Derivación de funciones exponenciales de base e

Ejemplos de derivadas de e

Constante de proporcionalidad

Cuando decimos que una relación o fenómeno es "exponencial", queremos decir que la tasa de cambio de una cantidad crece proporcionalmente con la cantidad misma. En consecuencia, la derivada de una función exponencial es igual a la función original multiplicada por una constante (k) que representa esta proporcionalidad.

$$\frac{d}{dx}a^x = k a^x$$

La constante de proporcionalidad es simplemente el logaritmo natural de la base:

$$\frac{d}{dx}a^x = \ln(a)\times a^x$$

Cuando la base es el número natural e, ln(e) = 1, por lo que la derivada de e^x es e^x misma:

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x$$

La regla de la cadena

Si el exponente es una expresión más compleja, aplicamos la regla de la cadena: diferenciamos la exponencial externa y multiplicamos por la derivada de la función interna.

$$\frac{d}{dx}e^{x^2+2x} = e^{x^2+2x}\times\frac{d}{dx}(x^2+2x) = (2x+2)e^{x^2+2x}$$

Esta técnica es útil para evaluar la sensibilidad de la corriente de un diodo al voltaje. La ecuación del diodo de Shockley da una relación aproximada entre el voltaje a través de un diodo (V_D) y la corriente a través de él (I_D):

$$I_D = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}$$

(Consulta la página "Diodos y Rectificadores" para más detalles; ten en cuenta que I_S es una constante, no una variable.) Para encontrar cómo cambia la corriente con el voltaje, derivamos:

$$\frac{dI_D}{dV_D} = \frac{d}{dV_D}\bigl(I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}}\bigr) = I_S \times e^{\frac{V_D}{0.026}} \times \frac{1}{0.026}$$

Así, en un V_D específico, un aumento infinitesimal en el voltaje aumenta la corriente en (I_S/0.026) e^{V_D/0.026}.

HOJAS DE TRABAJO RELACIONADAS:

• Hoja de trabajo de Cálculo para Circuitos Eléctricos