¿Qué es la transformada de Fourier?

Este artículo le brinda información esencial sobre una técnica matemática que juega un papel absolutamente fundamental en el diseño del sistema y el procesamiento de señales.

Nombrada en honor al matemático francés Joseph Fourier, la transformada de Fourier es un procedimiento matemático que nos permite determinar el contenido de frecuencia de una función. Para los ingenieros eléctricos, la transformada de Fourier generalmente se aplica a funciones de tiempo que llamamos señales .

Descomposición sinusoidal

Un gráfico de voltaje o corriente frente al tiempo, como veríamos en la pantalla de un osciloscopio, es una representación intuitiva del comportamiento de la señal. Sin embargo, no es la única representación útil.

En muchos casos, por ejemplo, en el diseño de sistemas de RF, nos interesa principalmente el comportamiento periódico de las señales. Más específicamente, nos interesa comprender una señal con respecto a sinusoidal periodicidad, porque las sinusoides son la expresión matemática única de la frecuencia "pura".

La transformada de Fourier revela la periodicidad elemental de una señal al descomponerse la señal en sus frecuencias sinusoidales constituyentes e identificando las magnitudes y fases de estas frecuencias constituyentes.

La palabra "descomposición" es crucial aquí. La transformada de Fourier nos enseña a pensar en una señal en el dominio del tiempo como una forma de onda que está compuesta de formas de onda sinusoidales subyacentes con varias magnitudes y fases.

Una onda cuadrada, por ejemplo, se puede descomponer en una serie infinita de sinusoides con amplitudes que disminuyen constantemente y frecuencias que aumentan constantemente. La serie exacta, para una onda cuadrada acoplada en CA de período T y amplitud A, se puede escribir de la siguiente manera:

\ [f_ {cuadrado} (t) =\ frac {4A} {\ pi} \ sum_ {k \ in {\ {1,3,5, ... \ }}} \ frac {1} {k} \ sin \ left (\ frac {2 \ pi kt} {T} \ right) \]

Podemos convertir esto en la siguiente forma, que es un poco más intuitiva:

\ [f_ {cuadrado} (t) =\ frac {4A} {\ pi} \ left (\ sin (2 \ pi ft) + \ frac {1} {3 } \ sin (6 \ pi ft) + \ frac {1} {5} \ sin (10 \ pi ft) + \ ... \ right) \]

donde f es la frecuencia, en hercios, de la onda cuadrada.

La siguiente gráfica muestra la onda cuadrada original, en azul, y las primeras ocho sinusoides de la serie infinita.

Después de mirar este gráfico, es posible que todavía sea un poco escéptico de que estas sinusoides se puedan combinar en una onda cuadrada. Sin embargo, la siguiente trama te convencerá. Muestra la onda cuadrada original y la forma de onda producida al agregar todas las sinusoides constituyentes que se muestran arriba.

Funciones de tiempo y frecuencia

Cuando calculamos una transformada de Fourier, comenzamos con una función de tiempo, f (t), y mediante la descomposición matemática, producimos una función de frecuencia, F (ω). (Normalmente usamos frecuencia angular en discusiones teóricas sobre la transformada de Fourier).

Evaluar F (ω) a alguna frecuencia angular específica, digamos 100 rad / s, nos da la magnitud y la fase de la componente sinusoidal de f (t) que tiene una frecuencia de 100 rad / s. Si f (t) no tiene un componente sinusoidal a 100 rad / s, la magnitud será cero.

Quizás se pregunte cómo una función, F (ω), puede informar tanto la magnitud como la fase. La transformada de Fourier produce un valor complejo función, lo que significa que la transformada en sí no es ni la magnitud de los componentes de frecuencia en f (t) ni la fase de estos componentes. Como ocurre con cualquier número complejo, debemos realizar cálculos adicionales para extraer la magnitud o la fase.

El concepto de una transformación de valor complejo es algo más intuitivo cuando trabajamos con un discreto Transformada de Fourier, en lugar de una transformada "estándar" en la que comenzamos con una función simbólica de tiempo y terminamos con una función simbólica de frecuencia.

La transformada discreta de Fourier opera en una secuencia de valores numéricos y produce una secuencia de coeficientes de Fourier . Estos coeficientes son números complejos típicos (es decir, tienen la forma a + jb), y usualmente usamos la magnitud de estos números complejos, calculada como √ (a ² + b ² ), al analizar el contenido de frecuencia de una señal.

Trazado de la transformada de Fourier

Los gráficos de contenido de frecuencia son extremadamente comunes en hojas de datos, informes de pruebas, libros de texto, etc. A menudo nos referimos a un gráfico de magnitud frente a frecuencia como un espectro; por ejemplo, "echemos un vistazo al espectro de la señal" significa "echemos un vistazo a algún tipo de representación visual de la información de magnitud en la transformada de Fourier . ”

El siguiente gráfico muestra el espectro de una onda cuadrada acoplada a CA con una amplitud de 1 y una frecuencia de 1 Hz.

Si compara las amplitudes trazadas de los “picos” de frecuencia con las amplitudes de los componentes sinusoidales correspondientes en la serie infinita discutida anteriormente, verá que son consistentes.

Cálculo de la transformada de Fourier

Estamos casi al final de este artículo y todavía no les he dicho cómo generamos realmente la transformada de Fourier de una señal definida matemáticamente.

Para ser honesto, no veo la necesidad de explorar a fondo los detalles matemáticos en un artículo introductorio:el análisis de dominio de frecuencia hoy en día está dominado por técnicas fáciles de usar basadas en software, y los ingenieros no dedican mucho tiempo a convertir tiempo simbólico. expresiones de dominio en expresiones simbólicas de dominio de frecuencia.

Sin embargo, con algo tan importante como la transformada de Fourier, es bueno al menos estar al tanto de las matemáticas subyacentes. Entonces, sin más preámbulos, así es como convertimos f (t) en F (ω):

\ [F (\ omega) =\ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {f (t) {e ^ {- j \ omega t} } dt} \]

Conclusión

Espero que este artículo haya proporcionado una explicación clara e intuitiva de qué es la transformada de Fourier y cómo nos brinda información adicional sobre la naturaleza de una señal.

La transformada de Fourier es solo el comienzo de una amplia gama de temas relacionados; si desea obtener más información, consulte los artículos que se enumeran a continuación.

Lecturas adicionales

• Introducción a la transformada discreta de Fourier
• Introducción a la transformada rápida de Fourier
• Cómo realizar un análisis de dominio de frecuencia con Scilab
• Aprender a vivir en el dominio de la frecuencia
• Filtrado lineal basado en la transformada discreta de Fourier