estudias algo con lo que te identificas:¡los circuitos eléctricos!

Para poner esta relación entre voltaje y corriente en un capacitor en términos de cálculo, la corriente a través de un capacitor es la derivada del voltaje a través del capacitor con respecto al tiempo. O, dicho en términos más simples, la corriente de un capacitor es directamente proporcional a la rapidez con la que cambia el voltaje a través de él. En este circuito donde el voltaje del capacitor se establece mediante la posición de una perilla giratoria en un potenciómetro, podemos decir que la corriente del capacitor es directamente proporcional a la rapidez con la que giramos la perilla.

Si moviéramos el limpiaparabrisas del potenciómetro en la misma dirección que antes ("hacia arriba"), pero a diferentes velocidades, obtendríamos gráficos que se verían así:

Tenga en cuenta que en cualquier momento dado, la corriente del capacitor es proporcional a la tasa de cambio, o pendiente , de la gráfica de voltaje del capacitor. Cuando la línea de la gráfica de voltaje aumenta rápidamente (pendiente pronunciada), la corriente también será grande. Donde la gráfica de voltaje tiene una pendiente leve, la corriente es pequeña. En un lugar del gráfico de voltaje donde se nivela (pendiente cero, que representa un período de tiempo en el que el potenciómetro no se movía), la corriente cae a cero.

Si moviéramos el limpiador del potenciómetro en la dirección "hacia abajo", el voltaje del capacitor disminuiría en lugar de aumentar. Nuevamente, el capacitor reaccionará a este cambio de voltaje produciendo una corriente, pero esta vez la corriente estará en la dirección opuesta. Un voltaje de capacitor decreciente requiere que se reduzca el diferencial de carga entre las placas del capacitor, y la única forma en que puede suceder es si la dirección del flujo de corriente se invierte, con el capacitor descargándose en lugar de cargándose. En esta condición de descarga, con la corriente saliendo de la placa positiva y entrando en la placa negativa, el capacitor actuará como una fuente , como una batería, liberando su energía almacenada al resto del circuito.

Nuevamente, la cantidad de corriente a través del capacitor es directamente proporcional a la tasa de cambio de voltaje a través de él. La única diferencia entre los efectos de una disminución voltaje y un creciente el voltaje es la dirección de flujo de corriente. Para la misma tasa de cambio de voltaje con el tiempo, ya sea en aumento o en disminución, la magnitud de la corriente (amperios) será la misma. Matemáticamente, una tasa de cambio de voltaje decreciente se expresa como negativo cantidad dv / dt. Siguiendo la fórmula i =C (dv / dt), esto dará como resultado una cifra de corriente (i) que también es de signo negativo, lo que indica una dirección de flujo correspondiente a la descarga del condensador.

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